Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Мание колебания систем с несколькими свененкми свободы 179 6.8. а) хз г —. — '~ — вшыз1 х —, в1пил «); при йз << 1с колебания об 1 1 2 ~,ил ыг имеют форму биений: хг =-. — сояя1 ыпы1, с и3 хг —. — — вйтя1 сояил1. й б) хз г = й— (совы,б а сояилгт); при йз « й 2 хз — — асояя1 совы1, хг = авшяв яшый й г 21э и-й 1л 1, Всюду и/з = —, шг =, с = — мл1, и/ = — 1ии + о/г). - т — т --26 21' 6.9. Энергия, переданная от первой частицы ко второй за время с)с, равна работе силен 7л = 1 з(х~ — хг) с1Š—..
Йз(хз — хг) «хг .— кг1х~ хг)хг сев 6.10. Уравнения движения тйз + Й~(х~ — хг) + кхг -1-охз = О, тхг + 1д (хг — х~ ) —; Кхг + пхг = О пРи замене хц г = — (сз ='ог) РаспаДаютсЯ на Два УРавнениЯ Длв ноРмаль- 1 Л ных координат Сз + хзоз + 2Лсз = О, г Чг + олгаз + 2Лс1г = О, где ии =,— „', ыг .— -- ', 2Л =-. —,. Поэтому при Л < х~ г 1см.
[1), 6 25) й г /с+21ч о х~ ' = е." ~'1асоя(чзв-1- д~) х Ьсоя17г1яи,ог)), гдеэз г= ил~ г — Л. г г Для системы рис. 22 при наличии трения характеристическое уравнение не биквадратное, а четвертой степени, поэтому найти свободные колебания гораздо сложнее. а поток энергии — = Й~(х~ — хг)хг. Для предельного случая Й~ << й НЕ Й в задаче 6.8 а поток энергии, усредненный по периоду быстрых колебаний, равен '"" ызып 2яв и меняет знак с частотой, равной удвоенной частоте биений.
1З0 [б. 11 Он~кеты и реьтения б.11. Функция Лагранжа двойного маятника М г т; вт9 г еп9 д Ь = — х + —.'г — т, — — ~л:~ + (хг — хг) ), 2 ' 2'- 21'' 2! где х1 и хг — отклонения точек ЛХ и т от вертикали, проходящей через точку подвеса (ср. с задачей б.За). Заменой т/Я' функция Лагранжа сводится к виду, рассмотренному в задаче 6.5а, причем 2тп9 « .. 9 /т лп «7~/и' В этом случае М1 нкг)) У '= (бягг + Яг)~ ~(2 ъ'2 где Я, =- а,соей,1+ 6;впзй,г, 0Утгш С учетом начальных условий Щ г~0) —., Щ г(0) .—.
0 получаем ~2 тс =- Ц ~ — гйп у1 в1п )~ — 1, )9 хг — -- Цсов 1 сов. '1' 1 Таким образом, маятники колебля>тся «по очередня и амплитуда верхнего маятника в ЬГТХ7т раз меньше, чем нижнего. б.!2. сй(1З + 1 — т уг) х1 г г г ' ' ' у~" гл,~(Зг — н>-) (Тг — ш-) аИсг хг= „,, созт1, пг (З вЂ” и'г)(7 — шг) г А г А+2й, где нгг =,, шг = 6,! 5) б б. Масисе колебания сиепсеи а неакол~ кани апепеняии аообобы 181 6.13. хз = хг = сов уй где г:; —.
смещение вдоль кольца из ак lс — тт положения равновесия у-й частицы. Резонанс возможен только на одной из нормальных частот при уг = Л.,ст (см. задачу 6.24). 6.14. Пусть г:, — смещение вдоль кольца из положения равновесия 1-й частицы, тогда а(с( ог — уг) хз — хз — г,, сов уу т(?г- з)(?'-шг) ' ' 2а/сг хг "— о г соь 1~ тг(тг —. ~-)(уг — саг) где собственныс частоты иб равны ш, з = (2 т ъ'2) —, шб = — „,. Обратим Ус з 21 внимание на то, что при у =..
шг смещения хз —.. хз —.- О, а хг —. — а совой Почему число резонансов в системе меньше числа нормальных частот? 6А5. Уравнения движения (ср. с задачей 6.12) тхч+оху -г Ихц + усу(хз — хг) = йайее'т, 'ттг + цхг + йхг + Й1(хг хз) = О. откугза А аус(Ус —: кз — т уг л- 2сЛспй) гиг( у- '— 21ЛО - шзг)(.уг — 21Л у — согг) ' г(„г 2;Лу г)(„,г 2 Л,, г)' сов("уУ + кгу + хг 4 ~~) т ((,г г)г, 4Лг,г)~(,уг и,г)г л 4Лг г) аусус1 сов(у1 — , '~дз + Згг) Хг г ((,нг,аг)г + 4Лг,кг)(( г и,г)г + 4Лгчг) ' )с+ 2(сз 2Л-у т ' ~~цг г г 4ЛО убгк = ига+игл — 2 Уг г й т' Ищем решение в виде хч .—... Ве Ае'т', хг —. Пе Ве'". Ддя А и В получаем уравнения (- пкуг+ 2гтЛу ~- й+ Усу)А — УсуВ = Ка, — УссА+ ( — т у + 2стЛ у+ ус + Усз)В = О, 2тЛ = гк, 182 16 16 Ожвеепня и решения Между колебанияъпз двух частиц возникает сдвиг фаз у; полного демпфирования колебании первой частицы пег. Амплитуда колебаний как функция частоты вынуждающей сгшы 7 имеет один или два максимума в зависимости от соотношения параметров шм шг и Л (см.
116), 6 1). 6.16. Функция Лагранжа системы (х и у — смещения из подожения равновесия первой и второй часпщ) гй яг .г Йг ' Йг д "г .1. Йз з 2Йг, А = — (х + у — х — у + — ху) + Йгахсову1 2 ' йг ' гй ' гй ' отличается от функции Лагранжа, рассмотренной в у задаче 6.5 а, лишь слагаемым хЙЛ асов 71, отвечаюЯе щим силе Йча соз уй действующей на первую части- е1 цу. Ниже мы будем пользоваться обозначениями зад ,р lйив+Й, дачи 6.5 а. Парциальная частота шг г;. соответствует нормальной частоте системы, которая получится, если закрепить вторую (первую) частицу в положении равновесия, т.е. положить у = 0 (соРвс. 127 ответственно з: — — 0), При переходе к нормальным координатам (,)и (Зг функция Лагранжа приводится к виду г .=.
— Я1 — ЙЯ1 'г Яб —. ЙЯ6) -- (ГЯг 1. Ггеег) соз71. 2 где Гз = Йча сов р и Гг = — Йга вш;. — проекции амплитуды силы Г = Йгасозу1 на нормальные координаты сзг и Яг (рис. 127). Для координаты („Зя г мы получаем уравнение движения осциллятора с частотой Йг г под действием вынуждающей силы Гг г сов 01. Начальные усдовия Ог(0) = (езя(0) = О. Получаем Гц г (сов 71 — соз Йг гс) У данной системы в приближении слабой связи Йг =— е « 1 Йз — Йз 6, 17] й 6, Маяь1е колебания сисгоел с нескояькили слеленяли свободы 183 !для определенности йг ( Йз) интересно рассмотреть резонанс на второй нормальной частоте.
Полагая 7 = Пя(! -' к1), имеем Й1а ь',11 = (соз 1аз1 — сов ыг!), 11 — йз йгаьз .—.. — вш! ег — ! ) зшыз! при ,,'ег~ (~ 1, щзег ), 2 йга гео = — к!з1пыо! 2тыг пРи 1=0. Таким образом, даже при слабой связи амплитуда Яз может быть большой или расти со временем, однако скорость ее изменения при этом будет мала.
Поскольку угол поворота мал 1в111 ьс = е), для смещении имеем; ж = нсг — с ььгз и д —" квз. Какова скорость роста амплитуды колебаний при резонансе на первой частоте 7 = Пго Как изменится характер колебаний, если на обе частицы будет действовать малая сила трения, пропорциональная скорости (ср. с задачей 5.11)? 6.17. Го соз:р Го в1п:р а) к =,, соз?й р =, „сов71, - (4 -,з) т(-,з †,з) где ыг = †', и1., = †,„, д -- угол между направлением силы и осью АВ, аж и р — смещения из положения равновесия вдоль осей АВ и СВ. Частица колеблется вдоль прямой, проходящей через центр.
Интересно, что при Тя = ыз в1пя Ьс + 1о;,' сова Ьо эта прямая перпендикулярна к вектору Уо. В этом случае работа вынуждающей силы равна нулю. Поэтому, казалось бы, наличие даже малого трения должно привести к затуханию колебаний. Так лн это? б) т =, сов э!, у =- з1вэй Траектория — эллипс Г Г пгМ вЂ” Э ) ' гп(аг — 1 ) с полуосями а =, н 6 =, Если величины (1с~~ — эз) Г Г пгяо~ — 7 ~ ог,'ыг 7" ~ и (гозз — уз) противоположны по знаку, то движение частицы по эллипсу происходит по часовой стрелке, а вектор силы вращается против часовой стрелки. Как изменятся описанные выше каргины движения частицы, если натяжение пружинок в подожении равновесия не равно нулю? 184 1б.)8 Оп1ветпв1 и решения б.18.
Пусть х, — смещение т,-й частицы вдодь кольца из подожения равновесия. Три частицы могут вращаться по кольцу с постоянной угловой скоростью, при этом хт = хг =- хз = Сб 4 С1 = 81 (г), )1 = О. (1) Колебания жс частиц 1 и 2 навстречу друг другу с равной амплитудой х1 .—.= — тгг --- Асов1птг14 о) —. 1)г(1), хз -=- О, шг -. ~/ —, 12) Гз~ происходят, очевидно, с той же частотой, что и колебания частиц 2 и 3 навстречу друг другу Х1 "- О, Хг .—. — ХЗ =.
тэ СОЗ(ШЗе т )э) — ЧЗ(1) ШЗ =- Шг (8) г( г, Рис. 128 Введем «вектор смещения» тогда колебания 11) — (3) можно представить в виде (рис. 128), гт= 1 г)1, гг= — 1 дг. гз= 1 1)з. Любая линейная комбинация векторов гг и гз также представляет собой колебания с частотой шг. Таким образом, в пространстве с декартовыми координатами х1, хго тз совокупность решений, отвечающих колебаниям с дважды вырожденной частотой с, г =- шз, определяет плоскость, проходящую через векторы гг и гз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
