Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 19
Текст из файла (страница 19)
р 4- +ъ(1 — г). Здесь р -- прицельный параметр, а г -- момент времени, в который частица находится на минимальном рассюянин от центра. Тогда в = ъ л~ Р(1)вЫ = е е в~о = ту Э'2 зе, 'Р = лг, а сечение рассеяния для частиц с данным г при соево > 0 (соз.Р < 0) есть г "~т ия ц (О пРи 0 < е < е„о соз~Р (О > е > вт соз,Р), при )е > е,„(сезар(.
~38 Ошеевпьв и решения (З. ~5 В падающем пучке есть частицы с различными г. Усредняя сечение по фазе 22 (например, для е > О по формуле а — — — — й22, о =-. агссоз — "), — а получим О при )е( < е при )е! > е 2,2 Л= дХ Лзсйп0й0 и оо вф — т вв в ввяк О < 0~ (агсгкЛ ', если $' < пов (.г — агс28 Л~ ') < 0 < я, если Г < по. 3.15. 3.1б.
йву б(зшпх 2 )(2 твп1п) й'Г, 2У (т,„— т м) тшы<т<т т увмп — о (по ) юв П2 = в 'ве'в' 3.18. 2 — ( 0 ( я при тв ( тз, 0= — при тг =т, я 2 0<0< — притг >тз. л 3.19. В системе центра масс в результате столкновения составляющая скорости, нормальная к поверхности шариков в точке соприкосРис. 112 повення, обратится в нуль, а тангенциальпая оо сохрангггся (рис.
112). Сечение рассеяния, выраженное через угол Л отклонения частицы в системе центра масс, йа — л~йр' =-- 4оат~й созя у =- 4о' созт йо. 3.П. Гя 0 —.. стя 0 Ергв ив = Езпея'еЯ' вгв и пввен — (ОО 2 Е =- ,2 2 3,22) 13. Сеченгте рассеяния в заданнпчг неве. Сзналинавение чаетвии 139 Длл перехода к лабораторной системе нз равенства по ьйп т' вш 'С сов ~ 180 = тго сои Х вЂ”: по 1 + сов находим соз хг з = — сов 0 — 1 8 — сов 0 О сов' 0 — 8.
2 3 з 1 .'2 2 ' 2 Учитывая обе возможные связи )г с О, получаем йт —.. 4па (т)сов )гг~ + ~огсоз~ )гз:) —.. а-.а ' 'т а х х)-а. ~ — 91 т причем О < 0 < шсяп —. 1 3' Если налетающие шарики тождественны с первоначально покоившимся, так что не имеет смысла различать их после рассеяния, то к полученному сечению следует добавить сечение вылета первоначально покоившихся шариков в телесный угол о)о: г)п' = 4а сов дога (О < 0 < г,)2). 3.20. 11ж') = т'(0)е 3.21. г1."т'.—...
ппттга~зтг — зтт/гЛ'гт1. 3 22. а) д;р = 2ттиап ~)(0И1 — совд) япде)дд о 2 б) (Е)~) = 2гг~ — "') п) / 1(д)япздггд; о здесь ) — путь, пройденный частицей массы ЛХ, о — ее скорость, а и концентрация легких частиц. 1 Величина т — 11 — сов В) до называется транспортным сечением (в отличие от полного у Йт т' до сечения / — Ио). р Йт ,/ до 140 (4А Опяеегпм н решения ~ 4. Уравнения движения. Законы сохранения 44.
Полагая т =-О при т =-О, находим С.— --О, а из условия т, — --анри г —.. т находим В .=. а — Ат. Используя функцию а(Е) = Атз + (а — Ат)й вычисляеля действие д= ~Л( Е)да= /~ — '+Г Зж= ий' + ' — ~А" +~О . 2 3 2 3 2 ' 6 2т 6 2 о о Из условия — ' = О, определяющего минимум действия, находим А = —. дд Р дА 2т Ясно, что закон движения в данном случае оказывается точным. Однако приведенное решение задачи позволяет только утверждать, что этот закон является в определенном смысле наилучшим среди всех мыслимых законов предложенного вида. Чтобы убедиться, что найденный закон движения дает значение д меньшее, чем любой другой закон т(е), т. е.
является истинным, нужно проверить, что он удовлепюряет уравнению Лагранжа. 4.2. и е о при О < е ( ео. 2(е) =. е я'Е ян7 Р )- р(е) = агут, 1дс о = (2пО/гпт) аз, Ео = о/ое. 4.3. Из соотношения ~.(Х 0 1) — еЬЮХ М б2 И: ) — е(о: ~~О - д, е) находим аЯ дд и'дУ, дЕ,4 дд — — = — — —.+ —,,— —, й~ дгэ дЯде д4 дф янди' дь дь до 61. дф до дод0 дфдсэ' 141 4.7] 44. 3фавнения Движения. Законы етранения ,,д7 Учитывая, что — =-- — —, получаем дЯ 41 дЯ' д аь и.
о~ уоаь аьл дг дЦ дЦ аб1 (,дс аф дс,) ' Таким образом, справедливость уравнения — — — — = 0 приводит д дЬ дЬ ж дф д7 к справедливости аналогичного уравнения И,дЬ дЬ ио1) аб1= ' В случае нескольких степеней свободы вместо (1) получим е1 дЬ ОЬ ~- аъ~о дЬ дЬЛ особ), дО, ~- оО, (,)г о~, о4,.7 4.4. Ь(Я, —, т) = Ь(д, — ~, 1) 47. Здесь е7 = е7(9, т), ач е)е1 дт е)г дт дт ' е7 Ос д1~ дя д1 д1 Ю гас Йт дО Йт ' г)т' е(т дь) Йт дт 4.5. Ь = ™, ~ — (1+ Лх)17(ж), х = — ~.
Предложенная задача поставлена чисто формально. Однако, как данная функция Лаграюка, так и рассматриваемое преобразование («исправленные» введением размерных множителей) имеют простой физический смысл в теории относительности (см. (3], з 4, 8), 4.7. Для Р~ =,, Е = ~ Р~Я~ — Ь находим дЬ д(.'„1~ Р~=~~, рь. Е'=Š— 5 рь г) сЧь . дЬ дОс 142 Ояееты и решения 4.9. а) Е' —.= Š— згр, Р ==- Р' б)Е'=Š— Хгр+, Р =Р Два выражения энергии отличаются на постояпнукх Обычно используется второе выражение, так как именно оно согласуется с определением энергии в теории относительности. 4.10. Пусть о,, = г",[1) описывает движение системы [траектория АВ на рис. 113).
Так как вид действия не изменяется при переходе к переменным 9,', 1', равенства 9,' = Л[г') также описывают действительное движение системы. Выраженные в переменных 9„ 1 с точностью до первого порядка по, эти равенства имеют вид 9,(г — б1) = Яс) — ес„ где бей — еФ,(Д1)1), бз =- еХ[[[1), 1) (траектория А'В' на рис. 113). Малые изменения координат и времени начала и конца движения при переходе от траектории АВ к траектории Л'В' приводят к изменению действия: Яя в — Вяв = ~ —. [ — сс) + ~~', — [ — еч )) ГВЯ - дЯ 1[дс ' ас., ' 1 я' Здесь [см.
[1), 4 43) — — —;о, = -Е[е), дЯ дй де дг), — = —.' =Р [1) дЯ дй д<ь дча 4.8. Используя формулы пЗззедыдущей задачи, получаем а) р', = тг' = р„, Р' = тг' [д' Р Й) = Рт, Е' = Š— Прр', б) р', = р сов% — р, з1п Й1, 3 [1) Р'„—.. Ре Б1п 01+ 1зи сов йй Из [1) следует р' —. р, а сами эти равенства представляют собой закон преобразования компонент вектора при переходе к системе координат, по- вернутой на угол П1. Подчеркнем, что р' ~ тт' (ср.
[1), 9 39). 143 4. 131 з 4. йраанения Даияеения. Законы ешранения С другой стороны, согласно условию задачи, ЯАВ = БА и, так что Е(иА)я и(ЧА ия) ~~' Р~((А)еф~йА яА) = Е(СВ) Х~ЯВ; (В) ~~' РА~В) ~~гМВ; СВ) ° или ЕХ вЂ” ~~ Р,Ф, = сопвк Доказанная теорема представляет собой, в сушности, единый вывод различных законов сохранения. Важность ее возрастает в связи с тем, что подобная же теорема имеет место и в теории поля (теорема Истер, см. (12, 131). 4.11. ~ ~—,' (а,Х вЂ” Ф,) — ЕХ вЂ” 3' .=. солнц д1 г)о, 4П2. а) Импульс; б) момент импульса; в) энергия; г) ЛТ + —,' Р, = сопя(, 6 — шаг винта; й д) Ет — Рà — —. сопвс — интеграл движения центра инерции системы (см.
(21, 414). 4.13. а) Потенциальная энергия (Г(г) = — Рг, а с ней вместе н действие, пе изменяются при сдвигах в направлении, перпендикулярном к Р, и при поворотах относительно оси, параллельной Р. Поэтому интегралами движения являются компоненты импульса, перпендикулярные к Р, и компонента момента импульса, параллельная Р. Так как функция Лагранжа не зависит от времени, интегралом движения является энергия. Утверждение, что различные точки в некоторой области «равноправны», означает, что во всех этих точках равны значения потенциальной энергии (а не силы!). б) Преобразование подобия г' —.
ог может сохранять вид действия, если одновременно преобразуется время г' .=. )й. Вклад в действие кинетической энергии (з 2 г, 3 шо сз тш-,( -И 144 14. 14 Ошееты и решения остается неизменным при,В = ы, а вклад потенциальной энергии ,г — ГТ(г')е(1' = — о",9 / У(г)еВ = — о:"+ ' ~1?(г)е(1 при п = — 2. Чтобы воспользоваться теоремой, сформулированной в задаче 4.10, записываем бесконечно малое преобразование подобия, положив о .—..
1 + е, е-- О: г' = (1 + е)г, 1' = (1 + 2е)1, так что Ф --= г, Х вЂ” -- 21 н интеграл движения — (ъХ -- зр) — ЕХ = тъг — 2Е1 =- С. дЬ дг Из (1) можно нанти г(г), учитывая, что гк =. — —: 1 де 2 д1' (2) и = — 1 + Ся+ Сн Если Е < О, то частица падает па пентр(при этом и — со). Если Е > О, удобнее ввести вместо С, Сз другие константы т, В и записать (2) в виде г = — (1 — т)- —, :В. 2Е т При В > О зависимость г(В такая же, как для свободного движения частицы со скоростью оо = 2Е/пз и прицельным параметром р = зг В.
При В < О частица падает па центр. Поля, для которых выполняются условия этой задачи, приведены, например, в задачах 12.6, 12.7 и в (1), задача 2 к Ь 15. в) Š— згр —.= сопв1; 1) гр — 2Е1 = сольц где р = тзе+ еА, если А(ыг) = ы ~А(г); д) Š— рий = сопзп 4.14. пгг — ря --= сопв1 (ср. с задачей 4.12д). Является ли этот интеграл движения для замкнутой системы восьмым независимым интегралом (кроме Е, М, р)? 145 4. 17] 14.
Зеравнения Двияеения. Законы етранения 4.15. а) Пусть ось параллельна ах'. Сдвиг вдоль оси = н поворот вокруг нее не изменяют вида А, а следовательно, н вида действия. Поэтому интегралами движения являются р, — -- — =- т- и ЛХе =.. три — ур, .—.- дХ дй = тоху — ут) + е; ' (хг и- дг), Кроме того, интегралом движения является 2е энергия Е = — ',"' (хг -е уг + ег), 2 б) Е = ~~ (хг+уг+Лг), р'„= ту+ в.ег'х, ре = тй (ср.
с задачей 10 7). Соображения симметрии позволяют определять различные интегралы движения в зависимости от выбора векторного потенциала данного поля яь'. Но все величины; Е, уе = р', Ме, р'„-- являются интегралами движения независимо от выбора А. 4.16. а) Е.—.. ~'(тг -уг -, 'йг), М, —.. т(ху — ух) + е~ (здесь /~2 1 уг ось — выбрана параллельной вектору т). Ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
