Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Частный случай при няг = 2 см. в задаче б.1. 7.2 б. В качестве обобщенных координат используем отклонения каждой из частиц от вертикали 1ср. с задачей 6.3). В таких переменных задача полностью сводится к задаче 7.2, а) с )тут =- дД. 7.3. Уравнения движения совпадают с уравнениями 13) задачи 7.1 при дополцителыюм условии хе — -- ям и дгг нг = жн Поэтому причем частоты шя и шгг, совпадают, а соответствующие им вощювые векторы отличаются знаком .р, =- 2я — р7я,. Частоте шо —... О отвечает движение всех частиц по кольцу с постоянной скоростью.
В системе возможны колебания вида (я1 и 1 цшд — ии,1 - Бе 229 7,3] 8 7. Когзебпизш линейлык Иетзовеи т. е. бегущие по кольцу волны. Упомянутое выше двукратное вырождение частот соответствует волнам„бегущим в разные стороны. Наложение двух таких волн с равными амплитудами даст сюячую волну ] сов п.р, сов(ьз,! + о,), (2) Эю и есть нормальные колебания (все точки движутся в фазе или противофазе). В соответствующих нормальных координатах я (бзт гни 11 ьэь + 9„2 втп тифе) + оо, з:..1 1У вЂ” 1 [т =,, 1У вЂ” нечетное, 2 функция Лагранжа приводится к диагональному виду: 2 (Если число частиц четное, то формулы (3), (4) следует несколько видоизменить в связи с тем, что частота ьэьгуз невыроткденная; формула (Ц при и = з'т'/2 сразу же определяет стоячую волну.) ИНТЕРЕСНО ЗаМЕтИтЬ, Чтп ПОВОРОТЫ В ПЛОСКОСТЯХ т[,1, дазз ]а1 фз1 с0$19з вкз зп1 3 а з г],2 =- т]зт вшам, + 1[,2 со8,3„ сохраняющие вид функции Лаграцэка (4), соответствуют смещению узлов стоячих волн: х„.=- т]в -'- ~ (1[,1 сов(ттсэ, -- 3,) + д,'2 в[п(ттьэ, — 13в)].
Для бегущих волн (1) средний поток энергии по кольцу (см. задачу б.9)' зк/ш 5,р —— — Й(Хм 1 — Хп)ззи т[Г = — Й'А~зоэ 81П М, о 'Ннжс ЛЛЯ КРаГКОСтн МЫ ВСЮДУ ОПУСКаеьз ИНЛСКС З. ВЫЧИСЛСНИЕ ПОтОКа Отр И ЭНЕРГИИ и удобно производить в комплексной форме, воспользовавшись формулами из [2], [24К 2ЗО !7.4 Оя!ее!им и решения а групповая скорость е!ш йе и, = — = я! — 'асоя —, е)р )! щ 2' где а — равновесная длина одзюй прузкипки, р =:р!а — волновой вектор. Энергия Š—...
~ ~~ хз -Р— ~ ~(хп — х„!)2 .= 2Лр~А ~й я!и — =-- — г!ргпш~!А'2. и потому Е !др — Вср 7.4. а) Уравнения движения < П!.Е2п — ! + 7Е!222п — ! Х2п — 2 Х2п) = О., Их + /е(2хзп — хзп ! — хзпя !) =- О, ~т Ищем решение в виде бегущих волн разной амплитуды пйичем хо —" хз!е,. ! =. О, и х —.- Аей !х!2п Ие' Х2п — ! — ' х — Вег!"'казне.: Х2п-- (2) ш еи М Для определения А и В получаем систему од- нородных уравнений ! 23 ( — пке~+2й)А — й(е '" -'спе)В = О. — И(е '4'+ епя)А+ ! — Мшя —; 2И) —. О, (3) Рис. !37 <4) имск>щих нетривиальные решения, только если детерминант обращается в нуль. Это условие определяет связь частоты с разностью фаз колебаний соседних частиц 231 74] ]] 7.
Кооебонне донейнмх веночек Дополнительным условиям удовлетворяют только определенные линейные комбинации бегущих волн (2), а именно: тг„з — — А, яш(2п — 1)р, соя(о»,1 — , 'а,), кз„= В, я1п2п»рд соя(оддс —, од)» у которых р, = "е . Так как»родкчг, = я —:р„то различные ча- 2?е -, '1 сготы при выборе определенного знака в (4) мы получим лишь для я —.
= 1, '2, ..., ]»'. На рис. 137 (для случая М ) т) они укладываются дискретными точками на две различныс кривые, одну из них (ш( )) принято называть акустической, другую (до1„1) оптической. Обшсс решение имеет вид лз„з = ~ ~вш(2п — 1)рд(А(ь),соя(до1 ],?+од)+А( ),соя(ю1 ],1+?3,)], »=3 Узо: К~» я1п2пфд(В(я-]д соя(ю141 Х + йд) + В(»» соя(ю1 1 я + Вд)~» »=1 где А( ), и В(*ц связаны, согласно (3), соотношением 2?е — то»~ 1, д 2К А< )д.
соя р, Замечательно, что В( 1, и А( )„отвечающие акустическим частотам, имен>т одинаковые знаки, а В(, ], и А(т], для оптических частот имеют противоположные знаки (т. с. соседние частицы с массами т и М колеблнпся в противофазе). Распределение амплитуд колебаний для случая д"»' = 8, я = 2 показано на рис. 138, где на оси ординат отложены номера частиц. а на оси абсцисс — соответствующие им амплитуды (а — для акустических и б — для оптических колебаний). Каким образом можно получить из результатов данной задачи предельный случай т = ЛХ (см.
задачу 7.1)7 б) Нормальные колебания к„'„= А„яш 2п»рд соя(о»,»1 4- и, ), К яш 2прд + й яш(2п, — 2) рд жз',, = А, ' ' соя(м,с и,)» /с+ Л вЂ” тюз 2З2 (7.4 Отвеин и решения Ряс. 138 где ш" — — — ,,'К вЂ”, ( ~ 1 г з т'. а ~р, определяется из уравнения М(2К+1)чя —" — . Ц~р„я.—.- 1, 2, ..., Х, К вЂ” й К+й 0<Ф8< —. Кривыс для оптической и акустической ветвей частот представлены на рис. 139, а (при К ) й). Как совершить переход к предельному случаю К = йу в) Величина ~ря =- ка; для а —. 1, 2, ..., Х получаем 2Ж нор- 2(Я ь 1)' мальных колебаний и собственных частот, имеющих тот же вид, что и в гзз 7,4] я 7.
Колебания линейных яенонек 2(Кем 2К 123 12З Л'Х-~1 а) б) Рис. 139 пункте б) (рис. 139,б). Как найти недостающее и самое интересное нормальное колебание хз„= О, хз„гК = — хзн гй, частота котоРого щоз —— К4й лежит в нзапрещенной зонен меяглу огггической и акустической гн ветвями? Рис. 140 Распределение амплитуд этого колебания показано на рис. 140, где па оси абсцисс отложены номера частиц, а на оси ординат — соответствующие им амплитуды колебаний. Частицы, имеющие четные номера, неподвижны, а соседние частицы с нечетными номерами колеблются в противофазе с амплитудами, экспоненциально затухающими при удалении от левого конца цепочки (кповерхцостпый фононя).
2За Отееены и решения 7.5. а) Решение уравнений движения тйн + Ы2х„— ж„з — ж„+з) = О, и = 1, 2,, Х (1) 1дополнительные УсловиЯ жв = О, жи»з = асов71) ищем в виде сзпЯчих волн к, = Л юп пр сов 71 так, чтобы сразу удовлетворить первому дополнительному условию. Тогда из второго условия находим константу А = .—. а1 в1п()я' 4- 1) р, а из уравнении 11) — еволновой вектор» р стоячей волны з Р га"1- 2 4й' При 7Я < — установившиеся колебания 4й в1п гир тв = а „соа71 в1п(Ж 1) р (2) :г,„= а, ' сов71. и )я'+ 1 Если у > — „„, то, сделав в 12) замену р =- н — 11», получаем 2 4й 1) М-~-1-~-и айпф зй(Х+ 1)ф где сЬ~ — = ' .
Амплитуды колебаний частиц убывают гири пф >> 1 Яп 1 экспоненциально) к левому концу цепочки. Естественность этого результата особенно очевидна для у » вЂ” ', когда частота вынуждающеи силы лежит 4й яп' гораздо выше спектра нормальных частот. В этом случае крайняя правая частица колеблется с малой амплитудой в противофазе с вынуждающей силой, а 1К вЂ” 1)-я частица в первом приближении покоится.
Затем можно имеют большую амплитуду, если знаменатель вш(Ае + 1)р близок к нулю. По именно это условие и определяет спектр собственных частот ее, (см. задачу 7.) ), т. с. при этои мы имеем случай, близкий к резонансу, 7 = шя При 1 « шз .— 2я1 — вш Я.. колебания (2) соотвстетвуют медленному 2(Х 4- Ц растяжению и сжатию всех пружинок как целого; 235 7.6] з 7.
Колебания линейном Невинен движение ( хх' — 1)-й частицы рассматривать как вынужденное колебание, веязванное вынуждающей силой большой частоты со стороны Х-й частицы, и т.д. Отметим, что в явлениях полного внутреннего отражения имеет место аналогичное затухание волны (иапримср, при отражении коротких радиоволн от ионосферы). Какой вид имеет установившееся колебание при 7з = —,? „г 4й соеОУ вЂ” и+ 1У2)~О б)жи ...о сов" 1 сое(тц + 1У2)у г зг гну г 4й яп 2 — 41 при 7 < еп.1 в1з(Я вЂ” и + 1~2)гл з(т(Х + 1/2)ЛЗ гч' тй 4й при 7 > и,. 7.6. Если частота вынуждающей силы лежит в области акустических собственных частот 0 < 7г < 2й или в области оптических собственных М частот =' < 7 < — (см.
задачу 7.4а), то установившиеся колебания , 2й,г 2й и яп(2п — 1)уг хго — з =. а, сов71 в1п(2п -ь 1)ег 2й — туг яп2п тго =- я о соз74, 2й — ЛХзг зйт(2Х+ 1)гг ' (2й- М,г)(2й— где совг7г =-- , а верхний (нижний) знак отвечает ча4йг статс 7, лежащей в области акустических (оптических) собственных частот. 236 Оеее1нм и решения (7.7 Для частот = < у < =, лежащих в «запрещенной зонен, ж г 2Е и т' сй(2п — 1)я1 ( — 1) г~"а, сов йгп с11(211' + Ц1р 2й — туг в!1 2п12 хг, г 2ь сЦ2Х1+1)е, " (2й — гп7 2) (Ы7 2 — 2й) 4рг т2п — 1 = Хгп = вй ф= и ддя частот у ) —, лежащих выше границы оптической ветви, г 212 д' в11(2п — 1) Х о сов.ф, 211(2'Ч -У- 1)Х 2й -- тъг вЬ 2пХ ~ 2й -- ЛХ уз в(1(2211+ 1)Х (М-72 — 2к) (гп уг — 2к) 4й2 Х2п — 1 с11 Х.=- колебания затухают к левому концу цепочки.
7.7. а) Решение уравнений движения тнхьу+ )е(2хьу — хн 1) =- О (дополнительное условие хв = О) ищем в виде стоячих волн: (2) х„=-21вуппггсов(~Л+ а), и = 1, 2, ..., 21 --1, хи = Всов(иге+о). Из (1) находим связь 4Л 2Ф г — сйп — = «1 . П1 Из уравнении (1) и (2), с учетом (3) и (4), получаем систему (4) Ав1цХзг —  —. О. г 2тм — Ав1п(Ж вЂ” 1)„е+ ( — ' сйп — т 2)В .= О. 2 тх„+1(2х„— х„1- х„1) — —.О, п=1,2,...,Х- 1, (1) 237 З 7. Колебания линеаных цепочек 7,7) Отсюда В = Ляшку, а параметр ~р определяется как решение трансцен- дентного уравнения Г 4пзн я)п Хэг ~ аш — — 2+ соя Зт) — соа Мр а1п ~р. 2 (б) При ттг » т, кроме очевидных нормальных колебаний, когда частица ти почти неподвижна (иштар, « 1), ж~') = Л, вшпп, соз(ьэ,1+ ц,), п = 1, 2, ..., Х, тдХЗ:, =, г стй — ', а = 1, 2...., Х вЂ”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
