Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 13
Текст из файла (страница 13)
с задачей 5.4). ПРи Е = Р мш частица движется по указанной окружности. Подобным же образом можно исследовать движение частицы в остальных случаях. 84 Ошее)иы и решения (2.! Рис. 8! Рис. 79 Рис, 80 Какими особенностями может обладать траектория, если ЛХ~ =- 12и угнз? Закон движения и уравнение траектории можно найти, используя уравнения (4), (5). Из (5) получаем )' = ей щ2 (Е У'И(г)) (7) — —" /' " +с. 2 й откуда (8) Исключив ((г из (7) с помощью (4), найдем уравнение траектории ЛХ ~' !) (9) 2 ..) 'е- ине( ) Рассмотрим случай ЛХ~ > 12е)7т~. Если частица движется к центру, то в (7) (а значит, и в (8)) следует выбрать знак иминус».
11усть г = го при 1 = О, тогда (8) можно переписать в виде ('т / (г (10) Г ' .','~- и„,(.) ' Равенство (10) определяет в неявном виде зависимость г от времо- ни. Если тРаектоРиЯ пРоходит чеРез точкУ г =- го, 9е = Ро, то УРавнение траектории (с учетом выбранного знака) приобретает вид „=-ЛР ~,' +р,, 1 е(г ,/, р„~ (11) е„= )(2 (е: - на„(,)).
где 2.!! 1 2. Движенье часкгич в аатях ,/ т ~р,~ (12) Ни'кний предел интеграла мы могли выбрать произвольно, пока не опреде- лена постоянная С'. Согласно (12) имеем С =,р(г„;м). (18) Определяя д(г и,) из (11), получаем уравнение участка траектории ВС: (/ /х)ясЬ„ (14) Подобным же образом определяем закон движения ца участке ВС (15) Если О'„,ь, < Е < О, а < го < 6, Е(О) < О, фью=о — "' хо, то уравнение (1! ) описывает участок траектории А В (рис. 81).
Участок ВС описывается уравнением 2 (15) где угол 1с~ можно получить, положив в (11) г —;. а, Уравнение участка СХ) г „./' аг — -- Д7 -ь ~р (17) В частности, для частицы, скорость которой на бесконечности составляет с осью х угол ф~, пуаро положить го = сс, З.о = л — ~. Если Е > (7 „то уравнения (10) и (11) полностью определяют закон движения и траекторию частицы. Если же О < В < ьг,„„„то эти уравнения отвечают только участку АВ траектории (рис. 79, кривая а). В точке В радиальная компонента скоростит обращается в нуль, а затем меняет знак. Поэтому участок траектории ВС описывается уравнением (9) со знаком «плюс», причем постоянную нужно определять заново.
Удобно записать (9) в виде 86 12.2 Г)напевны я решения где ~з определяется из 116) при т = 6 и т.д. Подставляя в Пб) и 117) значения ьтт и ьоз, представим уравнения участков траектории в виде (18) а м Ь а Ь а е = тт() т / — ) ),а' те, = тт(- ) ~ ~ — Д,~' т „,. ь а а та (10) Нетрудно убедиться, что уравнение участка траектории, отвечающего и-ьту радиальному колебанию (считая участок АВ первым), имеет вид' =я(е /ы( — ~) / — 7) — я .
(20) а 1 а 2.2. Вне сферы радиуса В частица движется со скоростью т)т2Е(т„ „ав —... ЕаавД)7 .в...,...в и ЛХ получакттся различные виды траектории. Л1т ; Л1т При ' ,, — 1' < Е < в частица либо движется внутри сфе2тттт 2тайт ры, испытывая отражения на границе (рис. 827а), либо (если, кроме то- ' Уравненне траектории (20) можно представить в виде --«..
-)=-(т ~,"" ), Ь а — Ит 1 ГМ т',р ( т~)р, ) ве В приведенных формулах предполагается, что угол ьо изменяется непрерывно, ограничения 0 < от < 2я не вводятся. Данному значению т соответствует бесконечно много значений р (при различных н и знаках в формуле (20)); ьо есть многозначная функция т. Наоборот; зависимость т(Ьо) однозначна, Аналогично можно выразить законы движения и уравнения траектории и в других случаях. 2,3] з2.
уувижснис васпьчц в полит б) Рис. 82 2.3. Для определения уравнения траектории используем формулы Л'1 г1'г (г (г( ) + з з(л' — вечу ' ' 2 В результате вычисления' получаем р (2) е сов у(оз -- ф) -. 1 где 2(в гг ), чв(В и ) (3) зпзб 1 + ,, Е > О, ф — произвольная постоянная. ЛХа 'Интеграл, записанный в виде Яг1г где Я~ = Л1 -, 'згпб сводится к соответствугопчему интегралу в задаче Кеплера (см. 11], З 15).
го, Е > 0) может двигаться и вне сферы (траектория прямая, рис. 82,б). При, ( Е имеет место преломление 'граекгории (рис, 82, б). 27ПВ уз Как выглядит траектория при Е .=- ', -- ]го 2пЖ 88 Огпееяпн я решения Траектория представляет собой кривую, получаемую из гиперболы с помощью уменыпения полярных углов в 3 раз (рис. 83). Постоянная ь' определяет ориентацию траектории. 11аправление асимптот определяется условием г — е эо, или е соз(рп — ~) = 1, Скорость отклоняется на угол я — (Зез †:рз) .†..и — = атосов — =.и — „— агс18 — 113 †; ' ).
2 1 2 4г / 412, 7 ' е Т "1 оз1 2 ). 0 Рнс. 83 Рис. 84 Рнс. 85 Рис. 86 2.4. Полезно прежде всего исследовать характер движения с помощью графика 11,ЕЕ(г). Для случая 13 < ЛХз/2т этот график изображен на рис. 84. В этом случае возможно только инфниитное движение в области г > гп„причем Е ) О. Уравнение траектории такое же, как в задаче 2.3 (уравнение (2)), а в равенствах (3) нужно заменить ~3 на — 13. Основное отличие от траектории, найденной в задаче 2.3, возникает вследствие того, что 3 < 1.
Примерный вид траектории показан на рис. 85. (Точка перегиба А определяется условием еП7(й =. О, т. е, г =-. 2фея.) Для случая ~3 ) ЛР,'2т график 11 „е 1г) приведен на рис. 86. 8 2. Двииеение чагвьчи в вовке 2,4] Если Е > 1) . = ~ а, то частица, летящая из бесконеч- 4(~3 — Мэ72т) ности, падает в центр поля.
Уравнение траектории и в этом случае можно получить из уравнения задачи 2.3. Для этого, кроме замены Д на — 13 нужно заменить ф на та+ к/27, а затем воспользоваться формулами выл)х = з з11 х, т7 — х = 1ь7зь В результате получим е'зЬ у'(р — й) 4- 1' Траектория для этого случая изображена на рис. 87а. Заметим, что при — О оказывается е — оо. Это значит, что частица, падая в центр поля, делает вокруг него бесконечное число оборотов.
а) Рис. 87 Если Е < 17мв, то, согласно рис. 86, возможно движение либо в области Ь < е < оо (рассеяние), либо в области О < г < а (падение на центр). Уравнение траектории получаем, используя равенство соз)х --- сЬх (а во втором случае еще и замену Е7 на ф + я,77): Р) 1 Т сисЬ7'(р — ф) ' 1)) оз ', 2гп/ В случае Е = Р7 и воспользоваться формулой (2) задачи 2.3 нельзя Ошаетпы я решения (так как при ее выводе предполагалось е ф 0) и нужно вновь брать интеграл (1). Получаем 1+ сехр( — э':р) з р и= или т=р 1+ ехр1 — уЪо — ф)) в зависимости от начального значения т.
Траектория представляет собой либо спираль, начинающуюся на бесконечности или вблизи от центра и асимптотически приближающуюся к окружности радиуса и —.. р', либо саму эту окружность 1рис. 87б). Наконец, в случае 13 = ЛХ,т2ттт также проще вновь взять интотрал. В этом случае происходит рассеяние, а уравнение траектории ы(Е 1 — тстз(~г — тз) ~2Л)зЕ Время падения частицы в центр поля определяем с помощью формулы Например, для случая, когда траектория имеет вид (2), время падения с расстояния и — тз:лРтт )+ о 1зн, / з 2Ет!и — 1 — атсзщ — ) .
2Е)) 2Е з е' е')' 2.5. Уравнение траектории 1 + е сов 1(ш — ч) 1р, е, у определены в задаче 2.3). При Е < 0 движение финитное' 2п тщЕ~)зуд' 'з 'у 'Период тот же, что и в поле По .= — а1т. Для определения Тт достаточно заметить, что добавление к попто бЗо добавки р(та сказывается на радиальном движении так же, как увеличение ЛХ. Период же Т„в кудоловском поле Цз от Л1 не зависит 91 2. 8] 12. Движение чвгвшп в ивттят 2.6.
При Д < ЛХ'/2т р 1 — есозЯр — ф) 27771Д ЛХг 2 (ЛХг 8) , г если Е < О, то Ь7р = 2нт7 71 Т„=" ~'Т„(Т„то же, что в задаче 2.5). При Хт > Мг)2777 1в обозначениях задачи 2.4) Рис. 88 г=-... еслиЕ>ХХ,, е'вЬ 77197 — ф) — 1' г= „,, еслиЕ<П „, о' ев с17 у' (р -- 7!7) — 1 2.7. а) Фипитное движение возможно, если функция П ~41г) имеет минимум. Уравнение 7~",~ 1т) — — О приводится к виду Х(х) .= ЛХгттт7ат, где Дтг) .= г:1х 4 1)е ', х = ттг. С помощью графика Дх) легко убедиться, что зто уравнение имеет корни только при условии, по ЛХг ттттоттт, лтеньше максимальттого 1при х > О) значения Х(х).
Последнее равно 12+ тт 5) ехр ( — ) — О, 84. Итак, финнтное дви- 1+ ттбт жение возможно, если ЛХг < О, 84ытттт'те. б) Фннитное движение возможно, при Мг < 8т)ттегтег. 2.8. В уравнении траектории 1см. формулу 11) задачи 2.3) при малых г можсм прснсбрсчь величиной Е 1при и = 2), а при и > 2 — также и членом ЛХе]2тнгг. Получаем трио. 89) '1Х ]п17'ттго) 'Ф = + 9то '2 лр при 77 = 2, Рис.
89 2тнг ,р — не + Г' 972та(п — 2) при п > 2. Траектория замкнутая, если 7 — рациональное число. На рис. 88 изображена траектория для ", = 5. Оя7ее7нь7 и решения Число оборотов оказывается бесконечным только при и = 2. Время падения в центр конечно, поскольку радиальная скорость при приближении к центру возрастает. 2.9. Число оборотов частицы вокруг центра бесконечно только в случае б) при Е = О, и = 2.
гни вн... 1. Яян7н . 2.12. Траек7ории частиц: т р = 1 —.' есоэд, нгг 7Н =- ~~ + тз те~ 'у' таз где Е и Л1 — полные энергия и момент системы. Частицы лвижутся по по- добным коническим сечениям с общим фокусом, причем радиусы-векторы часпщ в любой момент направлены противоположно грие. 90). Рис. 90 2.13. Как легко видеть на рис. 91, Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
