Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 32
Текст из файла (страница 32)
1, рнии имеется нормальное колебание, при котором амплитуды частиц линейно убывают к левому концу цепочки, гп = В соз("тг1+пи) "и = пзи \1+ х;/. ~и~ и Частица т~ при эюм колеблется между пружинками жесткости й (справа) и жесткости )с,~Х (слева). Тот факт, что уравнение (5) имеет подобное решение, устанавливается следующим рассуждением, Прсдпола~ия э~ малым и сохраняя лишь главные члены, получим из (5) ~рз = ) 1+ —,) в полном пзж ~ ~/ согласии со сделанным предположением, При гпм « т имеются обычные колебания, характерные для системы из (Х вЂ” 1)-й частицы с пружинкой жесткостью Й7'2 на правом конце (паапа з".
раметр ~р, и частоты ш, определяются из уравнения Гдову = —, ). 2 — соа у Кроме них, существует нормальное колебание, при котором амплитуды частиц убывают к ловому концу цепочки .1 У ' с)з — = ' »1, 3 Ф' гп 2тм г 2/г зпзя Формально значение параметра 6 можно получить из уравнения (5), сделав замену Зз = я — мр и предполагая за большим. Зто нормальное колебание можно рассматривать в первом приближении как простое колебание частицы малой массы при покоящихся остальных частицах, а затем рассмотреть 238 Отееены и решения 17.8 к„= Ае впыпре сов(шее+ и,), ш, = — яп е у: Параметр р, определяется из уравнения 2яш — — ) япХд = созХ~ряп,о, ( 2 з' 2 к,) (6) которое в рассматриваемом приближении имеет вид 18 Л:р = - - яп ня йм-~-1 Уравнение (6) допускает еще одно решение, которое можно получить, по- ложив ~р =.
г — 1ин и предполагая 4> большим. В этом случае имеем к„' = ( — 1) Вн, сов(шм1 4 юге)., йм) и з з" пФ в1т Ж4. я Ч 1мз з имз сл — =, ям= т. е. амплитуды частиц убывают к левому концу цепочки. Каким образом можно получить это последнее колебание, используя резулыаты задачи 7.57 7.8. Пусть:р„-. угол отклонения пио маятника от вертикали. а) е-е нормальное колебание не„= А, сов(п — — ) фе .
сов(ш,с -'- ае), 1Х,, где спектр частот (рис. 14! ) начинается со значения шс = .„'дуй 2 9 4Й 3 вне ш = — + — вш пт ' ~е = —., е = О, 1, 2, .... йг — 1. Л движение остадьных частиц как вынужденные колебания под действием высокочастотной силы йкте = ЙВ соз(шмс+ оч), приложенной к правому концу цепочки из Х вЂ” 1 одинаковых частиц (см, задачу 7.5 а). б) При 1тез з « х решение совпадает с решением задачи 7.2. При Йте+з » й имеются нормальные колебания, при которых М-я частица почти неподвижна: 239 4 7. Колеооная линейных веночек 7.
8] д 4Й зф ° у =- — + — яп —, О(й(н. ьч 2' е'сЬ1п -- †, );» 1 2 з д 4Й 2Х зэн = з1пуй у ='— — — 'зЬ вЂ” ' >О. хи 2Й1япК~з1т— 2 з и'1иэо у ) то амплитуды колебаний быстро убывают к левому концу и— Фн = Эояе ВЫ . ° ., ° зу СУтпу ° ° "" ° Н- лютея в противофазе О = + еЬ 2 д 4Й ах пт ' 2' Прн очень высокой частоте тп"у,УЙ » 1 амплизуды колебаний также быстро убывают к левому концу ( Й )и-". б) В области собственных частот системы еЯ+о7 е * "б Г сов ~(п — — ) д'; 2 'он '= Б!и'14: 2Й1 яп ЖЮ вуп —, 2 При у — 1 ы„возникают резонансы, так как яп Хф эйхами„— ~ О.
В области малых час ют О ( ыо все маюники колеблются в одной фазе Если при этом жесткость пружин мала 1 — 1) 'е аЬ1н — — )х но†Яп 71, 2Й1з1зУХсуу о О!23Х вЂ” 1е Рис. 141 240 Ошеевпьв и решения г>.в 2лв ь = — п212 ''в Зв~ — ьГ, 2тя 11 = ~ ~( — гпд)сов д„+ "), п=з ГДЕ УДЛИНЕНИЕ И;й ПРУЖИНКИ (ПРИИИМаЕМ /~2.'Вп~ << а) гп = аг+41221п — ' — Ь-ц — Ь+ —,~ 1~(а + 312) 24аз С точностью до членов Зг~ включительно 11 = —,гнд) 2 ~22 — овз — —:д —, Звз ) + совя1, 1 ч в'„2 2 1 12 (Ь вЂ” а) Ы 1 ЬЬ12 о= й= — п — ,' агод: 12 ' 4,з' Уравнения движения в линейном по дп при- ближении Яп+ — ~Рп — п(2фп — и~.г1 — рп 2)] =0 д 1 имеют решения в виде бегущих волн пьпа1 :Рвв (2) О!23 Х Р1вс.
142 с частотами (см, рис, 142) ,2 дв ш = — ~1 — 4о я1п — ), в 2 )' Кзв= — ', Е=0,1.....,Х, в) Ясно, что при Ь вЂ” а = 0 все маятники 1в линейном приближении) колеблются независимо друг от друга с частотой 22о = „~дД. С росюм параметра Ь вЂ” и пружинки сначала ослабляют возвращающую в положение равновесия силу тяжести, а затем начинают красталкивать» соседние макгники, так что малые колебания маятников вблизи вертикали становятся неустойчивыми. Функция Ла|раняеа системы 241 7.8] 6 7. Колебания линейных цепочек причем частоты иго и игге невырождены, а остальные частоты двукратно вырожлены. Отсюда видно, что при тра 4о --1) О, или Ь вЂ” а) (6) колебания неустойчивы — иекоторыс еог становятся отрицательными.
Раньше всех обращается в нуль частота гом. Ей соответствует фм —. я, т.е. нормальное колебание типа «гармошки», при котором соседние частицы колеблются в противофазе: цг„= — цоп н Естественно поэтому и новое положение равновесия цг„о искать в виде «гармошки»: (4) Рго = — цгго = цгзо = — 'Рло = .. = — аггее = Ф. Значение цг найдем из условия равновесия, — -- О или д(7 ВФп Фп — ел(2Фп — 'Рп-;г — Рп — ~) — 6'Рп+-))(Ф л — 'Рп»г) +2ЯР— ~Рп — х) = О, 1 з,, з, з (6) что даст 6(4а — Ц 192~6 — '1 Рассмотрим теперь малые колебания вблизи нового положения равнове- сия (4). Введем малые смещения хп = 'Рп чгпо югда с точностью до х-„включнтельно потенциальная энергия (1) равна У вЂ”..
— тд1~~~ ~(1 — — р~)х~ — (а — 243Рг)(х„— хпчг) ~ + сопвн (6) п Сравнивая (1) и (6), легко увидеть, что х имеет решение такого же вида, как и цгп (2) с частотами ш, = — ~1 — — ~с — 4(о — 24рр ) вш 01 1 г, г це1 2) Отвеясм и ремеяия (7.9 Однако теперь для малых Че С вЂ” с — все ы. положительны (см. (3)): з о 1, 2 24с3 2 се ) — ~1 — — -- 4(о —. 24су:у )1 = — (4о —. 1) > О, у 1 рз з 1 2у 7.9. а) Ток в и-и катушке обозначим ц„. Функция Лагранжа и Т, = б ~~( ЕЧь — С(ц„— Ч„тг) ) + б ~Овесе 1 4- ицг .
74 1 х с .2 1 3 1 с ° я в=с (ток через цепочку е, обозначен Чь г). Сопротивпение т1 можно ввести в уравгсения двгокеция с помощью диссипативной функции 1 Е = — Ьц,,т, 2 Уравнения движения .2'Цг -: —,(Цг — Ця) = Гсовэг. 1 ' С' .ец'„+ — (2ׄ— ц„. г — ц„, з) =-О, н.=- 2, 3, ..., эУ, С 1 .УоЧге-~г + — (Чмчг — Чм) = этим-,ы С (2) (3) Решение ищем в виде Нс( 1,с,с — спи) причем можем считать, не ограничивая общности, что — х < ссэ < л. Из (2), (3) получаем вйсз(зэ/2), — эвЫ~+ — (1 — е '~) = 17Л. С (4) (5) т.е.малые колебания вблизи нового положения равновесия (4) устойчивы. Таким образом, с ростом параметра а первоначальная конфигурапия вертикальных маятников сменяется «гармошкой».
Такое изменение симметрии подобно изменению симметрии термодинамических спстем при фазовых переходах второго рода. Аналогом о при этом является внешний параметр типа температуры, магнитного поля и т. д. (см., например, (23)). Конечно, уравнение (5) может иметь и другие ненулевые решения, кроме найденного (4). Например„ему удовлетворяет значение,о„..: „'6, которое, однако, пе является физическим, так как отвечает большим углам отклонения, а само разложение (1) справешгиво лишь при малых цх 243 4 7. Колебания линейных цепочек 7,9] Отсюда хе и Ф 1 — соачг г у' о= С 7' Поскольку Л ) О, должно быть цо > Π— водна бежит в спзрону .УЛ- цепочки. Амплитуда может бып определена нз уравнения 11).
При 72 ) .УСу'4 распространение бегущих воли по искусственной линии невозможно (ср. с задачей 7.5 а). б) Уравнения движения Жусзгп 1+ — (2цгп — 1 42п .2 — Чгп) = О, и = 2, 3, ..., 1уу. 1 -Хгу]гус+ С(21]гуу — йг — 1 Цгп~-1) = О, и = 1, 2,..., 111, (6) 1 с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (1) в задаче 7.4.
Кроме того, ~1Ч1с + 141 Яг) = ГС:ОЬ' "у1, 1 С 1 -'~ос]гмчу + — счгьчну — с]гтс) = — Йс]гыру. С (7) (8) Решение ищем в виде л сту — сугп — 1]ул Цгп — 1 В ануе — алгол Цгп — "' (9) Не ограничивая общности, считаем — уу < суо < 11. Из (6) (1 — о,с7")А — соя ср В =- О, совсд. Л вЂ” (1 — 72772)В = О, 2 714 У,дс (10) откуда соа2 зо = (1 727'72И1 72,172) Пусть, например, 71 < 72. Условия О < созгно < 1 выполняются при О < 7 < зз с'область «акуспуческих» волн, ср.
с задачей 7.4) и при 72 < у < туу71~+ 722 (область «оптических» волн), Вне этой области рас- пространение бегущих волн невозможно (ср. с задачей 7.6). 244 (7. 1О Ответы и ращения Из формулы (8) 1 В~~ 1 У В,, 1, Вв'пФ В+17,'тс = —, — — — е'т = — (1 — — соя 7) —: — . (11) .С ОСА 7С( А'' ) ' А 7С' л.о = —. Отрицательное значение;р в области ноптическихи колебаний означает, что фазовая скорость бегущей по линии волны направлена от а,сцспочки к источнику напряжения. Групповая же скорость, определяющая поток энергии (ср. с задачей 7.3), естественно, имеет противоположное направление "' ОЮ (см., например, рис.
137, где сч, < О). дз 7.10. Уравнения колебаний дискретной системы (см. формулу (3) задачи 7.1) преобразуем к виду а Гк,чз жп тп т — зт 1 й — йа —,( — ) — = О. т(, а а )а Мгв Величина и' = "" в пределе имеет смысл линейной плотности стержня р. а да х '"к Опюсительное удлинение отрезка а, т. е. величина, пропорциок„- х нально дсйствующсй на него силс В = йн, поэтому в прсдслс йа имеет смысл модуля упругости стержня ж. Таким образом, уравнение (1) в пределе переходит в волновое уравнение д з(б 1) д т(б 1) — с~ ' =О, дев джаз (2) где п — — ту ы~р имеет смысд фазовой скорости волны Здесь должно быть — з1п ~р > О. В области 1 < Тз амплитуды А и В имеют одинаковые знаки, так что д ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
