Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 38
Текст из файла (страница 38)
а) Потенциальная энергия (включая центробежную) су(х) =- ус(х — и) Условие бс'(хо) = О определяет поло>кение равновесия 2йи хо = 2Š— >с«,7з Интересно, что при часюте вращения у, большей частоты собственных колебаний частицы т/2Й/т, оказывается хо < О, а при т7а » 2Е положение равновесия близко к оси вращения. Знак Е>в(хо) = 2х' — т'уз опреде»яет устойчивость положения равновесия: при ш7з < 2Е равновесие устойчиво; при глб г > 2>с — неустойчиво.
б) Очевидно, поло>кение равновесия такое жс, как в пункте а). Для исследования устойчивости рассмотрим потенциальную энергию при малых смещениях из полоясения равновесия: ЕУ(х, р, -) .=- Г(хо, О, О) .~. -,'. з ~- й> ' езР, йзг ( с то) где >с> = 2й — т.у, г + >с(хо — о) г — кухо — о) усз— шу = — ш; +йз. г о хо — а г — хо.''.а Сравнение с задачей 9.24 приводит к заключению, что равновесие неустойчиво лишь в том случае, если й> и усз имеют разные знаки. В частности, при т7з » 2й —; 2уу>> равновесие устойчиво, в отличие от результаюв пункта а), Если же >с>йз < О, то отклонение частицы от точки (хо, О, О) нарастает со временем (пока не станет существенным воздействие стенок рамки, которое мы не рассматриваем).
280 (9.27 Оя7еея7ь7 и решения 9.27. Воспользуемся декартовыми координатами во вращающейся системе отсчета. Начало координат поместим в центр масс, система вращается с угловой скоростью иг вокруг оси г, а звезды расположены на оси х (рис. 152). Пусть расстояния от звезд до центра масс гйг,г О а1 2 = .,- ', где тгд — массы звезд, а— ' 7вг + гиг' расстояние между ними. Из равенства 77117П2 2 7'П117712 аиг щ1 -,'— гпг 2 глг х ( 7 — гРавитационнам постоЯннаЯ) полУчаем Ш7 Рис. 152 гп,1 -ь нгг ш оз Потенциальная энергия тела массы т (включая центробежную энергию) 7тт1 7ттпг нги72 Г1 гг где гзд — расстояние до звезд, г —.— (х, 70 =) — радиус-вектор тела. Положение равновесия тела определяется условием †, = О, или д!У дг д(7 Угнг, тг т1+ тг'7 Угнгаг тгаг) ) х — 77н~' 1 2 1 2 д(7 7'гп1, т~ т1+тгт — =-.
'1'7н '( — —,, д„' (, з ' з „з ) ОтСЮда г — -- 0 И (Прн р ф- 0) Г1 — Гг =- а. '1 аким образом, звезды и точка равновесия находятся в верщинах правильного треугольника. Всть две такие точки, так называемые ючки Лаа оЛ гРанжа, хо — а1 — —. аг — хо —.. —, Уо =- х ', о — "" О. 2' 2 9.28] й 9.
Движение твердого тело. Неинерципчьные систеэтз отсчете 281 Вблизи точек Лщранжа сз !хо+ ха уо уз со+ гз) = = 17(хо, до, о) — — тщ х, — 2пзахзуз — — ' ело д,-+ — тиз 1 '2,я 9 а з 1 2 я 8 8 ' 2 а = л у(тз — тг). З,р! 403 Движение в направлении -, очевидно, устойчиво. Уравнения движения в плоскости х., у ..
3 рг, — — пдхз — 2ездз — 2щуг — — О., 9,2 — — 'о; уз — 2ахз 1 2еотз = О. 4 Подстановка х = Ас'зи, д = Веан приводит к уравнению дзгя Й: Н' — х Н + —,ео — 4а = О. 27 16 Его корни действительны при 64аа ) 23пзе, т: е. при (тз + пзз) > 27тзтя. Это условие выполняется, если масса одной звезды балыке другой не менее чем в 25 раз. В этом случае движение тел в окрестности точек Лагранжа устойчиво. Устойчивость движения обеспечивается силами Кориолиса (ср. с задачей 9.25).
д!7 На осн т есть еще три точки, в которых —, = О, однако движение дг вблизи них неустойчиво. Для системы Солнце — Юпитер в точках Лагранжа наблюдаются астероиды, 9.28. Будем рассматривать колебания в системе отсчета, вращающейся вместе с молекулой. Функция Лагранжа получается из (!) задачи 6.49 заменой и, на и, + !12, г,о е и,), а угловая скорость вращения системы отсчета й выбирается равной угловой скорости врщцения молекулы в огсутствие колебаний йт ), гзо —.. М. Условие (3) задачи 6.49, эквивалентное требованию дз -!- д ~ + уз = О, отсутствует.
Введя уе = — (уз ' уз —, уз) и 1 3 пренебрегая квадратичными по И членами', можем представить функцию 1учет этих поправок привел Оы к заменам: 282 ПОА Он1ееты и решения Лагранжа в виде Е = — '(Ч1+ 2ф н-2Ч3 4 Чй) —, (Ч1 Чг — Чз)-' + тКЧ191 — ЧаЧ1) + -гпй(Ч2Чз — ЧзЧ2). 2 3 Уравнения движения приводят к нормальным колебаниям = А1 сов(ш12 4- н21), Че — — 2 — А1 а1п(ш11+:р1), 1Ц , ~И й Чгз —— О.
г1 =у —, % )Ой 'у' т' Чг ' =-- Аг,гсов( 'г,з1 — ' Рг.з), Чз " = ~Аг,з з1п(шг,з2+ 1еаг,з), (г,з], „(2,21 (2,21 1 3а =О., ш,з =1) —, )1 2гп Он 2й, РО Оп = — С, Ч,,'а=О. Ч, =С2+И. 2 1 Вместо условия (3) задачи 6А9 получаем ~~~,()таопа! + 2й(таопа)) =.. О, а или Чз — 2йЧ1 = О, что соответствует выбору С = О. Постоянную В, определяющую начальный поворот молекулы относительно вращающейся системы отсчета, также удобно пологкить равной нулю. Как выглядят колебания, если во вращающейся системе отклонения в начальный момент имеют вид, изображенный па рис.
133, а начальные скорости равны нулю? й 10. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона 10.1. Пусть е -- вектор бесконечно малого смещения; при атом Га .>Г =Гаек~ Ра ~ра Ра: Н(Г„, р,) = Н(Г'„р'„). Отсюда 2 . = О. Используя уравнение Гамильтона, получаем; дН а дГа Р.— --~ р,= --~~, =-О, Р=сопзФ,.
дН дг, а а 283 1051 110. Уравнения Гатаьн>она. Скобки ЕЕуассона При бесконечно малом повороте д~р >а ' >а = га + ~денга) Ра ~ Ра = Ра +!даора) Н(г„р,) = Н(г',. р') ~ ~з, (й»г„) + ~ (дур,/) = 0 О, е(- ( — р„(дуг ) —: г,йрр,)) = — ди> ~ ~— г,р,1, а О или М = ~ ~(г,р,) = сопя. а Р,-, (Р, — РЕ сов О) Р~, 2Е> 2Е> вш> 0 ' 2Ез 2 3 2 10.3.
ЕЕ = +~ х — , 'ыхз. В частности,для малыхколебаний 2(1 -'е 23х) 2 (~ых~ << з ~Дх <<1) Н= —,— , '' +с>х —,3хр +2Д хр Р, идх в, 3 з 3 а и с точностью до линейных по о, Д членов добавка к функции Гамильтона гармонического осцил»ягора связана с добавкой к функции Лшранжа соотношением бН = — дЕ. (ср. (1], 040). 10.4а. х = асов(од+х), р = — шоо в1п(и>Е+д), где ш = (1+2ЛЕв)и>о, Н = — и> аз. 1 'Π— 2 О 10.4б.
Р =- Ро-ГЕ, х — —. хо+ — (ъ'ро Ч- Гб — тЕРо) Данная функция Гад Г л>ильтона приближенно описывает движение заряженного вихревого кольца в жидком гелии при наличии однородного злектрического поля вдоль оси х [32). Характерная особенность такого дан>кения — импульс вихря растет со временем, а скорость его движения падает т = А/(2~ро —, ГЕ). 10.5. г= —,', р= — —,, Р=~рй ер ° ср Вп г>Р' Я В>.' Предложенная функция Гамильтона описывает распространение света в прозрачной среде с показателем преломления и в приближении геометрической оптики (см.
(3), З 65). иЧастицей» является волновой пакет, г(Е) есть 284 Ожеетн и решения 110.0 закон именно его движения; г — это групповая скорость, а вектор р, перпендикулярный к волновому фронту, определяет волновой вектор. Траектория при п(т) .— — ах где Сы Сз определяются начальной и конечной точками траекзории. 10.7. Данный векторный потенциал определяет магнитное поле,Ус", направленное параллельно оси ". Функция Гамильтона а з 2 Н(к, у. г, р ., р„., р ) = + — ) рк — =М:г) Рх+Ра 1 / е Так как Н не зависит от у и з, имеем рк —.
сопв1, р, —... сопз1, Представив Н в ввиде Н = — + (ж — жо)-+ —,", где ш = " ', хс =, видим, что р, '- р„, ке' ср„ 2гп 2 '' ' 2т' взс ' ' еЖ' для х, рк получается такая же функция Гамильтона, как для гармонического осциллятора. Поэтому ря = — тиша з1п(ш1+:р). т = исоа(ш1+ ) т хо, Для определения у и з используем уравнения р = = — )р — — М'т) = — шагов( г:+д), ОН 1г е г7 тата с Ру = р' пз' откуда р = — оащ(ша+ ээ) + до, з = — г+ за. = р' Частица движется по винтовой линии с осью, параллельной Ж. Обобщен- ный импульс рк определяет расстояние этой оси от плоскости у . 10.6.
а)1;=; б) 1,=0; 2 подобные «частицы» нельзя описывать с помощью функции Лагранжа (см. [2), 253). 285 й 1О. Уравнения Ганияътона. Скобки Пуассона 1().81 г 6 не зависит от р и 1. Поэтому игпегралами движения являются обобщенный импульс р, и энергия Е: ри —— ту'+ —,. *, ей г охг Р ггггп +1г (,) 11 (,~ 1 ( «й г Для ри ( О график 1Г,ЕЕ(х) изображен иа рис.
153, а примерный вид траектории — на рис. 154. Следует учесть, что скорость х, х Рис. 153 Ьу~ е6 г 11 т тс' всюду отрицательна и колеблется вблизи значения ри,Гт. — х ° о хе .к Рис, 154 Для рн > О график Рнс. 155 ~'эвс1х1 = 1х хог хо = ~ изображен на рис. 155. Скорость тсг о ' ) 10.8. Магнитное поле направлено по оси х и равно 26х. Движение по оси г равномерное. Отвлекаясь от него, рассмотрим движение в плоскости трд Функция Гамильтона 286 Овеетн и решения при любом значении Е принимает как положительные, так и отрицательные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
