Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 26
Текст из файла (страница 26)
еуд(д) .— --Сдг - Сз, дрд(1) =- Лэ сов(шзд.- ддз), д 26 Два других вектора должны быль ортогональны к векторам (1) в медрике, определяемой коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии 1 О ддд 1 'де О О 1 О Чз' — 1 1 .-ддд(ддеХ Яя, -.дддХМ 6,28) 86. Малые колебания ситнеи с нескееткити стеаеняии свободы 193 (см. задачу б.22), т. е. иметь вид а Ь г = а 8(1). Ь вЂ” о,—— 2 Подставляя (2) в уравнения движения первой и второй частиц тх1 ее 1(2Х1 — ес4 — тз) — О, ьчуз + )с(2152 — х1 — хз) .—...
11, получаем уравнения для определения величин а, Ь и частот ( — 1пы + ЗЬ)о — — Ь = О, 2 Ь 2 — 28о е ( — 1нсс .~. 2Й)Ь =-О. Из (3) находим ыз 4 —— —, Ьз,4 =- (1 х чоб)аз,л или 2 5=си/5 Ь 1 1 =' 115 гзл = 1 з Сб — — Уе-— 2 2 125,4 = Аз,л соз(ыз,41+ 222,4). 6.28. а) Пусть хо у,, 2, -- отклонение 1-й частицы от положения равновесия.
Функция Лыранжа системы имеет вид (см. задачу 5.7) (2) Чз,л(1) .5 = — й1(х, х) —, 2,1(йб 11)) + 2,1(х, 2), 71(Х, У) = 2 (У1 -~- Х2 .с Уз -с У4 -~- Уь) 2 [Х1 4 (Х1 Х5) +(Х5 хз) + хз + хз (152 ха) (ха х4) + Х4~ ~ позтому колебания по х, у и з происходят независимо. Легко угадать три нормальных колебания по х: О 1 гз= Π— 1 О 1 Π— 1 О О 1 — 1 Чз, 1'з = 1- Чз, — 1 О Ъ вЂ” — Л, сов(1сее + 22а) ~ и11 — — ыз — -- ыз —— )2Ь 194 Ошеетнм и решения 16.28 Два остальных нормальных колебания должны быть ортогональны к векто- рам 11) н потому иметь вид' Г4,5 = а Ча,в ° Подставляя этот вектор в уравнения движения для первой и пятой частиц тхг+ )сГ2хт — хь) = О, гпхь ' И(4зь --.'Г1 — тгз — хз -- х4) = О, получим два уравнения для определения и, г) и частот ы4эх '1 — шзгп -, '2)с)а — йг) = О, — 4 1 а + 1 — 1пшз Ь 4)с) 11 =...
О. 13) Решив 13), найдем шаз ь =- 13 = ьт5) —, и гьа з =-- 1 — 1 х хгб)а4 а. Окончательно Для колебании по осям р и з получаются такие же результаты, что и по оси вг. Таким образом, в системс имеется всего три различные частоты: — — — девятикратно вырожденная и две трехкратно вырожденные 2й шз , -=- 13 =, зт5) —, [о снятии вырождения см.
задачу 6.41). б) Колебания вдоль оси з легко угадывакпся Г1 .;— Гз (у Г~ ф = Лаоса(хтГ+ 'Дт)~ 111 Олз ШЗ = "14 = 1( '~( ьч)' ')( гп1' 'Пусть гад = 1а, Ь, с, е, д) = г, тогда условия ортотонж1ьностн (г, гт) =. 1г, г ) =. 1г. гз) = О Лавот соотношения а = Ь = с = е. 1 О Ф О 1 1 1 1 — 1~Я О 1 О с)з гз,4 " — 1 1 ~1 1 т4 +1 6.29] 66. Л1ня11е колебания снстен с несколвкито стеоенява свободы 195 сов(оЛ вЂ”; ~р). Для нх нахождения достаточно уравнений движения двух частиц тх1+ Л(2х! аз) =-- 0; гпхз 1- — (2хз — ха) =- О. У Здесь к(х1 + 13) + (12 х4)) У „ (2д+ — 21 ) — координата точки соединения пружинок, определяемая из условия максимальности потенциальной энергии при заданных хзд з 4.
Решая уравнения, получаем )'+ И ыз = п11 21сз 4 ' т(~+И)' Ьз = — — оз., Х . И 6.29. В данном случае ответ может быть получен простым обобщением результатов задачи 6.20 без явного вычисления собственных частот ы,. Пусть в системе имеется вырождение: ы1 = О, а ыз = о1з. Частоте ы1 = 0 отвечает врашение частиц по кольцу 1 г1 — 1 (Сб+ С3) ° 1 где ) — натяжение пружинок, а 1 — длина одной пружинки в положении равновесия. Если У = И, то колебания в направлении оси:с (или д) имек1т такой же вид, как в направлении оси з, если считать г =- (х1,хз, хз, х4) (илн г = (дз, д1, д1., дз)). Если же ( ф И, то вырождение снимается. Два нор/2д ) 2~ мальных колебания с частотами ы1 = )) †" и ыз = (1 — совцадакп с г1 11 п1 ~/ ш1 н гз.
Два других по условию ортогональностн должны иметь вид (6.29 Онтеетннт и решения Из-за вырождения частоты ш любой вектор Ат гт = Лг сон(шз —:- 9с), Аз удовлетворяющий условию ттАт + квгЛг+ тнзЛз = О, (2) представляет собой нормальное колебание с частотой ш =- шг. (Равенство (2) есть ус:товие ортогонадьности вскгору гт в метрике, определяемой коэффициентами квадратичной формы кинетической энергии — см.
задачу б.22). В частности, можно выбрать такое нормальное колебание (1), чтобы первая частица покоилась: А, = О, тттгАг+ тпзАз = О. Подставляя (3) в уравнения движения (тлт т -- 1г -- йз)Ат + йзА + йгЛз =- О, )сзАт + (гиг'т кт 1сз)Лг+ )стг1з = О йгЛт -~ йтАг -н (тпзшг — 1т — Йг)Аз = О. мы немедленно получаем, что они имеют решение лишь при йзАг -~ )сгАз =- О (4) Сравнивая (3) и (4), находим„что твгйг = тизйз. Повторяя подобные рассуждения ддя случаев, когда покоится вторая или третья частица, подучаем, что при вырождении частот коэффициетпы )с, с необходимостью удовлетворяют условию ттЙт .=.
тнгйг --- тлз)сз (б) С другой стороны, из приведенных рассуждений видно, что (5) является и достаточным условием вырождения частот. В самом деле, есди выполнено условие (5), то в системе существуют три различных нормальных колебания с частотами, отличными от нуля. Из этих трех колебаний в силу (2) лишь два линейно независимы. Отсюда однозначно следует, что этн три колебания имеют одну и ту же частоту.
Таким образом, (5) является необходимым и достаточным условием вырождения частот. 6,30] 5 6. Лежалые колебания систем с несколькими степенями свободы 197 6.30. Для решения улобно воспользоваться методом, наложенным в задаче 6.27. а] Нормальные колебания 1 1 гз — -- 1 (Сз1 т Сг), гг — -- — 1 Аз соз(шз1+ 1оз), 1 О 1 гз == 1 Аз сов(шз1 — ,',оз), — 2 (3+ 2к)1, 31. шз= тп; ц/зз= т: 61е Т 1 1 гз ==- 1 (Ст1+ Сг). гз .=- — 1 Аз соз(шз1 б- 1оз), 1 О 1 гз = Аз сов(шз1+ ~рз), 1 1+в (2) Зче1е дт, ешл - тп г Зк ОЛ, з — тп ' близки при малых е к колебаниям (6) задачи 6.18. Если перегрузок был добавлен к частице 2, то нормальные колебания 1 1 г! = 1 (С~з '- С ), г =- О Азсов(ьз1-]- у ), 1 — 1 1 2 гз — — — 1 Аз соз(изт 1- Дз), 1 близки к суперпозиции нормальных колебаний (6) задачи 6.18.
близки прн малых - к колебаниям (6) задачи 6.18 — амплитуды векторов колебаний совпадают, однако частоты раыичны. Поэтому, если в задаче 6.18 любая суперпозиция векторов гз н гз давала также нормальные колебания, теперь выбор вектора гз и гз вполне однозначен. б) Нормальные колебания (6.31 Ошее1нн1 и решения 1 в) г, = 1 (С11+Сз), 1 о — 2 гз з = азл 1 + 61з 1 соз(212 21+ 222,2) — 1 1 где 62,з аг,з Е1 + 22 2- Е1 -' 2 — Езвг а12 3 га 1 1 — е1 — Яз и е1 + 22 — е1Я2), 6 С бпн ьа ' яг а б.31. а) Вектор начального смещения г(О) —....
0 представляем в виде суперпозиции векторов г, (см. формулу (1) предыдущей задачи), взятых в начальный момент времени 1 = 0: г(О) = г1 (0) — ' гз(0) + гз(0). Аналогично представим вектор начальной скорости г(0) = г1(0) —, гз(0) + гз(0). (2) Из системы уравнений (1) н (2) получим следующие значения констант: 212 = Аз = а/2, С1 = Сз =;~2 = 222 = 0 или , ешз$ сози116 .
'сози1з1 с"ь б "оз"'21 г = — — созш 1+ созшз1 = и .;и е 111 а З1П ЗЩ и22 --2 сов и121 6 — созшз1 Таким образом, движение частиц 1 и 2 имеет характер биений, частота которых определяется возмущением И, а частица 3 участвует в простом колебании с частотой и12. Подчеркнем, что даже очень малая добавка дй приводит к накапливающимся изменениям, которые дчв доста1очно бодьщих времен становятся существенными (ср. с задачей 2.36). 6,34] 5 6. ЛИмяе колебания систеи с несколвкито степеняни свободы 199 6.32.
а), б) 1 — 1 гз =- Чз(с), 1 1 1 1 гз '= 1 Чзь гзя " 1 Чада =б'1 в) то же, что и в задаче 6.21, формула П ). , а 26+2И, а, (26 . 6.33. хпз = — хз 4 = т.—, соз 1 ' — сов у — 1; '2 яп 2 'Ъпо колебания частиц имеют характер биений (сьь по этому поводу задачу 6.31). х,— --~~ А, При этом 6Л принимает вид И. = -'-'~ 16МмЧ,Ч„-6КмЧ,Ч„'), пв где ИХм —. ~ ~6пьаА~ ~А)'~, 66сь —.. ~ ~61п А~ ~А~'~, (2) яа а уравнения движения И й1 + ы'Ч~) = — Х(666ьс)', + 6[ мЧ,,'). (3) Предполагая, что в нулевом приближении возбуждено только колебание Чп, можем оставить в правых частях уравнения 13) только слагаемые с в = и.
Для определения добавки к частоте олп достаточно выписать одно урав- нение 1с 1 —.... а,): (Мп + 6Мпп) Чп + (11пп~~„', 61~оп)Чп = 0, откуда М 2+6)г" Ип + дипп 6З4. Можно ожидать, что изменения частот и векторов нормальных колебаний окажутся малыми, и воспользоваться методом последовательных приближений. Удобно перейти к нормадьным координатам исходной системы (см. задачу 6.24) 2ОО [6.35 Отвеенм и решения так что 6Хтпп ~п а РХпп 2шпйХ„2ЛХ [4) Уравнения с 1 ф и, позволяют найти поправки к вектору нормального колебания. При этом правые части уравнений можно рассматривать как заданные силы частоты шп. Возбуждение колебаний Чп как мы и ожидали, оказывается слабым, так как эти нсилы» малы. Можно получить и следующие приближения, уточняющие поправки к шп и векторам нормальных колебаний (см., например, [13), гл.
1, 6 5). Полезно заметить, что величина БЛХ,п в (2) представляет собой добавку к удвоенной кинетической энергии системы цри условии, что скорости 2, = А, . Отсюда следует, в частности, что при увеличении масс частиц ~п) ИХ„п > О и, согласно (4), бшп < О. Подобным же образом легко видеть, что лри увеличении коэффициентов жесткости пружинок собственные частоты могут только возрастать (ср. [6), З 24; [15)). Важно понять, что изменится когда мы ищем поправку к вырожденной частоте [пусть ш„-.— шп). В этом ел у еае ко ила» в правой части уравнений (3) оказывается резонансной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
