Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Таким образом, имеется два ее колебания. Кодебания но., симметричные относительно оси АА и антисимметричные относительно оси ВВ, имеют вид причем теперь 1.з =- )е', 1е1 = й 4 1е. Аналогично для аа- и он-колебаний: Х Х с х Х Х х с — — Х Х (' Х --Х Подобным же образом можно найти остальные шестнадцать нормальных колебаний. 6.45. В обозначениях предыдущей задачи вектор силы с в й-Ь', — ~', ~', 1-,)Я'5 о сОв,г, Он ортогонален всем нормальным колебаниям, кроме симметрично-анти- симметричных (еа).
Поэтому резонанс возникает лишь при двух частотах 214 16.46 Отвебялб и решения 7 = ш,"з, тле (ш" ) = й(2ЛХ+т) —: — ' (М+т) и 6.46. Линейная молекула С Нз имеет всего семь нормальных колебаний; три продольных колебания и по два изгибных колебания в двух взаимно перпендикулярных плосюстях (см., например [1), 6 24). Задача об определении двух симгяетричных продольных колебаний хб = — хя, хз = — хз. сводится к задаче 6.7 с параметрами йз = йнс, Ьз = 2йсс йг = О, где йнс и хсс — жсстюсти связей НС и СС. Антнсим- б б, —, „, . б у =т б у, а у еббб.з тпбие что продольное смещение молекулы как целого хб — - хз -= хз =- хя можно рассматривать как второе антисимметричное колебание, причем условие ортогопальности к нему первого абггисимметричного колебания совпадает с условием равенства нулю полного импульса молекулы.
Поперечное симметричное колебание уг =- ув, уз = уз, йнсс(тн + тс) тнуз + нзсуз = О ибвз = (йсгпннбс Здесь йнсс — жесткость молекулы при изгибе: при изгибе связи НСС на угол 6 потенциальная энергия возрастает на йнссвз,12. ПопсРечное антнсимметРичное колебание Уг =. — Ув, Уз =- -Уз, тс(ссуз — ' тн(1сс+ 21нс)уз --- О, йнгс[тсйсес ' тн(21нс 4- (сс)з;: аз , 2 3 тнтс(нс[сс где (нс и 1сс — равновесное расстояние между атомами Н вЂ” С и С вЂ” С соответственно.
Отметим, что соотношение лгежду смещениями атомов этого кодебания может быть найдено нз условия равенства нулю полного момегна импульса молекулы (нли ортогональности вектору чистого вращения молекулы как целого уг =. — ун уз — "- — уз, уз(21нс -' 1сс) .— уг(сс, которое можно рассматривать как второе антисимметричное колебание). 6Л71 й 6. Мите колебания сискоем с несколькими стенентт свободы 215 б.47. Обозначим отклонения частиц от положения равновесия в направлении Б1> через х1 и хсм а в направлении СŠ— через у1 и уз. Поворот вокруг оси симметрии СГ на 180' приводит к заменам: хз - - — хз.
у1 — ув; х с. преобразование Я поворота вскгора колебания г = (хы у~., хз. уя) имеет вид Яг = (-.х, у, --хы уз). Вследствие симмсчрии системы в ней возможны нормальные колебания двух видов: гв — симметричные относительно оси СГ, для которых Яг, = г„и антисиммстричные го, для которых Яг„= — г„. Дтя симметричного колебания ( — хз, уз, — хы уз) = (хы уы,гз, уз), откупа г, = (х, у, — х,,у). Аналогично г =- (х, у,х, -у). (Для антисимметричиого колебания поворот вокруг оси симметрии равносилен изменению фазы колебания на к.) Возможны два симметричных и два аеггисимметричных колебания; для определения частот и векторов каждой пары колебаний достаточно использовать два уравнения движения. Можно получить еще некоторые сведения о виде нормальных колебаний, не зная жесткостей пружинок.
Условие ортогональности векторов колебаний гвз и гк сводится к равенству 2ти(х,з х,з — ~ у,ну,з) — О, покззывающему, что векторы отклонений, например, частицы 1 при каждом из двух симметричных колебаний взаимно перпендикулярны (рис. 130,а), То же самое относится и к антисимметричным колебаниям (рис. 130, о). Направление, в котором опсюнястся частица при каждом из нормальных колебаний, нельзя определить, не зная жесткостей пружинок. Действительно, если жесткость и натяжения пружинок ЛС и СЕ малы, то отклонения частиц при нормальных колебаниях направлены почти вдоль или поперек пружинок В)л, и, наоборот, при малой жесткости пружинок В)л нормальныс колебания происходят почти вдоль или поперек пружинок ЛС и СЕ. 216 1648 Он~веты и решения а) б) Рис.
130 Разумеется, при вырождении частот можно выбрать и другие векторы нормальных колебаний, не обладающие свойствами симметрии. Например, при ивыключенной» пружинке ВР зто могут быть колебания каждой из частиц вдоль или поперек пружинок ЛС и СВ. 6.48. Обозначим отклонения каждого из атомов от положения равновесия в направлениях ОР через кн ОЛ вЂ” через д„ перпендикулярно плоскости молекулы — через з,. Колебания молекулы С ~Не разделяются на сохраняющие молекулу плоской и выводящие атомы из зьтосюсти.
Рассмотрим последние юлебания. Вскгор отююнения атомов удобно записывать в форме Для колебания, симметричнозо относительно оси ЛВ, ге=ем Если колебание к тому же аптисимметрично относительно оси СР, то Зз —" З Зз'— ' Ез 5- ЗЭ Зб.— З4 Итак, 1 1 Зеи†о о о,. — 1 — 1 Это «колебание» оказалось вращением вокруг оси СР. 6,48) 5 6. Магг ге кагебания скоте и с несколькими степенями свободы 217 Аналогично симметричные относительно обеих осей колебания Гы= яз ьз Одно из них 1 1 глл,г = 1 1 чели.
1 1 Это поступательное движение. Амплитуды другого можно определить, учтя его ортогональность вектору г,л ~'. йпзяг — , '2Лзсз = О, ьч — масса атома водорода, ЛХ вЂ” углерода. Антисиммезричное относительно обеих осей колебание г =- О О г)ии есть крутильное колебание вокруг оси С17. Наконец, (1 -1 з'ил,г = гн аг ггил,г Здесь для вращения вокруг оси АВ (колебащзе г„з) имеем аз = 1ос/)он— отношение расстояний атомов углерода и водорода от оси ЛВ в положении равновесия; для изгибного колебания (г„, ) 2ш 1он ог —" — —— Лз 1ос (6.48 Оп~ее~вы и рег«енин Аналогично могут быть рассмотрены и колебания, не выводящие атомы из плоскости молекулы.
Вектор отклонения тапи~нем в виде кз уз Хв Ув Г= тз уз як уь :гз уз :гв Ув Общий вид колебания ав хз уз хд — уз гае = х20т20 7;з — уз кз уз В число ав-«колебаний» входит поступательное движение молекулы в направлении оси к (зи = кз, уз = О). Два других ае-колебания изображены на рнс.
131, а, б. б) д) е) М ж) е) Рис. 131 Чтобы представить себе вид отклонений атомов при этих колебаниях, заметим, что расстояние между атомами углерода нс изменяется связь С вЂ” С «не работает». Если пренебречь взаимодействием относительно далеких атомов (например, 1- 4, 1 -5 на рис. 40), а также жесткостью углов вида 1 — 2 — 5, то рассматриваемые колебания совпадут с симметричными относительно оси Се) колебаниями двух «молекул» НзС, происходящими в противофазе (ср. с задачей 6.46; колебания молекулы вида Аз В рассмотрены в 11), З 24, задача 2).
6,49) 46. Манне колебания сисннен с несколнкимн скнененяии свободы 219 Общий вид зн колебания х1 уэ — х1 уз Гла О уз О уз — хэ уэ хи уз 6.49. Функция Лагранжа Х =- — (и, -:.О, + цз) — — '(( гю — гзо+ ни — нз~ — 1) -1- т.зззй з 2 '- 2 + (~гьи — гзо -~. нз — нз~ — 1)з — Дгзо — гю+ из — нэ~ — 1)з), где! = гю — гзо/ = ~гзо — гзо, '= гзо — гю1; н — смещение а-го атома из положения равновесия, определяемого радиусом вектором г„о. Носкольку ~н„~ <<1, имеем пз(.з .з .з) (1) — — ((ею(пэ — из)) + (езз(нз — нэ)) + (езн(из — нз)) ), где Г10 — Гзо е12 = гзо — гзо е з = гзо — гю ез1 = ! В системе отсчета, 1де полный импульс оз(н~ + н + нз) = О, выполняется условие нэ + нз + нз = О.
(2) Крол~с поступательного двиявения в направлении оси у, вектору г„соответствуют два колебания (рис. ! 3 1, в, г). Одно из них (в) мо~кно представить себе как колебания двух «молекула НзС, аитисимметрнчныс относительно оси С!Э и происходящие в фазе. Другое (г) — зто вращения «молекул» НзС в разные стороны, Если бы можно было полностью пренебречь связями удаленных атомов и жесткостью углов вида 1 -2-5, то частота этого колебания оказалась бы равна нулю. Среди аа-колебаний есть вращеэзие молекулы как целого в плоскости ху, антисимметричные колебания «молекула Н С в противофазе (рис. 131, д) и их вращения в одну сторону (рис.
131,е). Возможны также три зн-колебания (полносимметричиые), они изображены на рис. 131,хс, з, и (подробнее о колебаниях молекулы этилена см., например, в (! 7).) 220 Овеетиьь и решения Кроме того, накладываем на н, условие [6.49 м1 х [гзоп!) -' [ггопг) + [гзонз) = О, [3) равносильное требованию, чтобы момент им- пульса молекулы М = т ~ З~;:гас †' н„ п,) [4) а Ха Ут обри!дался в нуль с точностью до перво!о поРис. !32 рядка по н„включительно.
Оказывается удобным выбрать дття описания движения каждого атома свою систему декартовых координат [рис. 132), сохраняя таким образом симметрию в описании системы. Равенства [2), [3) в этих координатах дают! 1 Л з 7 1 Л у! + ( — — уг 4- — хг) + ( — -уз + — хз) =. О, 2 2 ) [, 2 2 [б) Л з 7 1 Л Уг+ ( Уз+, хз)+ ( — — У! — — хз) =О, 2'' 2 ') Г2 [б) откуда хз хг т! тз х х! ут= — уг=, уз= Л = [хе +х +аз) 3 [хтгьг+ х!гхз+ хзгьз) 2у[хз + гг+ ха) бт ;,э ,г ,г т ; ;, ; , ;, 3 . г г , г Одно нормальное колебание [полносимметричное) очевидно: [тЗ ОО [з! 1 —" хг '— хз —" Ч!. т3 [7) 'Напрнььер, умножая обе стороны равенства [2! на еаз, получим [5).
Нри этом нукно у мста, что вектор егз в рамичиых системах имеет коорлииаты а м =. [Ха, ри)а. Равенство [6) получается иа !5) крутовой перестановкой индексов. 6,491 5 6. Малые колебания систем с несколькилги степеюот свободы 221 Два других колебания ортогональны первому, что приводит к условию' (8) 12) 12) Одно из этих колебаний симметрично относительно оси хг, х~~ —— юг другое -- антисимметрнчно: гсвг — — О, х~з ) — — — хз ). Учитывая (8), имеем .;- = -2,; = -2 2 = ~1 ~92 12) , 12) 12) 1 2 ~1З 6); —.. —.тб) =— 22 -- "' 3 = ЧЗ. ьг2 1 12 ..г, Д ~/3 ' 1 1 хз = — йг — — 92 1- АЗ ъ'6 1 1 хз ="' — е)г — — Ф— Л гг6 приводит функцию Лаграюка к виду Замена 1 — Чз, 1 — 93 иг2 2 (чг + ~92 + лг13) 2 19~ + 92 + Чз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
