Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 16
Текст из файла (страница 16)
задачу 2.2б). Возможен ли случай, когда д11 можно считать малой поправкой, если энергия частицы 62 положительна? Далее рассмотрим случай, когда малой поправкой можно считать поле 67 = — с277г. Движение без учета 17 происходит по окружности. Ее радиус а и расстояние 6 от ее центра до центра поля можно выразить через максимальное и минимальное расстояния частицы от центра поля 113 2,341 Ь 2. движение чисишл в иоляг Координаты центра масс с Х = 11совы1, 1' =- — Лвщил, где ы = — е,Уб'1зпс. а) б) Относительное движение совпадает с движением частицы с массой пз/2 и зарядом е/2 в Рис.
98 поле У = е'(г и в однородном магнитном поле Ж. Это движение полобно рассмотренному в прслыдущей задаче, только в формулах следует заменить пи на гп,12, е на е12 и о на --ез. Ограничимся случаем, когда радиус орбиты а мал по сравнению с расстоянием до цонтра поля (см, рис. 98, б), Частоту радиальных колебаний с ббльшей, чем в предыдущей задаче, точас Ри ностью легко определить, разлагая Г,ЕЕ(г) = —, -г, + — ',ю г -- —,,р„ю глг в ряд вблизи г =. Ь (см. (1), Ь 21).
Из условия Г,'ЕЕ(Ь) = О находим 2 р='ЬеЬЬ(7) ° 7= пз да птз тя~ы т 2е' (2) 16 2 ' 2 (,2 )' злсдЬз' /2Г,,'~~~Ь) 7 Отсюда для щ, = з( получаем окшщательно ы, = ы — —,, а рассто- 7! з анне между частицами ~ =- Ь+ асов(иьл+ о). '~(1) = 91 в1п(и' 1+ о) + йо. Ь (4) Воспользовавшись (3) и (4), можно представить координаты относительного движения в виде .т, =.= гсов„= Ь сов(11-- ~рс) + асов(Л 4 — -и,'3), у1 2 у -= г в1п р = — Ь юп( 11 -- асс) — а впз (и 1+ — ' + Р) 2 (5) )3 =- о — 1ао Для нахождения а(1) воспользуемся сохранением обобщенного импульса р„= — ',"'г (1Ь -' ~~ ) . С учетом (2), (3) получаем 114 12.З5 Он!веты и решения Здесь первые слагаемые отвечают движению центра окружности с дрейфовой скоростью ЬЗз а вторые — движению по этой окружности с угловой скоростью ш ч 2' Рис. 99 Рис.
100 Координаты частиц .с1 2 = Х ~ —, у1, — "- 1' ж —, удобно представить к - й' 2' ' 2 в виде х! 2 = ., — сов!"!'1 920) ' 1з! 2 сов!ше ' Ч! 2), , 11 1б) Д1 2 = + б в1п!Зя — 920) — 111 2 вп1(' !1 ф1 2) . 6 гле т ив1п( — + !3) 1и а!1,2— 2В+ асов( — —;,д) Итак, центры окружностей, по которым движутся частицы, вращаются вокруг начала координат с угловой скоростью э 1дрейфуют со скоростью 6Э/2), а радиусы этих окружностей пульсируют с частотой 2,12 !рис.
99). Механизм кперекачки» энергии проще всего понять в другом предельном случае; а» б !расстояние между цен!рамн орбит частиц мало по сравнению с радиусами орбит !рис. 100)). Очевидно, работа, совершаемая силами взаимодействия, над второй частицей положительна, а над первой— отрицательна в течение многих периодов.
2.35. Убедиться в постоянстве данной величины несложно, используя уравнения движения !ср. 11], й 15), причем удобно представлять ее в ниде АР-! '— [и г ~ -, где А —..— 1чМ) — ог. Г!ри малых значениях и' траскюрия близка 115 4 2. Деннеенне нис~т и е пенях 2,361 к эллипсу, большая полуось которого направлена по вектору А, а эксцен- триснтет е = ,'А~~о. В этом случае Аг = сопвЦ или е сов б = сопво, где о) -- угол между А н и, М = (гг1. Усредним это уравнение по периоду (М) — — ((г) Е) .
(2) где (г) = — 1 г(1) г11. т) (3) Рис. 101 о Д.и усреднения используем систему координат с осью О ", параллельной М, и осью Ох, параллельной А (рис. 101). (Здесь А = ЪМ1 — ~~ — дополнительный интеграл в задаче Кеплера; напомним, что вектор А направлен от центра поля к перигелию, а 'А —. ие.) Очевидно, что — (г) параллелен Ох. Подставляя х = и(сов С вЂ” е), 1 = — (ф — е в1п(), получаем = Т 2к (х) = — ~ (вовс — е)(1 — вовс) ~Ц = — —. а l Зае 2п / 2 о (4) Таким образом, (г) —.— — — .; — —,А. Зие А За 2 ~А 2а (б) 2.36. Появление мадой добавки к потенциальной энергии оП(г) приводггг к изменению величин, характеризующих движение частицы (момент, положение перигслия и и д.), причем за небольшой промежуток времени (несколько периодов невозмущенного движения) оии также изменяются мало.
Однако за длительное время изменения накапливаются, так что некоторые величины могут измениться во много раз. В частности, орбита в течение малого промежутка времени остается эллипсом. Большая полуось этого эллипса и —. и, определяется энергией 2Е~ и и не изменяется за длительное время. Эксцентриситет же е = 1 —, и ориентация подвержены накапливающимся изменениям. а) Изменение момента определяется уравне- нием 11б Овеяны и решения (2.3б ЛХ = ' Гвшть, Зае 2 (б) где ф — угол между А и Р. Учитывая, что (2) ессеи =- е:;. соцзг (см. задачу 2.35), и исключая из (6) е и ьь находим ЗоГ з М лъоо ' Интегрируя уравнение (8), получаем М = ЛХс соз(()Х ч !3), где и= не,Хт, и,=,~ы1-.*), 2 У 'що' а также Итак, траектория представдяет собой эллипс, покачивающийся около направления Р и меняющий в такт покачиваниям эксцентриситет (рис. 102).
Направление движения частицы по эллипсу также изменяется (вместе со знаком ЛХ). Период колебания эллипса 2я/И гораздо больше периода обрыцения частицы по эллипсу Т. в) В общем случае рассматриваем также изменение вектора А. Используя уравнения движения, легко получить А .— -- — 'РМ) —; ~ъ (гР!]. (10) Рнс. 102 б) Если сила Р перпендикулярна к М, то из соображений симметрии ясно, что орбита — плоская кривая, а вектор М сохраняет свое направление (с точностью до знака). Перепишем (2), (5), опуская знак усреднения, в виде 117 2,3б] Л 2. Лвижелае час~лая в лааяг Для усреднения 110)используем равенства (11) Получаем 1А) =.
— 1РМ/. 112) Итак, для М и А, усредненных по периоду 1знак усреднения опускаем), имеем систему уравнений < А = — '1РМ!, М = — "!РА'з 2о' 113) Компоненты зтих векторов, параллельные Р, сохраняются: МР =- сопаг, АР .= совы Р1МР) ге 11о) из Г13) получаем уравнение М +аМ =0. с ) Его решение запишем, введя систему координат ОХгХ Хз с осью Хз, параллельной Р; < ЛХз —; Вг сов й1+ С~ з!пПГ, Лтз = Вз сов йг + Сд Б!пЖ. 117) — результат, который легко получить и из других соображений. Для попе- речной компоненты М 118 Отве~нья и решения 12.36 Теперь из (13)находим е Лг =. —. (Взз1пй1 -СясовЖ) ЗГ 2тпй -4з = (В1 вшй1 — С1 сов йа). ЗЕ 2тй (18) Постоянные Вц з, С з определяются, как и следовало ожидать, начальными значениями векторов М н А.
Конец вектора М описывает эллипс с центром Х на осн Хз в плоскости р,, параллельной ОХгХз (рис. 103). Конец вектора А также описывает эллипс с центром на оси Хз в плоскости с, параллельной р, подобный первому и повернутый на нг'2.
При этом А все время перпендикулярен к М. Плоскость траектории перпендикулярна к М, вектор А определяет нияравлснис на псригелий орбиты. Итак, плоскость траектории поворачивается (кпрецессирует») вокруг Р. Угол, сосгавяисмый плоскостью орбиты р с Р, колеблется при этом Рис. 103 около некоторого среднего значения. Колеблются около среднего значения эксцентриситет и угол между проекцией Р на плоскость р и направлением на перигелий.
Все эти движения происходят с частотой й. Напомним, что мы пренебрегали поправками первого порядка по Р, если они не приводили к накапливающимся эффектам. Решение справедливо для отрезка времени порядка нескольких периодов прецессии орбиты. Нс приведет ли учет следующих приближений к качественному изменению характера движения (например, к уходу частицы на бесконечность)? Точное решение задачи о движении частицы в поле à —. — — '„— Рг, возможное в параболических координатах (см. задачу 12.12 б), показывает, что при заданном Е < 0 и достаточно малых Р подобных эффектов нс возникает. Подчеркнем, чю появление накапливающихся изменений орбиты под действием сколь угодно малого возмущения связано с вырождением невозмущснного движения, В [5), Ч 7.3 можно найти решенно этой задачи с использованием кано- нической теории возмущений.
2,37] 5 2. Движение нагнали в нвляг 2.37. Согласно теореме Лармора (см. 1'2), 4 45) орбита частицы в однородном магнитном поле ЗГ вращается вокруг центра кулоновского поля ц у~ с угловой скоростью Й = —,, где «» -- заряд частицы. Нри этом векторы 2тс' М и А изменяются со скоростями Усредненные за период скорости изменения векторов М и А под влиянием постоянной силы Р =- ой' определены в предыдушей задаче (см. формулу (13)): Мг .— — —,о1РА], А = — ~РМ). (2) 2о ' 2т, Усредненные скорости изменения векторов М и А под влиянием обоих М вЂ” — Мг+Мг А=Аз+Аз. (3) а) Направим ось т по электрическому, а ось у по магнитному полю.
Тогда уравнения (3) принимают вид А, — —. — ЙАи, Аи.—.. ЙА — — М, М.— —,о Ли. 2т, ' 2а Решение этой системы: Л, = — —,, В сов(и 2 — Д) + С, Ли — — В з1л(ига + д), 3сР „+ ® 2тНС, 2 сии ЗЕ ив -: 9Ю'74, ° -- В, 3, О„,. ми значениями А и М. Рис. 104 120 (2.38 а Оя1ееты н решения Итак, конец векгора А движется по эллипсу с осями, параллельными осям х и д (рис. 104) и центром на оси х. Орбита при этом покачивается (или вращается при ЙВ > шС), причем периодически изменяется эксцентриснтет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
