Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(1 ) Использование сообразкений симметрии (см. предыдущую задачу) и ортогональности позволяет очень просто свести эту задачу с пятью степенями свободы к двум независимым задачам с двумя степенями свободы кюкдая. Действительно, векторы нормальных колебаний, симметричные и антисиммсгричныо относительно преобразования (1), имеют вид Кроме того, одно антисимметричное «колебание» легко угадывается — это а 0 — а соа(а~,1+ со,), 6 — 6 с 41 с созйо,с + се ). У У 2ОЗ Ошеешм и решения [6.41 вращение всех частиц по юльцу 1 1 (С1+С,), ш., —.О. 1 1 г,~— (2) т(2с х И) + 2М,Х = О. В итоге в г, и г, остаются неопределенными всего по два коэффициента. Для определения их достаточно использовать всего лишь два уравнения движения из пяти, например для первой и пятой частиц: тхз — ' й(2х~ — хз — ха) = О, Л12з -~ Ц2хз — хя — хз) .=. О.
Подставляя сюда явный вид гя, найдем для двух симметричных колебаний бцз = (™ы,"нз --2)ацз, аях з»*~~~(~~ — я х Н 2тЛХ Аналогично, подставляя в (3) вектор г и учитывая (2), найдем 'М сзз = ) — ш зэ — 1)Хял, 4 Х+П3,~ 2 Л1~ е1з,з = — 2сз,з —, Хз,з, 2ЛХ (4ЛХ т) + т б.41. Рассматриваемая система близка к изученной в задаче 6.28 а, функция Лагранжа в нашей задаче отличается на малую величину ЛХ = бХ з(х, х) —: ЛХ (р, р) + ЛХз(з, 4), ЛХа(х, х) .—.. — [хез+ (хз — хь) + (хм — хз) + х~~, — « 1. Два других (помимо г,~) антисимметричных юлебания должны быть орто- гональны к г,~ с метрическим тензороьи опредеэшемым коэффициентами кинетической энергии, т.
е. 6,41] 36. Л)алые колебания систеи с несколькими отененная свободы 209 бЛы = — 2Ыг = О, так что 6 ~з = О, Аналогично бЛаз = — 2И г(хг = хз =- жа =- О, тз = — хв = 1) = — 4.)с, ЛБ —.. 22,г(а:г .= тз .— тв —. О, ад .—.. -тда —... 1, к, = 0) .= 2кан так что деоз -= --вгуà —; Га, ')/ 2оз' бЛзз = — 4зй ЛХз = 4т, бюз = — — у —. а О О и вектор начальной О 2 г,(0) соответственно, Представляя вектор начального смещения г(0) = скорости г(0) — —. 0 в виде г(0) .— —. 2,'г,(0) и г(0) =- найдем, что Аг " А =- Аз — — а'. Аа — "" Ао— 2' И в этом случае колебания по ж, у, я происходят независимо.
Нас интересуют только колебания по т. Для определения частот колебании удобно воспользоваться методом последовательных приближений (см. задачу 6.34). Частоты ила 4 невырожденныс, так что к этим колебаниям непосредственно применима формула (4) из задачи 6.34. Частота ~г исходной задачи (6.28 а) трехкратио вырождена, поэтому, казалось бы, для определения поправок к частоте и векгоров нормальных колебаний придется рассматривать систему уравнений типа (5) из задачи 6.34. Однако свойства симметрии системы позволяют сразу же указать те векторы нормальных колебаний исходной системы, которые мало изменяются при добавлении бЬ, Эпз как раз векторы (1) из задачи 6.28, потому что именно они обладают определенными свойствами симметрии; колебание гз симметрично относительно оси АВ и антисимметрично относительно СР, гг — симметрично, а г — антисимметрично относительно обеих осей.
Поправки к частотам этих колебаний тоже можно вычислять по формуле (4) из задачи 6.34. Подставляя кг =. — тз .—.- 1, жз = та = кз = О, находим 210 16.42 Ожвеяпья и решения Таким образом, в данном приближении четвертое и пятое нормальные ко- лебания не возбужлаются, и колебания частиц кз з = — '(+ сов ш41+ совыз1) 2" 2:2 4 = 1жсоаш24 — совыз1), ть = 0 2 носят характер биений (см.
по этому поводу задачу 6.31). 6.42. В этой задаче удобно воспользоваться методом последовательных приближений (см. задачу 6,34). Изменение масс приводит к появлению добавки к функции Лагранжа Ы =- — (бтз т, 3 бптз2,). Ее следует выразить через нормадьные координаты исходной системы (см. задачу 6.21). При этом коэффициент при произведении обобщенных скоростей 44 фн отвечающих вырожденной частоте, оказывается равным нулю. Остальные произведения фв), (для шр ~ ш„) можно опустить, как это отмечено в задаче 6,34.
Получаем дЕ4 =- — бтз д, 1 — бтзфз-~- — (бтг ч бтз)Яз —,'44), 1 2 1 2 1 Функция Лагранжа Е 4- бТ м как и функция Лагранжа исходной системы, раздедяется на слагаемые, каждое из которых содержит только одну из коорлинат ед. Координаты 1л остаются, таким образом, нормальными, а для вычисления поправок к частотам можно воспользоваться формулой (4) из задачи 6.34; ез+е бш1 = -.— шм дшз =- --:шз д ~з =.. шз, дщ, дшя =-О, е Все собственные частоты системы стащи раыичнгями, исчезла неоднозначность выбора векторов нормальных колебании: с точностью до е, это векторы (1) из зада|и 6.21. Интересно, что при дтд —.— бгн частоты шз + дшг и ы + дшз вновь совпадают друг с другом гс точностью до поправок второго порядка ~бш1 — бшз езшз), В этом случае функция Лагранжа Т, 4- 614 снова приводит к неоднозначному выбору векторов нормальных колебаний.
Однако 6,421 46. Маль~е колебания сискаел с несколькими смеяеняли свободы 211 в точном решении задачи при бшг = бптэ векторы нормальных колебаний имеют вид — 1 — е — 1 — е и при малых е близки к вскюрам (2) задачи 6.21 (с точностью до опущенных здесь нормировочных множителей). Резкое изменение вида нормальных колебаний происходит в очень узком интервал изменения масс ~дап — бгпз~ < езт (ср.
с задачей 6.5 а). Для определения векторов нормальных колебаний в этом интервале значений дшм бтз можно было бы воспользоваться следующим приближением в методе последовательных приближений. 6.43а. Очевидно, движения частиц в направлении осей АЛ и ВВ независимы. Будем рассматривать движение в направлении оси АА. Для первой и четвертой частиц положительными считаем отклонения влево, для второй и третьей — вправо. Согласно результату задачи 6.39 нормальные колебания г —.. (хм хз, хз, хв) могут быть выбраны симметричными или антисимметричными относительно осей АА и ВВ. Для симметричного относительно оси АА колебания хз = .ся, хз = хз. Если к тому же это колебание симметРично относительно оси ВВ, то хг = хз, хз = хв, так что для этого двюкды симметричного колебания имеем гк, = (1, 1, 1, 1)бвв.
Для колебания, симметричного относительно оси АА и антисиммет- Ричпого отпосителыю оси ВВ, имеем хг = х4, хя = тз и х~ = — тя, Хв = -ХЗ, так чтО Подобным же образом находим г,в = (1, 1, — 1, — 1)йак. г„= (1, — 1, 1, — 1)д Аналогично находятся векторы нормальных колебаний в вертикальногл направлении. Частоты колебаний мо:кно найти, подставив найденные векторы в уравнения движения. При наличии вырождения, кроме найденных нормальных колебаний, существует множество нормальных колебаний, не обладающих указанными [б.42 Ответы и реиления свойствами симметрии. Нетрудно сообразить, например, что частоты вь и аа колебаний совпадают ы„е = ы „= 2;ЙУ тт, если натяжение пружинок не произвольно, а равно И (лде! —.
длина каждой из пружинок в полложенлли равновесия). Но тогда нормальным колебанием будет любая суперпозиция векюров гв„и гвм например вектор [1, О, 1. 0)дыи Аналогично можно найти векторы нормадьных колебании в направлении оси ВВ. 6.43б. Соображения симметрии позволяют свести эту систему с 7 степенями свободы к нескольким простым [ис более чем с двумя степенями свободы) системам. Действительно, вследствие симметрии системы относителыю плоскости, перпендикулярной плоскости вссов, все нормальные колебания могут быть выбраны либо симметричными, либо антисимметричными относительно этой плоскости. Далее, нормальные колебания разделяются на выводящие частицы из шюскости весов и сохраняюлцие весы плоскими.
Рассмотрим эти последние колебания. Пусть о, 1З и у — углы отклонения от вергикали центра рамки, нити ВА и нити лУЕ соответственно. Кроме очевидного симметричного кодебания о = 0„3 = —. У с частотой лУдул31 имеетсЯ два антисимметРичных колсбаниа, ддя которых  —.=. у. 1'ак как вклады различных нормальных колебаний в фуикпию Лагралляла аддитивны, то для нахождения ылтисиммелричлльлх колебаний достаточно знать люпь слал аемос Ев = пл1з[2о" — , '9В -ь Зоуу) - тд1 [аз — 313 ), отвечающее данному тину колебаний. В итоге получаем два аитисиммегричных колебания: о =,~3 = ", с частотой Луе2ду'71 и о = — ЗД = — 3 у с частотой лу 2д,л31. Для описания колебаний, выводящих частицы из плоскости весов, исполыуем декартовы координаты отклонения частиц от положения равновесия в направлении оси х, которую направим перпендикулярно равновесной плоскости весов.
Очевидно, что симметричные колебания тя =- хи, хп = хр совпадают с колебаниями двойного плоского маятника [см. [1), задача 2 к б 23 с параметрами тл = плз = 2т, 1л = 1,!2, 4 = 31, рл = 2хп,У1, ря = [хл — хп)у'31), поэтому ыз = д[7 7 т'37)131, и хв = [6+ ч'37)хв. Среди двух антисимметричных кодебаний хл —. — хр, хп —.. — хр одно очевидное — вращение весов вокруг вертикальной оси: хл =- хп. Другое антисимметричное колебание ортогонально к указанному и потому для нел о хл = — хп = хр — -- — хр. Но при таком колебании центр каждой нити в 645) 46. Мииые колебания снсгнен с несколнкимн сгаененялеи свободы 213 первом приближении не смещается, следовательно, частота таких колеба- ний совпалает с частотой маятника длиной 31,12, т.
е. равна 51 2д,~31. 6.44. Очевидно, колебания в направлениях АА, ВВ и в направлении, перпендикулярном плоскости рамки, независимы. Рассмотрим, например, первые. Компоненты вектора колебания удобно размещать в таблице, соответствующей форме рамки. Для частиц, расположенных сдева от оси ВВ, положительными считаем отклонения влево, для частиц, расположенных справа .- вправо, Колебание ж, симметричное относительно обеих осей АА и ВВ, имеет внд х Х Х х Колебания х, Х сводятся к колебаниям системы, рассмотренной в задаче 6,7 с тз = т, тз = М, где следует положить )т = й+ йе, к = )х ьз = 2)е — ' И, 1с' = 1,11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
