Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Маятник представляет собой грузик массы т, подвешенный на пружинке жесткости 6. Длина непапряженной пружинки (о. Найти ангармоническне поправки к колебаниям маятника. Воспользоваться дскартовымн координатамн отклонения грузика от положения равновесия. 8.6. Найти амплитуду установившихся колеоаний ангармоническево осциллятора х —; 2Лз:+ее~ох+(ххз = ) созеи1 а) в области резонанса ~ки -- ыо~ << ыо; б) в области резонанса на утроенной частоте вынуждающей силы ~Зы — ыо « ~о 8 6 а) Определить амплитуду и фазу установившегося колебания осциллятора при параметрическом резонансе: х+ 2Лх 4 шо(1+ 6 сов2ы1)з; ч-Дхз = О (6 « 1, !ы — ило! « ило,Зхз « шо), б) Определить амплитуду третьей гармоники установившегося колебания. еи, Рис. 53 8.8. Определить колебание осциллятора У+шо(1+ 6сов2ш1)х = О (6 « 1, ~ — шо~ << еоо) а) в области неустойчивости относительно параметрического резонанса; б) вблизи области неустойчивости.
44 Зада ггт 8.9. Частота гармонического осциллятора от(З) меняется по закону, изобраэкепиому на рис. 53. Найти области неустойчивости относительно параметрического резонанса. 8ЛО. Определить, как изменяются со временем амплитуды слабо связанных осцилляторов, функция Лагранжа которых Š— — — (х~ + уз .— гозх -. 4цг~туз —, 2охзу). 2 8.11. Найти частоту малых свободных колебаний мавтника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания с большой частотой г <З» Я7)) 8.12. Определить эффективную потенциальную энергию: а) частицы массы т,, находящейся в поле Г(г)- (г» а); г — асовоМ г+ асозцтЗ~ б) осциллятора, находящегося в поле ) 2 аг т:ов отг „з 8.13. Определить движение быстрой частицы, влстающей в поле Г = = А(хз — уй) гйп й- под малым углом к оси в (йзЕ » А).
8.14. Определьпь скорость смещения центра орбиты заряженной частицы в слабо неоднородном магнитном поле Усе = .Угу —— — О, сгс", =-,К'(х), причем 'тгс), тл сг где г — радиус орбиты. 8.15. Задача представляет собой механическую модель фазовых переходов второго рода. Железный шарик массы т может колебаться вдоль оси у на пружинке, потенциальная энергия которой имеет вид Г(у) = ыСу~+Ву~.' С помощью 'Такова, например, потенциальная энергия системы, нтобрвженной на рис.
1Э, если шарик может двигаться лишь в направлении оси у, перпендикулярной к линии АБ, и длина нерастянутой пружинки 1о болыве й В этом случае нрн ~р~ << З имеем ййо ~)Л ЗЗ й4ЗШв 9,2] 49. Движение твердоео тека. Неинерииот»ные систеиы отсчета 45 электромагнита возбуждают колебания шарика по закону ро сов уб, причем у много больше частоты его собственных колебаний'.
Найти частоту малых собствснных колебаний шарика в зависимости от параметра Т =- рв. й 9. Движение твердого тела. Неинерциальные системы отсчета 9.1. В вершинах квадрата со стороной 2а, расположены массы гв н ЛХ (рис. 54, а). Найти компоненты тензора инерции относительно: а) осей зй у, е; б) осей х', ту', совпадаюшнх с диагоналями квадрата, и в. 9 т О' 2а б) 2а 2т -' в) Рис. 54 9.2.
Найти главные оси инерции и главные моменты инерции следующих систем: а) массы пт н ЛХ расположены в вершинах прямоугольника со сторонами 2а н 26 (рис. 54, 6), б) массы т и 2ш расположены в вершинах прямоугольного треугольника с катетами 2а и 4а (рис. 54, в). 'При действии высококаотстной силы ٠—... — (ко ~~Хгп) соа уе в пределе т ос амплитуда вынужденных колебаний стремится к уо, поправки к амплитуле и высшие гармоники имеют маяость 4б Задача 9.3. Выразить момент инерции 1„относительно оси, параллельной единичному вектору п и проходящей через центр инерции тела, через компоненты тензора инерции.
9.4. Найти главные моменты инерции шара радиуса Л,, имеющего внутри полость в форме шара радиуса г (рис. 55). Рис. 55 9.5. Выразить компоненты тензора квадрупольпого момента масс 1),ь = ~(Зл,ть — г б,ь Д Й~Ъ' (р — плотность) через компоненты тонзора инерции 1 ь. 9.6. Найти частоту малых колебаний однородного полушара, находящегося на гладкой горизонтальной поверхности в поле тяжести.
9.7. На покоившуюся гацтельку, состоящую из пары касающихся одинаковых шариков, налетает третий такой же. Скорость его Ъ' перпендикулярна линии центров гантельки и направлена к центру одного из ее шариков. Найти скорость шарика и гантельки после столкновения. Удар упругий. 9.8. Какова станет продолжительность суток, когда они сравняются (за счет действия приливных сил) с месяцем (т. е. период обращения Земли вокруг оси станет равным периоду обращения Луны вокруг Земли).
Принять для простотьц что ось вращения Земли перпендикулярна плоскости орбит Земли и Луны. Для численных оценок считать Землю однородным шаром радиусом а = 6,4 тыс. км и массой ЛХ, в 81 раз большей массы Луны пт; расстояние от Земли до Луны В = 880 тыс. км.
9.9. Два одинаковых однородных шара, вращающихся с одинаковыми по величине угловыми скоростями ш, медленно сблизившись, жестко состыковываются друг с другом. Определить движение образовавшегося шла. Найти, какая часть начальной кинетической энергии переходит в тепло. До состыковки угловыс скорости шаров были направлены: а) перпендикулярно линии центров н параллельно друг другу; б) одна — вдоль линии центров, другая — перпендикулярно.
9,!4) 19. Двиокение твердого тела. Оеинерциальные системы отсчета 47 9.10б. В двух противоположных вершинах А н С' однородного прямоугольного параллелепипеда находятся шаровые шарниры, так что он може~ свободно вращаться вокруг диагонали АС' (рнс. 56б). Найти силы, действующие на шарниры прн вращении параллелепипеда с угловой скоростьк> й. 9.11. На однородный эллипсоид вращения (полуоси а =-. б, с) налетает частица, дви- 1) жущаяся параллельно осн Ор со скоростью т н прицельными параметрами рм рз (рис.
57), и прилипает к нему. Описать движение эллипсоила, предпола1 ая, что его масса много больше массы налетающей частицы. 9.12. Гирокомпас представляет собой быстро вращающийся диск, ось котороэо может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости (рис. 50). Исследовать движение гирокомпаса на широте о. Угловая скорость вращения Земли П. Рис.
56б 9.13. Волчок с неподвижной точкой опоры О, вращавшийся с угловой скоростью й вокруг своей оси (скорость прецессии считаем малой), касается горизонтальной плоскости краем диска (рис. 59). Найти у|ловую скорость волчка, когда проскальзывание диска прекратится. В момент касания нутаций не было.
9.14. В поле тяготения неподвижной точечной массы ЛХ движется однородное тело массы ш, имеющее форму эллипсонда вращения. Найти функцию Лагранжа системы, выбрав в качестве переменных сферические 9.10 а. Однородный шар радиуса г и массы гп катится, не проскальзывая, по горизонтальной плоскости со скоростью ъг, В момент, когда он касается другого такого же шара, лежавшего неподвижно, шары жестко скрепляются (рнс. 56 а). Плоскость абсолютно гладкая (после скрепления шары свободно скользят по Рис. 56 а ней). С какими силами действуют на плоскость шары'? Ускорение свободного падения достаточно велико, эак что шары все время касаются плоскости.
48 угадана (9. (5 Рис. 57 Рис. 58 Рис. 59 координаты центра тяжести н углы Эйлера. Размеры тела малы по сравнению с расстоянием до центра поля. Уклзяниь. Потенпвальная знергия системы приблизкенно равна (г(РГ) = т~р(В) + — ~ ~В,ь г)з Ф) ";,ь=з где В. —.— (Хм Хг, Хз) — радиус-лектор центра эялипсонда, В,ь — тензор киадрупольиого момента масс (см. задачу 9.5), уз(гг) = — 7ЛХ/ — потенциал поля тяготспггя (ср. (2), й 42). 9Л5. Определить угловую скорость прецессии земной оси под влиянием притяжения Солнца и Луны. Наклон земной оси к плоскости орбит Земли и Луны равен 67". Для простоты Землю считать однородным зллипсоидом вращения, полярная полуось которого с мены~с экваториальной а-.с 1 полуоси а, причем 9.20] 99.
Движение твердого тела. Неггнераггаланьге систеим отсчета 49 9.16. Составить уравнения двюкения для проекций момента на подвижные оси координат, выбранные по осям инерции. Проинтегрировать эти уравнения дзи свободного движения симметрического волчка, 9.17. Исследовать устойчивость вращения ассимегрического волчка относительно главных осей инерции с помощью уравнений Эйлера. 9.18. Однородный шар радиуса а двьокется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса б, не проскальзывая. Найти закон движения шара. 9Л9. а) Плоский симмьчричный относительно своей оси диск катится по гладкой горизонтальной плоскости (трение отсутствует). Определить закон движения диска (в квадратурах).
Исследовать подробнее закон движения в следующих случаях. Определить, при каких условиях уз ол наклона диска к плоскости остается постоянным, Диск катится так, что его ось сохраняет определенное 1горизонтальное) направление. Определить, при какой угловой скорости вращения вокруг этой оси такое движение устойчиво. б) Диск катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Найти уравнения движения и ответить на те же вопросы, что и в пункте а). в) То же для диска, который катится по горизонтальной плоскости, ие проскальзывая и не проворачиваясь вокруг вертикальной оси'.
г) Находящийся на наклонной плоскости днск вращается без проскальзывания вокруг своего диаметра, перпендикулярного этой плоскости. Найти смещение диска за большое время. Наклонная плоскость составляет малый угол ст с горизонтальной. 9.20. а) Найти в квадратурах закон движения неоднородного шара, который движется без трения по горизонтальной плоскости. Распределение плотности симметрично относительно оси, проходящей через центр масс и геометрический центр пира.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
