Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 46
Текст из файла (страница 46)
При другом выборе векторного потенциала, приводящего к тому же магнитному полю, но другому электрическому, в = — — —,, адиабатиче- ! дА с М скис инварианты оказываются прежними (опять за исключением случая (Г '1 = г»'2, оь = й), Если цгт = о,щ то возможен и другой выбор адиабатических инвариантов (см. предыдущую задачу). б) Пусть для определенности 11 > шл. Движение происходит по окружности РадиУса а., с частотой шге, цснтР же окРУжности псРеьгещаетса 'з! 2ог.е по эллипсу с полуосями, параллельными осям л и у и равными бщо уЫ~ !э уштш и оси~ !! яг ! С ЧаСтОтОй оззпззГГШ в) Колебание будет происходить почти вдоль оси у; амплитуда его увеличится в;ггштугоо раз (ср. с задачей 13.19).
13.27. а) Движение частицы в плоскости хр происходит под действием медленно изменяющегося (из-за смещения вдоль оси д) магнитного угой'(к) поля. При этом сохраняется адиабатический инвариант Гь =- Ел (см. задачу 13,23). Из закона сохранения энергии имееьт ,и 2 е.Ут'(2) — птс — "- .Е. 'Вычисление частной производной производящей функции можно упростить, используя следующие соображения. При переходе от мометгга ! к г -!- бг необходимо совершить дополнительно каноническое преобразование, соответствующее переходу от Л к Л Ф бЛ Такое преобрмование задается производящей функцией Ф!Х, У, Рх., Рй) — — Хрх -!- УР', -тбЛ(т ~яХУ вЂ” ' РхР ° /пзгоз) !см. задачу !1.!7).
Поэтому — ! =- Л!шгозХУ -у Рх Рн(гп ~2). дФ; дт 'бл-- о 341 13.29) 1 13. Адиабаагические инатгриангинг Частица движется в направлении оси з так, ьак двигалась бы в потенци- еЖ(и) альном поле (т( ) = )а „. Период колебаний (ср. с задачей 2 б из (1], й 11) т где о — угол между скоростью частицы ж и осью з в начале координат. Частипы, для которых сяй~ ст > Л, не удерживаются в ловушке.
Условие применимости теории адиабатических инвариантов заключается в том, чтобы изменение магнитного поля за один оборот частицы было мало. Это дает гпсЛиг « ае3гга. Примером магнитной ловушки могут служтпь радиационные пояса Земли (подробнее о ловушках см. (29)). б) Т =- 2яа/тгвшо. 13.28. а) (ЛЕ, — Ег)аз = соЫ, Ет/,Ко = сопят, Е = Е, —; Е,; б) Е: ттЖс =- сонат, Ег;/Жо/а, =- соней 13.29. Пренебрегая в функции Гамильюна з з я 'Р; Рв, Ри е УРРа еас'зг~ в1пз 0 2т 2нп 2щгз вшз 0 2стп Впгсз последним членом, квадратичным по тс', можем разделить переменные в уравнении Гамильтона — Якоби. Адиабатические инварианты имеют вид Ог 2 Т,=ри, Тв=--,'/ 0- ', АО=-Та(р„)З), в1п 0 в, Таким образом, при медленном изменении,К величины Р еЖР р,, )) =- ра+ „н Е -в вгпз 0 2тпс остаются постоянными. 342 (13.30 Овне~ям и решения 13.3О.
ре пал х - ря ,2 2 2 3 — +, = Ьм — +2тю р = Ьз. 2т 2 ' 2т (т ш~х~ — рз)р 1- хр,ря — Л, (тушах — р )рк — 2тшхр,р = — (Ез, А). 13.31. а) га = Агс1дтш,, 1 = + Эти перемегпгые удобны, например, для построепия теории возмущений (см, задачу 13.9). б) Пусть вначале частица движется вправо от точки х = О, причем мы выбираем Я так, чго Я = О при;е = О. Тогда е з1з ) з1з 5 = ~р(ах .— я1 — па ~~ — ) — Гх~ (1 '~ о где х,- — ( ~я е:., ен', , — —, !е Л ~е — *~. ЗпГ о При движении влево е-- (/- /) ~ .. —. А., ~ф е,.~ и т.д. При и-м колебании з/3 ) 3!2 3 = (2п -- 1)1 ~ па — — Гх (верхиий злак отвечает движеиию вправо, нижний — влево; рис.
183). Функция Я(х, 1) служит производящей функцией для перехола к новым каноническим перемепиым действие-угол (см. [1), 4 49). Новые переменные связаны со старыми следующим образом: з13 ,' (() 1" ~( ° р = — а ~,— ) ((2п — 1)я — ш), 3 ГЕ 343 з 13. Адивбатичвскив инварианты 13.32) 2я 4я бл ги Рис. 184 13.32. Из равенства а н=) '2 (к — и)в* о находим РЯ, Ъ' пг'г'заа 2таз 2 8Рз Укороченное действие при па < к < (тс -' — ) а, 2) ъ'2тЕя — , '~п — 1)Р Ев=/рАи = а я гв-~)( —.— 12 2 у г' при (и+ — )а<и<ги —, ,Ца. 2) + ггс2гггЕ (га) + ги — 1)Р 12 ) Исключив Е, получаем производягпую функцию рассматриваемого канони- ческого преобразования пригга<а< (и ' — )а, 1 г 2) (-' '''' Ык, Р) = та Г /Р та)сг) + ( +1гг —.
1)Р ари (и+ — а < я < ггг+ 1)а. 21 причем х является периодической функцией ю га га — неоднозначной функ- цией к; рис. 184). 344 И 3.32 Отее~ны и решения Из равенств доо доо дР' дх находим при и — 1 < 12 < и — —, 1 2' прин — — <Я<п, 1 2 1 — (гппа Ъ'(2Ра) х(Р, Я) —.. Я+ 1/2 — н а 2 1+ (птаа~'/2Р ) 2 Переменные Р, Я аналогичны переменным действие-угол, величина аь2' представляет собой среднюю скорость частицы. Р + пннХ и 2Р Р гпаИ а 2Р прин — 1<Я<п---, 1 прип — — <Я < п.
1 2 Литература [1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Механика, «Наука», 1988. [2] Л.Д,Ландау, Е.М.Лифшиц, Теория поля, «Наука», 1988. [3] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Эл>екп>родинамика сплошлых сред, Гостехиздац 1992. [4] Г.Голдстейн,Классическая л<еханика, «Наука», 1975. [5] Д. тер Хаар, Основы гамилыпоновой механики, «Наукю>, 1974. [б] В.И.
Арнольд, Мат«ион>и»ескиел>етоды классическоймеханики, «Наука», 1974. [7] Л. И. Мандельштам, Лекнии по теории колебаний, «Наука», 1972, [8] Н, Н. Боголюбов, Ю. А. М>г>рог>ольский, Асилотн>тические мы»оды в теории нелинейных колебан>ш, Физматгиз, 1958. [9] Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев, Динаиика неголономных систеи, «Наука», 19б7. [10] Е. Янке, Ф.
Эмде, Ф. Леш, Спеииальнь>е функции, «Наука», 19б4. [11] Н. Матт, Г. Месса, Теория атомных столкновений, «Мир», 19б9. [12] и Н. Боголюбов, Д В. Ширков, Введение в теорин> квя>тованных полей, «Наука», 1976. [13] Р. Курант; Д. Гильберт, Методе> л>сапеиатической физики, Гас гехиздат, 1951. [14] Г. С. Горелик, Козебания и волны, Физматгиз. 1959. [15] Дж. В. Стрэтт [лорд Рзлей), Теория звуки, т. 1.
гл. 1Ч, Гостехиздат, 1940. 346 Литература [16) А. М. Бонч-Бруевич, Радиоэлектроники в эксиергсиенпкпьной физике, «Наука», 1966. [17) М. В. Волькенштейн, Л. А. Грибов, М, А, Ильяшевич, Б. И. Степанов, Колебания молекул, «Наука», 1972. [18) Ч. Киттель, Введение в физику твердого тели, Физматгиз, 1962.
[19) И. А. Кунин, Теория упр»гих сред с микротпрукпорой, «Наука», 1975. [20] Дж. П. Ден-Гартог, Механические колебания, Физматгиз, 1960. [21) Э. Ферми, Тра»чные труды, т. 1, стр, 440, «Наука», 1971. [22) Н,Бломберген, Нелинейная оптика, Приложение 1, 8 5, б, «Мир», 1966. [23) Л.Д,Ландау, Е.М.Лифшиц, Статистическая физика, сп, Х1У, «Наука», 1995. [24) Ф. Стейси, Физика Земли, «Мир», 1972. [25) И.М. Лифшиц, М.Я.
Азбельч М. И. Каганов, Электронная теория мета.ьэов, «Наука», 1971. [26) Д. И. Блохннцев, Основы квантовой латаники, «Высшая школа», 1961. [27) А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяния, реакции и распады в нерелятивистской кваннювой.иеханике, «Наука», ! 971. [28) Р.
Са1ойего, О. Кайн)асс, Беиеге а1 Миоио Сйпепсо 13, 383 [1975). [29) Л.А.Арцимович, С.Ю.Лукьянов, Движение заряженных частиц в электрических и мигнитных полях, «Наука», 1972. [30) М. Ш. Рывкин, Доклады Академии наук, 221, №1 [1975). [31) В.В. Соколов, Ядерная физика, 23, 628 [1976); 26, 427 [1977). [32) Ф. Рейф, Бс[епййс Ашспсап, Х 12 [1964). Глеб Леонидович Коткин Валерий Георгиевич Сербо СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Дизайнер М В. Бгзгн» Технический редакгнор А. В.
Шарабанов Коррекгиор О. Ю. Кучеренко 11олписано к печати 30.07.01. Формат 00 х 84'Ае. Пе зать офсетная. Уел. печ. л. 20,46. Уч. изд. л. 20,58. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №!. Тиравз 1000 экз. Заказ № Научно-издательский центр крсгулярпая п хаотическая динамикав 426057, г. Иьчевск„ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00. Ьцр:Вгсд.ш Ечпа11: ЬопзочСапгсд.го Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ГНПП «Вяткюь 610033, г. Ки1юв, ул. Московская, 122. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
