Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В случае малых прицельных параметров Ер «а, оказывается к -- 0«1, так что в (5) можно заменить сов 0 на — 1+ — (к — О) . В результате получаем 1 2 1 2 0 = к — р~ — зйт~ — Ага)з( — 1г —,)) . ,,г. ~ (б) При,0 < О возможно падение в центр поля (заметим, что, согласно (2), допустимы только зна~ения,З ) — 2ьза), При этом т монотонно убывает от со до О. Угол 0 убывает от к до Оы при котором рв обращается в нуль (участок траектории АВ„рис. !07), При этом 3 — 2тасов0г .=- О. Затем угол возрастает до значения 2к — 0з (участок траектории ВС) !' -!' Иг ~ г)0 , ! 00 ( ) НР В-В'- ! ' — Р .
р 5 '3 — 2, В в, в! В точке С импульс рв вновь меняет знак и 0 убывает до значения Оз в точ- ке В, затем вновь возрастает и т, д. Уравнение всей траектории можно представить в виде З[8 [12.6 Оя7еен7нГ и решения Закон движения г(1) определяется так же, как в задаче 12.2. Если д > О, то справедлив закон, определяемый формулой [9) из задачи 12.2.
Если 3 < О, то Г[1) = а lд - тз и =.,Г2Е(т, — ос < 6 < т = ,ГК~2Е, [7) причем падение происходит в момент времени т. б) Рис. 168 б) Если 0 > О (у 02 > а), то дд агса1п —, 0„,<0<Ге, 27аа, ) 7à — агсв!и 7,, 0т7е < 0 < 0т, Если ГЗ < О [Ерз < а), то ш ) г л О 07 ее 7 7 .7! ееве2 (1еб с .7 ' 'ЫГ." — 77е .) ./ l / где 1 — число полных колебаний по углу [от 07 до 02 н обратно), совершенных частицей, знаки [=') для движения против [по) часовой стрелке [рис. 168, а) 2 Е„2 07 =- - - агсгйп . 02 .=- 7Г + вгсгйп а а Е 0=О[ЕР =а), -- <0<к. 7Г 2 112. Уравнение Гани~гапона — Якоби 12.7] Частица движется по траектории рис. 1б8, б, причем закон движения г = 12Е = — 17 — „, 1 П < 0 падение происходит при 1 = О). 12.7.
Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби [см. [1) 448) О.—. — Е1 + р, р~ / в',,1) — 2тосовΠ—, г)0 — 1 2гиŠ— — '~ г)г. в[п О, г Обобщенные импульсы те же, что и в задаче 12.4а, Падение в центр возможно, если 3 = 2т[Ерв — а сова) < 0 [что заведомо выполняется при оз < 2Ер~7'а << 1). Уравнения траектории з вш 0 Д ИО [2) И "в 2пзЕ в общем случае не могут быть проинтегрированы в элементарных функциях. По качественное описание движения легко дать, если заметить, что уравнение (1), связывающее между собой углы 0 н р, с точностью до обозначений совпадает с уравнением траектории сферического маятника [см. [1), 4 14, задача 1). Поэтому частица движется так, что точка пересечения ее раднуса-вектора с поверхностью сферы радиуса 1 описывает такую же кри- 0 вую, как и сферический маятник длины 1 с энергией, равной „н момен2гл1а том импульса, равным р в поле тяжести д = — а .
Эта кривая заю~ючена 1в' между двумя кпараллсльнымии окружностями на сфере О = Ог и О = Оз. При условии ов < 2Ерз,га « 1 уравнения [1) и 12) легко проинтегриро натек Ерз Е = 2пт7е Зго (12.8 Ответь» и решения Из (3) видно, что частица, падая на центр, движется в области между двумя коническими поверхностями 0» < О < Оа, вра»»»аясь вокруг оси е, причем один полный оборот вокру»' оси - приходится на два полных колебания по углу О. Для сферического маятника в этом приближении траектория замкнута (представляет собой эллипс). 12.8. а) Уравнение траектории финитного движения (при котором пет падения в центр) —, .=. 1 4- с соа ((О), (1) где 2Е3 /~ — ' ' хи» »1 а константы Е и 3 удовлетворяют неравенствал» Е < О, 3 > О.
Рис. 170 Рис. 1б9 Если О < 13 < 2п»ан то орбита изаполняетв область АВС0ЕГ' (рис. 169); г» <»' < гз, »'» =, 0» 0 < Оз, О» =- агс»йп 1 ~ е' ' 2»па' Оз = 2п — О», т. е. проходит сколь угодно близко к любой точке этой области. Если 3 = 2»па, то ,((0) = Л1»»18(0(Д) + С, и траектория расположена внутри кольца г» < г < га (рис. 170). Если 3 ) 2п»а, то траектория заполняет кольцо г» < г < гз. В частности, если 3 « 2п»и, то » (О) .— —.
О+»,' а1п 0 ен — (,зО -1- — х + С»ь ' 4 8 (8) 321 12Л Ц 112. Уравнение Гаии~ьгнона-Якоби где Г = та(д. Это — слабо деформированный прецессирующий эллипс, характер деформации которого связан с его ориентацией. Уравнение 13) применимо и при О > ~ з.
Интересно сравнить его с результатами задачи 2.24. 12.9. Для движения в кольце гэ < г < гз Зн с )О . и 1 — ти сов О Дтя движения в области гз < г < гз, Оз < О < Оя ва — т — ' 1п и 1 — целые числа). 12.10. Переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются, если выбрать ось е вдоль вектора а (см. 11), З 48, формула (48.9)). Движение по радиусу1= 1 —, дт при д > О такое же, каь и движе- е ! Хк — —.— — —;,— ние частицы в кулоновом поле — а/г с моментом д и энергией Е. При д < О происходит падение частицы на центр. Уравнения траектории, —. сопвс, дЯ до д, Р.а —,, — -- сопви Первое из них д,З ре с!О зш О~,д — 2птсовО— в1п О совпадает с уравнением траекюрии сферического маятника с энергией ®2т)з и моментом ЛХ, = ре в поле тяжести д = — п~'т)з (см.
11), 4 14, задача 1). Второе уравнение связывает г и О. При анализе этого уравнения можно также воспользоваться аналогией со сферическим маятником. 12.11. а) ХУХ.-~ < „~ж672. б) Финитное движение возможно при любом ЛХ-.. 322 Огяее~ны и решения 112. 12 12.!2. б) Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби 1см. 11), З 48, задача 1) Е = — Е1 - Рт Р+ ~ РЕЮ дС + ~ Р ( 1) дч. гле 2 ~~Ы) з Р т ело — ~3 Е,17) =- 2лтг12 ™1 Р1,.
— ' '— '"~е нее), 2 б' 2 Е Рве. 171 Траектория и закон движения определяются уравнениями —",Е=л,,дб =С, Д=А., дд ' др ' дЕ т. е. Для исследования характера движения нужно определить области допусти- мых при данных Е, Р„,,д значений ( и г1. Графики эффективных потенпи- альных энергий 171(б) и К,(г1) изображены на рис. 171. 323 123 3) й 12. Уравнение Гиии~ивина — Якоби Если Е = О, то при — та < В < та (см.
кривые а) и Е < О движение как по С, так и по з1 финитно, при Е ) О "- инфинитно. С появлением малой силы Е ) О на графике (ГЕ(б) появляется максимум (см, кривые Ь); при К„„ы < Е < (Ре движение по-прежнему финитно. В вплоскости рз» движение ограничено областью ез < с < ег, рп < ц < г1г (рис. !72); сама же плоскость рг вращается вокруг оси е с угловой скоростью р. Траектория заполняет область про- '.В === странства, образуемую вращением фигуры АВСО волруг оси .
(см. так- .А, жс задачу 2.3б). При Ве „„„, < Е движение инфинитно. ',С С ростом Е величина (гс „„,, уменьшается, а К, ы растет. Когда Ояажстея (7Е„, < (Ри,и|и, фИНИтНОЕ движение станет невозможным (при д < — гна+ ~(Етрв)з7з экстремумы 2 Рис. 172 (Ре „,„, вообще отсутствуют). и!3 В "* н "Р нв Н(1 9)*= й и = т4~: аг, потенциал В = оо при б ) со .—.- Ь,1и, О при с <со зависит только от си и переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются (см.
(1), ф 48). Полный ннтеграл В = — Ег + ре р * / З ~ 2ша~Е + „— г в е(С * Д вЂ” 2пит~А(б) р~ 1г — 1 (1 — 4г)г г В Ре .Г / ~! 2пта Š— —, г(гд г)г где А(Π— — (1' — г)ПЫ) =- (Р(6 З24 (12Д4 Овне~ни и решения Ддя частицы, пролетающей через начало координат, р, = О. Из (1) получаем — (2) то-(Сз — я1я) . Д пит~(ЕЯ вЂ” Оз) ря = + 2тпЯŠ— = „я). 1 - ц' 1-- цз В начале координат (О = О, ~ = 1) и из условия ~|Е, ~/2 ьЫ: Р гп соь гпят находим 3 —.-- 2тпзЕвщ о.
2 Область недостижимых значений г1 определяется условием 2тк Š— ф(1 — О ) < О или г1! ) (сова~. Итак, двиэксние происходит в области )ц < сова), 1 < ~ < Ео (заштрихованная на рис. 173 область). 12.14. Переменные в уравнении Гамильтона †Яко разделякпся в эллиптических координатах (см. (1], ()48, задача 2 при еи = — аз = а). Для частицы, летящей из бесконечности вдоль оси з, постоянная,З = =-- —.2тЕрз + 4пиът, где р — прицельный параметр.
При Д < О траектория качественно не отличается от траектории частицы, рассеиваемой в поле точечного диполя (см. задачу 12.б б). При д > О частица кпадаетл на диполь (т. е, проходит в своем двиягении через отрезок ОгОя) и вновь уходит на бесконечность. Если дополнительно рч(гц) =- О при гй < О, то частица движется в области, ограниченной гиперболой О = гй (рис, 174). 12.15. В уравнении Гамильтона — Якоби 325 4 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
