Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В области 7а < 7 < тЯ+ Зз, наоборот, В/А < О и ~р < О. Подставив в (11) значения В/А, сов |р и вш р, получаем окончательно 245 зз а Нелинейные кагебанпя 7.11. При малых а, можно приближенно представить смещения в дх(ь ') а д х(сд) виде х„= х(С, 1), хнпг = х(С+а, 1) = х(С, 1) а, + — ' + :Е о' ' +... При этом уравнение (2) задачи 7.10 переходит в уравнение дсг дгх ге д'х ма' д'х дог Р дбг 12Р дел В то время, как каждое из уравнений (1) задачи 7.10 содержит смещения трех соседних точек (дальнодействие), уравнение (1) содержит лишь г да смещение х в данной точке б (близкодейсгвие).
Член — ~~ — х в уравне- 12Р дб' ции (1) соответствует приближенному учету дальнодействия. Подробнее об учете пространственной дисперсии и исследовании уравнения (1) см. (19), гл. 4, з 4. 8 8. Нелинейные колебания 8Л. а) Уравнение двигкения х+ ~ох = — дх 2 .
3 решаем методом последовательных приближений (ср. с задачей бЗ4): х = то + бх = Ле' "' + А'е ' "' — ' бх. «Сила» дхздг(зсзг8 8(зле бдлг(говд(ззг ' хо = (2) содержит резонансные слагаемые Здг(гл*ег'~ее гД 1 1*ге — нвн 87~я(~гх которые удобнее присоединить к слагаемому ыох в левой части (1). Это приводит к замене ыо- гв =«Ъ+8Ж4г Вместо системы гУ обыкновенных дифференциальных уравнений мы получили одно уравнение в частных производных (ср. с задачей 4.29). Отметим, по для данного вывода необходимо важное предположение о том, что функция х„(г) стремится к опредеденному пределу х(б, 1), являющемуся достаточно гладкой функцией. 246 Отяетн и решения рй! Ддя бх получаем уравнение бх+шгбх — — 151Л~е~Я"'-~ комшч. сопряж.), откуда зим бх = ез' ' -, 'камал.
сопряяс. г Итак, Ваз х = а сов(шс ~ д) ян сон(Зш1 4- Зяг), З2шг ' " Л= — ае' 1 2 (ср. с 11), З28). На рнс. 143 изображены графики х11). При 13 ) О происходит ограничение колебаний, при 3 < О максимумы становятся более острыми. Эти особенности колебаний и знак поправки к частоте нетрудно усмотреть из графика У(х). Другие способы решения см. в задачах 1.9 и 11.25 в. б) Решая задачу тем же способом, что и в пункте а), получаем: Рис. 143 о ~ гневе ' 1 + аЛ вЂ” ъмяе х= с — ' + е Зшо шо З"о Рис. 144 т.е. х=а соо(шо1+ р) — а' + а соз(2шоа+ 2яз). 2 шов бшо г 2а 1гЛ З яе 2о- 1Л,г шни а ',, 10а ~Ла Зшо Зшо шо Зшо Искажение колебаний несимметрично (рис, 144).
В следующем приближении в «силен — а(хо бх)г нужно учитывать слагаемое — йахоб.г, содержащее резонансные члены 247 48. Ненинейнь)е ка)ебания Это приводит к замене бова юо —:о— 12и)о 2 2 8.2. х — — асовю1 — — уа сов2и1 '; — 7а, ю — —. то+ 1 2 1 2 тамо 4'4'16 112 2 114 8.3. 22 = а, совМ+ а,, з1п2йб (обозначения д — Я~ 1а(д — Ы~)(д — 41й ) задачи 5.9). 8.4. г.—.аИ0; а%+„ У,соз.,б Ьсо -21 + )п(и)о — ю) ) т(юо — и)22) 2т(юоз — 4ю~4) (юоз — 2~) 2 22)2(и)о 4и)2)(и2сз юи) о1Д2 соз( ~г — и)2)1 т()ио (и)2 — и)2) )(и)о — ' '2)(и)о и)22) Оз 42 2 сов(и24 + ) )2)1 т~ ~о (и)) + и)2) )(и)о — и)2)(и)о — си ) Какие комбинационные частоты возникают прн учете ангармонической тба поправки 817 = ? 1 8.5.
Функция Лагранжа '= —".)Еик) — -)ЕΠ— 22+*' — ")г- 42 2 ' 2 = — (т + у" — юз,г — и)ззу + 2огв у) + .. 2 где Й к1о и22 — — , О— га ' 22пу) д Пзд — — 1 — "' 1о+— Ее ' 2 ()1 78 2ти)о(и2о и') ) оД сов 2юза 2тюо (и/ц — и)2) 42,(22 соз 2и)21 248 18.б Ответи и решения Действуя далее так же, как и в задаче 8.1, получаем ж —.- а сон(ш11 -'н Эз) — соз(ит11 д- изг)+ ьс ир ф)+ ааЬ 2тиг(йщ1 шг) оаЬ гоа(ш1ь ш21+ зт тр) 2отг (2шг — шг ) о с у — -- Ьсоз(шгб -, '29) + + ДЬ + 2 соз(2штб+ 2сс). 2шгг 2(шг — 4ш;") Ангармонические поправки резко возрастают при 2шг — шг. Случай 2 >1 = шс рассмотрен в задаче 8,10. 8.6.
а) Решение уравнения ищем в виде 1 тыт, Приравнивая коэффициенты при е"", получаем (с;ог — ш~ -, '2)Лш + ЗД А )А —.— — ~, 2 откуда 2 2 1 33:А~г)2 1 4Л2 2,~А;2 г 2; рг,) Исследование этого уравнения, кубического относительно А~г, можно про- вести подобно исследованию аналогичного уравнения (29.4) в (Пй 8.7. а) Решение уравнения колебаний й — , '2Лть+ со (1+ 6соз2шс)к+ Да~ = 0 ищем в виде г: = Ае' ' ! А*с"' ' (2) причем сохраняем только члены, содержащие е=' '.' Приравнивая нулю коэффициенты при ееы ' находим и'оА4 (сог и'о '-21ыЛ вЂ” 3)З~А,~)А' = О, (3) — 'шоА'; (612 — шо + 2ааЛ вЂ” 3)3~АР)А — -- О. 2 о 'Предполагаем, что члены с е аз' ' значительно меныпне, будут компенсированы вкладом в 12) третьей гармоники, как зто видно из дальнейшего. 249 ьч 8.
Велтгнейньге кгьгебпнпя Не равное нулю Л возможно при условии шо шз — юз — 21~А — ЗВ Л~з ~газ "- шз Ф 2зшЛ вЂ” ЗВ(Л(в 'шб — "О, (4) откуда "= — '~"-ю'д ез (-'-:) — 'ш')-'1 Из 13) гюлучаемз нлз2ьо = 1щ — = .. Л 4Л А' йшо ' 18) те= г 11( — 1) — (2 т) . Итак, ж = асов(оЛ+ ьз), 17) 1 гы где А = — ае'ы. Рис. 145 Зависимость ~А~э от оза изображена на рис.
145 (для определенности считаем 13 ) 0). В некоторых областях частот возможны две или три (считая нулевую) различные амплитуды установившихся колебаний. Амплитуды, соответствующие участкам ЛР и СР, реально не осуществляются, так как такие колебания неустойчивы (доказательство этого относительного участка ЛР см, в следующей задаче, а исследование устойчивости колебаний на участках АВС, СР и РЕ см. в [8)).
б) С учетом третьей гармоники к имеет вид ,г Аегыт+А г,— тыт+Везгыт+В'г,— з".т (8) Мы предполагаем, что ~В~ << ~Лй что будет подтверждено результатом. Подставляя 18) в (1), выделим члены, содержащие ез'""; при этом опускаем произведения В на малые параметры. Оказывается, и, действительно, ~В~ << А~. 'Формулы (6) опрслеляют фазу с ючностью до слагаемого птг. Определение фазы с больп~етг точностью не имеет смысла, так как изменение фазы на гг соответствует просто сдан! у начата отсчета времени. 250 Ответи и решения Таким образом, в =- а сов(:Л вЂ” ' р) + 6 соз(Зшс -', я1), 8.8. а) Ищем решение уравнения в виде ж(Р) = а(1) сов шб + 6(1) в1п:Л, где а(1) и 6(1) — медленно изменяющиеся функции времени.
Для определе- ния а(1) и 6(1) получаем систему уравнений (см. [1), б 27) а+ (ш — шо+ )6=0, 6 — (ш — шо — )а = О. (2) Если 'шз — шо ~ < 1кло/4, то ее решение а(1) —.;. аз(Сзе "-, 'Стене)., 6(1) = еяз(Сзе " — С е"), (8) где в = — (6шо)- — 10(ш — о)з, оцз = 6 'о = 4(ш — шо). 1, з Отсюда х = С~с'~ сов(оЛ вЂ” р) + Сне '~ сов(ш1+ р), (4) яде 18 не = ыз/пз (Рис. 146), Таким образом, колебания, вообще говоря, неограниченно возрастают.
Скорость их роста, характеризуемая величиной е, действительно мала. В реальных условиях возрастание амплитуды колебаний прекращается, например, если становится существешюй роль ангармонических поправок (см. задачу 8.7) или обратное влияние колебаний на устройство, периодически изменяющее частоту. Полезно обратить внимание на аналогию между подученным резулшатом и особым решением задачи о нормальных колебаниях цепочки частиц, где 6 =.
2 В, ф .=- аг8 В. Нетрудно заметить, что яитая ~ армоника окажется малой второго порядка ( 6аА), седьмая — третьего (6зА) и т.д. Это служит обоснованием используемого способа вычисления амплитуд. Четные гармоники пе возникают. 251 18. Нелинейные ка!ебеннн Рис. 14б Рис. 147 соединенных пружинками различной жесткости (задача 7.4 в).
Неоднородность с периодом 2а вдоль цепочки приводит к нарастанию вдоль цепочки амплитуды установившегося колебания, причем «длина волны» равна 4а (рис. 140),подобно тому как периодическое изменение со временем часюты осциллятора приводит к возрастанию со временем амплитуды. Еще более полную аналогию можно обнаружить с задачей 7.6. Области неустойчивости относительно параметрического резонанса соответствует запрещенная зона спектра колебаний цепочки.
К подобным же уравнениям приводит в квантовой механике задача о движении частицы в периодическом поле. В этой задаче также появляются «запрещенные зоны» и «поверхностные состояния», б) Если ~«! — ыо~ ) Ь ~о/4, то х = С31 я!1т(й1 + 41) соя«11 — С32 соз(111 «- 1~1) з1121«1, где 11 =-— 1 ,В1,2 = н«1: !э Ша ° ! у з Колебания представляют собой биения: х = С 4~!е — шо~ — 61«о соз(2Й1+ ~) сов(1Л вЂ”; д).
где д — медленно меняющаяся фаза (см. рис. 147). Если частота приближается к границе области неустойчивости, то глубина модуляции колебаний приближается к полной, а период их неограниченно растет. Каков вид колебаний при ~еэ — 1«о~ .— —. 11шо/4? Оя1веты и решения 8.9. Пусть при О < 1 < т колебание х = е'"". Тогда на отрезке т <1< 2т, х, аелшгл + Ье — ви~л где а и Ь определяются условием ксгливания» при 1 = т: х(т — 0) =. х(т+ 0)., х(т — 0) —... х(т —; О). откуда а=.. е' '11 + "'2 Цшл — в г1т 2шг 112 и'1 Ци1-~- ~л)' е 2илг Аналогично находим, что при 2т < 1 < Ъг х = аел "+ Ве где 2 2 — яке .
1+ 2 а = е ™т(соеилгг -'1 в1пиягт), 2шлшг 2, 2 Зи~ тил1 12 = 1 В1П иЛг1 Е ' ' 2шлшг ' Ясно, что колебание вида Лею1Ф+ Ве — ™ при 0 < 1 < т переходит черезпериод 2т в колебание А(аел"'"+ Зе ' ") + В(о*с * "+,3"ел ") = = (аА+,5" В)ееи" л + (И+ а*В)е (аЛ+ В'В)е~л~+ (ВЛ+ а*В)е 'ш'л =- 12(Ле'ил~ е Ве нилл ) здесь 1' .—.
1 — 2т, аА+,В*В = де г' "Л, ВА+ а*В =. егл "В (2) Найдем такую линейную комбинацию (1), чзобы через период 2г колебание сохраняло свой вид с точностью до постоянного множителя; 253 а 8. Нелинейные килебиния Система (2) имеет нетривиальное решение при условии (а — де ' ' )(а' — рез'ы' ) 133* = О, откуда где згы|т ,, ~'~! + ~~2 Э = Ые(ае ' ' ) =соьшгтсоашзт — в1пх те1п ~ т 2о>гиэя Через п,периодов колебание ,~еиим Л,е — ы е) 0<1< т, ,— яник т Лз з = дзд 3* переходит в хкз(й) = д~~зЛз з(еы" + Лз зе '~" ), 0 < 1' = 1 — 2пт < т Любое колебание представляет собой суперпозицию колебаний вида хкз в частности, действительное колебание (только и имеющее непосредствен- ный физический смысл) х(1) =- Ае'лм -'- Л*е '"', О < 1 < т, есть сУмма хз11) + хя(г) с А* -- ЛвА Аз = л — л Л|Л вЂ” А' Ля = Л вЂ” Л (ыз — шз) т (с зд -; шз)т -- 2яп! < ьй + шз На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
