Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В этом смысле осциллятор подобен частицу в трехмерном центральном поле, для которой есть три интеграла движения Лбх ит. Наличие дополнительных интегралов движения у осциллятора приводит к тому, что точка (х, д, р„ри) в фазовом пространстве движется по замкнутой линии, в то время как для частицы в поле Н(х~ — ' уа) фазовая траектория «заполняет» двумерную поверхность (см. 11), й 52). РО+ЛРО Ро х х +Ах х„«р Г~т . »1 Р Р~1 оох хо .хо Рвс.
15о 11.24. а) В импульсном и фазовом пространстве выделенный объем с течением времени нс меняется, в координатном пространстве происходит его «расплывание». Так, если в начальный момент состояние системы изображалось прямоугольником АВСР (рис. 158), то через время й оп перейдет в параллелограмм А'В'С'Р' 1АР = А'Р'), причем расстояние по осн х между гочками А и С равно,Ьж .—.—. Ьжо — к Со временем этот О О шро параллелограмм вырождается в узкую полоску большой длины. ЗО1 11.24) 9 11.
Канонические нреовразоеанин Роччзро Рочггро Ро Ро Ро аро -ро-пр, Рис. 159 б) Если в точке и .= Ь расположена стенка, то выделенный фазовый объем уже не будет параллелограммом А'В'С'1У, а будет иметь вид, изображенный на рис. 159, а. С течением времени первоначальный фазовый объем АВСЛ превратится в ряд очень узких параллельных полосок, которые почти равномерно распределятся внутри двух прямоугольников О < и < 1,, ра < р < ра + Ьрс и О < и < Е, — ро — Ь1го < р < — ра (рис. 159,б). в) Фазовая траектория для осциллятора с энергией Е и частотой ш— эллипс — "' 4- — =-.
1 с полуосями а =- ), 6 .—.. Л1 ='. Все точки выделена Р Г'ЛЕ ЯЕ а 6 ~/, г' '" 'г' гп ' ного фазового ооъема движутся по таким эллипсам и через период Т = —,, 2к возвращаются в исходное состояние. Размеры выделенною «обьсмаи по координатам гзх и импульсам гзр пульсируют с частотой 2ю, В отличие от предыдущего пункта, здесь не происходит расплывания выделенного фазового обьема по всей доступной области фазового пространства. г) Для осциллятора с трением (сила трения Гр .-"-. --2тЛт) ж = ае ' соз(оет -'~ р), р = т с = — тае М)н гйп(огз + Эг) + Л соз1ое1 + 9г)), и колебания со временем затухают, поэтому фазовая траектория представляет собой спираль „э+1, таш ( Выделенный фазовый обьем с течением времени уменьшается до нуля. зог Ответы и решения 111.24 Несохранение фазового объема здесь связано с тем, что система не является канонической — ддя полного ее описания необходимо задавать не только фУнкцию ЛагРанжа Ь = ш (хг — шогхг), но и диссипативнУю фУнкцию 2 Г= —,' Л.,г1 .11),4г5).
Если же для данной системы выбрать «функцию Лагранжам в ниде т гме,,г г г) 2 Роезр гг7(хо) пг е)х Тг езТ ' ЬТ вЂ” гаЕ, е1Т ИЕ е) Пусть имеется Х частиц таких, что точки фазовою пространства, изображающие их состояние, распределены в начальный момент с плотностью )т'ш(хо, ро, 0) и перемещаются согласно уравнениям х =- Д~хо, ро, 1), Р=Фхо, Ро 1) Здесь Х1хо Ро 1) '†' хо + гз1, У(хо Ро 1) †' Ро Ро для свободного движения и Пхо, ро, 1) =- тоссо«ге 4, а1п«гс, Ро Эг(хо, ро, 1) =- — тшхо ошш1+ ро совш1 (ср. с задачей 4.17), то для соответствующих канонических переменных х и р = выделенный фазовый объем будет сохраняться, однако в этом дТ' дх случае обобщенный импульс р' = пгхегм не имеет, как прежде, простого физическою смысла. д) Так как период движения в этом случае зависит от энергии, выделенная область фазового пространства с течением времени растягивается, «заполняя» всю доступную область фазового пространства (ср.
с пунктом б)). Пусть вначале выделена область хо < т < хо + еах, ро < р < ро+ехр. Нетрудно оценить время, через которое самые быстрые частицы сделают на одно колебание больше (или меньше), чем самые медленные: З0З 5 11. Каноззачеснае преобразованы 11.24) ~ш(х, Р, !) Йх ЙР = нега(хо: Ро, О) дхо е(ро. Согласно теореме Лиувилля (см, [1), з 46) д(х,р) —... 1, поэтому !з(хо: Ре) Ро за(х, р, 1) --- га(хо., ро, О). (2) Выражая из (1) хо и ра хо = Х(х, Р, — 1), !о = Фх, р: — !) и подставляя в (2),получаем Рис. 160 га(т, р, 1) —... нз(((х, р, — 1), 1о(х, р, — Г), О), или ехр( — о(х — Х) — !3(х — Х) (р — Р) — 2(р — Р) ] зо(х, р, Г)— 2яезроЬхо где Х вЂ”.
1 (Хо, Ро 1), Р '— 1о(Хо, Ра, !), а коэф- фициенты о, 13, з для свободных частиц г' 1 2Лхд ' и!Ьх~~ 1 гг 'у= + 2 !Рг 2тгО!хг' и для осцилляторов г г г ° г ее=- '' + соз аз! т аз гйп еае 2~хо 211ро соа- аЛ, гбп аз! г 2Ьрг 2пз~адЬхг '1 = 8!па/!сова/Е( а — ). l зим 1 гаро зв 'гзхо Рис. 161 для гармонических осцилляторов. Тогда количество частиц в выделенной области фазового пространства, асе точки которой движутся по такому же закону, остается постоянным; в частности, для бесконечно малого фазового объема е!хор имеем 304 Олгееты и решения (11.24 ю(х, 1) .—.. ю(х, р, 1) г(р ю(р, 1) .---.
/ ю(х, р, 1) с(х. и по импульсам Эти распределения оказываются гауссовскими с максимумами в Х и Р соответственно: ю1х, 1) =- е 1 ту2~гз2 х (и — 1'1 Я ю(р,1) = е т('2тгтлр где для свободного движения 2 1.'сс = з.'тхо+, 1, Ьр = Ьр„, ''0 2 а для осцилляторов (лх — злхо сов из1+ ып г 1, ч д (Зро (лР— ' аз( сон ш1 ',- гп ш сзх~~н1п 111.
зрели масппабы по осям р и а в фазовом пространстве гармонических оспилляторов выбраны тм, что гпш .—.. 1, то фазовые траектории прелстаящяют собой окрукностзз, а выделенная область в фазовом пространстве вращается вокруг начала координат, не дефорлзируясь На рис. 1бО, 1б1 показано, как перемещаются области фазового пространства, в которых 2п()зхгзЬро из(х, р, 1) > —, (для свободных частиц и осцил- 1 2 ляторов соответственно). Зги области представляют собой эллипсы, деформирующиеся со временем'. Центры их перемешаются по такому же закону Г1), как и часищы. В случае свободного движения этот эзтлипс неограниченно растягивается, в случае же движения осцилляторов -- лишь пульсирует.
Заметим, что распределенггя по координатам и по импульсам уже не являкзтся независимыми 1111(х, р, 1) не разбивается на два множителя вида юг(х, 1)юз(р, 1)). Представляет интерес рассмотреть функции распределения по координатам (независимо от значений импульса) 305 11.25) з! 1. Канонические преобрааоааннч 11.25. а) (а', а) = — г, Нс = ооа*а.
б) Переменные Р и Я канонические, поскольку 1,Р, 1,!) = '!. Из равенспза с!с = р(х, Я) й: — Р(х. ф о!1.,> определяется производящая функция Р(х, Я, 1) = —,тоох~+ — '1,)~е '"' — гъ'2ьчиохЯе 2 2 Новая функция Гамильтона НсЯ, Р) = Нс+ ' ' =О. дР(х, Я, !) дс в) Выделив в слагаемое — ЗЯаР~(2таасз, не содержащее времени, получаем усреднен- ную функцию 1'амильтона (Н'Я, Р)) = — ' Я~Рз. В дальнейшем скобки ~ ), обозначающие усреднение, опускаем.
Очевидно, что -Й,1Р = ~Щ~з = ~о - — интеграл движения. Уравнения Гамильтона ЗНс! Я = 1еР, 4члоо~ откуда 11 я — Фм Р,с)ч !а$ так что х —... 1Яое ' ' '-'Ясеин ') .—. хасса(о'1+ у). ус2тча Влияние добавки бН сводится к изменению частоты З1З 1;)О '- ЗФХО ш =ио-,, =ш+ 4т~оя ' Зш (ср. с задачей ЗЛ). ЗОб Оиеешм и решения 111.2б г) 11овая функция Гамильтона е эе — ~;Р е 4 с — 4 е Н~(Г2, Р, 1) =- темза ~/2ли 4 после усреднения сводится к Для переменной ( = -гс2Р = ,'а~~, пропорциональнойт квадрату амплитуды колебании, уравнение движения Учитывая, что -(б)4шР4) =-А —...' 4 находим 11.26.
Вводим новые переменные: нзшх+ 1р,, нвазд+1ри и а = е' ', 6 = и е1 Ятши у'22~глез т ~за-;4Р,, „ с= ' е'', 22т >з (иl: ш/з, шз) и каноничсскнс сопряжснныс им импульсы 1а Й зс Новая функция Гамильтона, усредненная по периодам 24г/шз з, (ее ) = е,,а~ + г1(а*бе+ аб'с*), а Е=ыз — Ш, й= ГЕ2 Таким образом, б изменяется так же, как координата частицы (с массой, равной единице) в поле 1I~() .—.— — ~ б4 при энергии - 2Аз (ср, с задачей ! .2). 2 Амплитуда за конечное время возрастает до бесконечной величины (так называемый взрывной рост амплитуды). Разумеется, использование усредненной функции Гамильтона справедливо только при (, :« шб, т.е. при б « ш/а.
ЗО7 5! 1. Канонические прсобратоеонггн 11.27) Уравнения движения а = .— Асс — 177Ьс, Ь = -771ас*, с = — 777аЬ* имеют интегралы' а12+1Ь12 = В, а12 — '177 .— —. С. (Н') —. А, Уравнение — 1а = 771(аЬ"С' — ачЬС) с71 можно представить в виде, удобном для качественного исследования: рз+ Г(р) = О, где б = 1а, -, )г(8) = (А — е8) 2 — 4О'8( — 8)(С вЂ” 8). В начальный момент с = О, поэтому А = сС, В < С и ) (6 = (С вЂ” 6 ( — 46 --477 б(С вЂ” В)(С вЂ” б) что происходят биения. Энергия периодически перекачивается от осциллятора ж к осцилляторам йь л н обратно.
Во втором случае (т.е. прн большой «расстройке» с и малых начальных алгплитудах) колебания д и г не возбуждаются. Подробно об этой задаче см. (22). 1/ в 4 а<4С С а) с >477 С С 41 27,) (В7) с~с 2 ~о;4 1 ( 2 *2) где Рис. 162 817 Ьш Е = «7— р= 71 = 87исоа ! Интегралы 17 н С' натывагот ннгегралаын Манна — Роу. Графики 1'® для случаев сз < 4712С и с2 > 4712С приведены па рис. 1б2, а и б. В первом случае 8 испытывает колебания, так ЗО8 Ояветы и решения (11.28 б) Уравнения движения — а = 1(- -~-2р а)~)а+ 21г1а*, а' = б е + 2р~~о)Я)а + 21ла имеют постоянные решения ~оз! 2р ао = О, для 4 =!а~я получаем уравнение С = .-21О(а"з — а ). Учитывая, что (Н') =- е~ 1- 1е~а -Ь О(аз —, :а"з) = С = сопзг, получаем +Щ =О, 11.28.
Усредненная функция Гамильтона (Н (с1 г 1)) — Н Я г') — (е )Я + (е+ )Н в ~~'~еи 'г,е, „„ее, „р ь . ° . ременные Я и Р мало изменяются за период 2я/у. Это легко видеть из уравнений Гамильтона, содержащих малые параметры е и 1ь где 1Я(б) = 4цз((а*з — ' ау) — 4~а/~) = 4(С вЂ” -с — рс~)~ — 16г1зсз. В интересующем нас случае, согласно начальным условиям, величина С' мала. В области резонанса е, ,'< 2п график У'® (рис, 163) позволяет заметить, что б испытывает колебания в пределах от нуля до ~,„- 2 аг ~з.
Таким образом, переход к установившемуся режиму колебании ~ =,аз и (ср, с задачей 8.7) может быть обеспечен лишь каким-то неучтенным нами механизмом, например трением, и быть весьма длительным. Подчеркнем, что этот переходной процесс имеет характер биений даже при нулевой красстройке», е — —. О, в отличие от переходного процесса в линейных колебаниях Рис. 1бз (см. задачу 5.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
