Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 11
Текст из файла (страница 11)
б) Пусть вначале аг = О и траекшрия осциллятора заполняет прямоугольник х, :< а,, у~ < 6. Каким станет его движение, если магнитное поле медленно возрастает до большой величины (такой, что шэг = = ел. Г кис )) ~)ц я)ч в) Пусть магнитное поле слабое Оахг « иэг — ыя) и вначале осциллятор колеблется почти вдоль оси х. Каким станет его движение, если величина хы медленно уменьшаясь, достигнет значения шг~ < ша такого, что худ « ц/3 ™1? 13.26. Частица совершает финитное движение в плоскости, перпендикулярной магнитному днполю пт.
Как меняется энергия частицы прн медленном изменении величины тп? 13.27. Найти период колебаний электрона вдоль оси в магнитной ловушке. Магнитное поле ловушки симметрично относительно оси -, причем ; —...,.УГ', —. Уд'.(л), ° — — — 6, С(л) 69 13.З2) 1 13. Аоиабагнинееаие инварианты а) Ус,1 ) — -- а2'о(1+ Л11л Д); б) уса(з) = его (1+ — л) . 13.28. Как изменяются энергия электрона и период его колебаний вдоль оси - в магнитной ловушке, описанной в предыдущей задаче прн медленном изменении параметров пода гсо, Л, а? 13.29. Найти изменение энергии частицы в центральном поле 1л'1г) при медденном включении слабого однородного магнитного поля вс'.
13.30. Как известно, при наличии вырождения движения увеличивается число однозначных интегралов движения. Указать интегралы движения в поле ти~-~ з+ 2 13.31. Найти переменные действие — угол для следующих систем: а) осцнллятор; (ос при х<0, б) частица в поле Г(х) .— ~хР прн х)0. 13.32. Для частицы в периодическом поле Цх) = г О пРи по <:с < (и -~ — л1 гл, 1т 2л' и=О, ='1. х2, Ъ' прн (гл — , '— )и <:с < (го+ 1)а, 1т в случае Е > )г провести каноническое преобразование с производящей функцией х ви, Р~ / Гл» е ви' л*, о где Е(Р) выражается из равенства а Р—.) Вл л~в взы~гн. о Ответы и решения ~ 1.
Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы 1.1. а) По начальным значениям х(0) н х (0) определяется энергия частицы Е. Дальнейшее ее движение находится из закона сохранения энергии А Прн Е > 0 частица может двигаться в области т > хз — движение ннфинитпо (Š—.- Е' ца рис. 69).
При Е < О 1'Е ==. Е") частица движется в области хз < х < тз, движение финитно. Точки поворота определязотся из формулы (1) ГУ(х,) =.- Е: Аг 'дт тц хаз =- — 1п о Е) Из (1) получаем (О) Я1А -;Я) †.4 хз = — 1п 1п2 хз при Е>0, при Е = О, (2) прн Е< О. !. !] З !. Иньнегрирование уравнений 'движения с одной сьнененыо свободы 71 Отсюда А — нв(Х:~е~(„В ~~ 2 в,' +с) х1!) = — 1п сь !Е! х(!) = — '1п~-' —, :А (с+С)-'~ „Я~х~Я~ и ~,/ж7 ~ с! х1!) = — !и при Е< 0, (4) при Е =-- О, (5) при Е > О.
!6) Постоянные С определяются начальными значениями х(0), например, в (4) при х(0) > 0 А . Е~1еав!е) Л ~А )Я!> Точки поворота 12) также легко найти из !4) — !6). х1т)= — — 1п(1 — е)-: — 1п11 — зуесоз! — !+С! ! = — — сов!т — !+С). (7) О Частица при этом совершает гармонические колебания вблизи точки х = 0 с амплитудой тЯ!о, определяемой разностью Š— У ы, и с частотой, не зависящей от энергии. Такой характер двюкения при Е, близком к Г !и, имеет место почти в любом поле П!х). (Подробнее об этом см. в З 5.) При Е > 0 частица, движущаяся справа, доходит до точки поворота х! (сьь (2)), поворачивает назад и уходит на бесконечность.
При этом скорость Движение при Е < О, согласно (4), периодическое с периодом Т я ') 2га "~! !Е( — — — Если Е близко к минимальному значению П!х), равному Л вЂ” Е Г, м = Г~О) = --А (т. е. =. = " << 1), то период Т = То (1 — е ), А 2/' То = — ~ — слабо зависит от Е. В этом случае (4) модою записать в аиде я 12т о 'у' А 72 П,2 Отее~ны и решения ее со временем стремится к ХУ2Е~~о сверху. б) х(1) = —,АгаЬ ', вш(сИ~2~Е,'„~т+ С) при Е ( О, 1 ~ ~Е~ + Го .
и вй(а1,ИЕ/т+ С) Е е Е+ его хат) = З- — АгвЬ 1 при Е>0, х(Г) = х — ХгаЬ(М иУ2~Уо/т + С) при Е=-0:,' В) х(г) .=- ~ агсыг!~ / Е в1п~ его га ) + 1, Г ) Е Г 2(По+Е)1 Почему в некоторых формулах приведенных ответов знаки двойные'? 1.3. Вблизи точки остановки П(х) =.- = Š— (х — а)Е, где Г = — П'1а), т; с, можно считать, что движение частицы происходит под дайс~вием постоянной силы Е. Считая, что х(0) = —. а, получаем х(г)=а+, ' . Е12 Рис.
70 Точность этой формулы убывает при удалении от точки х =.- а. Маленький отрезок пути е вдали от точки остановки частица проходит за время т х ж Если же отрезок пути примыкает к точке остановки, то лля его прохождения необходимо время т = хУ2газД Е~, т.е. т ~х,~е. гАгнье =!о(х и'ет -ГЦ. 1.2. х(г) =- ', то =- х(0). Знак в знаменателе противо- 1 х Ьеот/2А/т положен знаку х10). Пусть для определенности х 0 > О.
При х(0) > 0 частица уходит на бесконечность за время ~/'га~2Ахз~. Разумеется, реально речь может илти только о болыпом, цо конечном расстоянии„до которого простирается заданное поле Г(х). При х(0) ( 0 частица асимптотически приближается к точке х = О. !.5] 1 Е Ин>негрироввние урввненийдвижения с одной ся>еленою свободы 73 Если 11'(а) = 0 (рис. 70), то разложение П(х) необходимо продолжить до следующего члена: П(х) = Е+ -Г'(а)(х — а) . 2 В этом случае х(!) = а+ ве= ', где в = х(0) — а, Л = — „,, а знак в показателе определяется направлением скорости в начальный момент. Д>чи прохождения участка пути до точки остановки частице необходимо бесконечно большое время. 1.4.
Если Г'(а) ф О, то Т ое ]не, где е =- Г,„, — Е. Если Г"(а) = = ... = с((" О(а) = О, !У(">(и) ~ О, то Т (х е 1.5. а) При малом =- Š— (1 частица движется медленнее всего вблизи точки х = а. Поэтому и весь период движения 7' можно оценить по времени Т> прохождения (туда и обратно) малой окрестности этой точки а, --б<х< а ] б: В окрестности т.=а представим П(з;) в виде Е~(х)=П вЂ” — Е(х — а)з, ! „2 2 где х = — У"(а). При достаточно малом е можно выбрать б таким, чтобы скорость к на границах интервала была много больше минимальной (при х =- а) — »е гася кбз 2 2 и в то же время чтобы было б « Е = хз — х>, т. е. —" « б « Е = хз — х>. > ( 7с Тогда Время Тз движения частицы на участках х> «х «а — б и а — , 'б < х < х удовлетворяет условии> 74 (Е5 Ояееты и решения С уменьшением е величина Тз возрастает, поэтому при достаточно малых е оказывается 7н « Т1 и для оценки периода движения можно воспользоваться формулой (1).
Эта формула обладает асимптотической точностью. Ее относительная ошибка стремится к нулю, как 1/ 1пе, при - -- О. Но с той же логарифмической точностью можно заменить в (1) С на ь и опустить множитель 2 под знаком логарифма: Т вЂ”.2. Г1 "». (2) Если 17н(п) —..
О, Г® =- — К ф О, то причем относительная ошибка стремится к нулю, как е'Уе, при е — О. б) Если наблюлать за движением частицы в течение времени, большого по сравнению с периодом Т, то вероятность обнаружить частицу на участке от т, до я+дя е)4 тУ2т еЬ 1'~Я вЂ” УЯ где 2Ш вЂ” время нахождения частицы на участке пт. за период.
Зависимость плотности вероятности ш от т представлена на рис. 71. Рассматриваемой вероятности ш(х) е1я соответствует заштрихованная площадь (вся площадь под кривой равна единице). При достаточно малых е основной вклад в площадь пол кривой дает площадь под центральным максимумом, равная Т1 )Т. Хозя ю(я) и сс при т — э ж1 вклад участков вблизи точек остановки относительно мал. в) ш(р) (р = — ~ —" йр — — ~ 1 е)ее 1 ~(р е1я где жя —. л ь(р) — различные корни уравнения — —, Г(х) — -- Е. р 2т 06) б й Интегрирование уравнений двивсения с одной стнененыо свободы 75 Рз Рг Р~ Р~ Р. Рв Р Рис. 72 ергу.
ви)-.ь п-ргпив,—,тоив-ид, г) Линии Е(ак р) = сопв1 (фазовые траектории частицы) приведены па рис. 73, Р где кривые пронумерованы в порядке возрастания энергии. При (У(с) < Е < Гв фазовая траектория 2 двусвязна. Стрелки указывают направление движения точки, изображающей состояние частицы. 1.6. За начало отсчета потенциальной энергии принимаелв нижнюю точку.
При Е = 2гпд( имеем Рис. 73 р(1) = — вг+4агстй(е нмвдок ) — р(0) + я л ,4 (ис -- угол отклонения маятника от нижнего положения). Знак в показателе совпадает со знаком р(0). Маятник асимптотически приближается к верхнему положению. При 0 < Š— 2лпд( « 2тпд( маятник вращается, медленно «переваливая» через верхнее положение. Период обращения можно оценить, используя результат (2) предыдущей задачи: Т = ~ — 1п: ео = 1к пздй ва ~l д Š— 2гпд( 76 Ответы и решения 11.7 1.7. Угол отклонения маятника отсчитываем от нижнего положения.
Энергия Е = — ш)луг + г.пу1(1 — сопд). Пусть в момент 1о угол ~р11о) = О 2 и длЯ опРедсленпости Дго) > О. ВведЯ й — — тггЕ,У2тд1„имеем 11) )' йр ' — 2~1)й/ +'" о )й — вш г 'р При й < 1 маятник колеблется в пределах — гр < гр < д„, и й = = гйп —.. Подстановкой яшб =- — вш —, интеграл П) приводится к виду 'тз 2 й 2 -й'(6 й)+ба. Отсюда р = 2агсвш(йпп1и, й)!, и = 11 — бо)~('— . )й ' ~11 Период колебаний 'у'9 ( 2) В предельных случаях 1ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
