Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния на малые углы в нецентральном поле Н(г): а) Н(г) = и' б) Г(г) = аг. 3.13. Найти поправку к дифференциальному эффективному сечению рассеяния частиц в иоле Г(г), вызванную изменением поля на малую величину бГ(г): 3.21) 13. Сененнерассеяння в таоаннон таяне. Стноткновентте насмнц 15 в) Г(т.) = — „ д ЗЛ4. Определить усредненное по времени дифференпитнтьное эффективное сечение рассеяния как функцию приобретаемой частицами энергии т 2 при рассеянии в поле Г(г, 1) — -- ((тт — ' 1затпаЛ)с " быстрых частиц (Е >) (ст ).
3.15. Частица, летящая со скоростью (г, распадается на две одинаковые частицы. Определить распределение по углу разлета распалных частиц (угол между направлениями вылета обеих частиц). Распад в системе центра масс нзо'тронен, скорость распадных частиц в с. ц. м. равна оо. 3.16.
Найги распределение распадных частиц по энергиям в лабораюрной системе, если в системе центра масс угдовое расцредедение имеет внд — ' аш Ва Иоа, где Ва -- угол между скоростью тт первичнои частицы 8 8я и направлением вылета распадной частицы в с.ц.м. Скорость распадных час.ыц в с.ц.
м тто. ЗЛ7. Электрон, имевтпий на бесконечности скорость н, налетает на друтой эдсктрон, первоначально неподвижный (прицельный параметр р). Найти скорости электронов после рассеяния. 3.18. Определить интервал значений, которые может иметь угол между направлениями скоростей после столкновения двиткущейся частицы (масса ш т) с первоначально покоившейся (масса тз). 3.19. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния гладких неупругих шариков на таких же шариках, первоначально покоившихся. 3.20. Найти закон, по которому изменяется интенсивность пучка частиц при прохождении нм области, заполненной поглошающими центрами. Плотность распределения центров п, сечение поглощения о. 3.21. Найти число актов реакции, происходящих в объеме сйг за время ттх при столкновении двух пучков частиц со скоростями нт, и н плопюстями пы нз. Сечение реакции равно о.. а) Г(г) =.
— „, б) Ет(г) =. ~~, ВГ(г) .—.. — ',; В 6(т(г) — — ',; ВГЕт) = —,', 16 Задачи 13.22 3.22. Частица массы ЛХ движется в области, заполненной частицами, первоначально неподвижными, массы которых равны гп « ЛХ. Сечение рассеяния частиц ш на частице ЛХ естыЬт = Х1а)чХо. Столкновения упругие. Найти: а) «силу трения», действующую на частицу ЛХ; б) средний квадрат угла отклонения й частицы ЛХ.
й 4. Уравнения движения. Законы сохранения 4.1. Частица в поле Г(х) = — Гх за время т перемешается из точки х = 0 в точку х —.— а. Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет вид х(г) = А1г + В1+ С, и подбирая параметры А, В, С так, чтобы действие имело наименьшее значение. 4.2. Частица движется в плоскости хОй в поле 0 прил<0, 1Х( й) = при х ) О, перемещаясь за время т из точки ( — а, 0) в точку (а, а).
Найти закон дви- жения частицы, предполагая, что он имеет вид хиг(1) — -= Акга; Впг, рд г14) = С, г1+ Вьг, Значки 1, 2 относятся к левой (х < О) и правой (х ) 0) полуплоскостям. 4.3. С помощью непосредственного вычисления доказать ковариантность уравнений Лагранжа относителыю преобразований координат Ей =- 9~%1 1чгг: ) Юи 1)~ 1 = 1, 2,,.,, я. 4.4. Каким образом должна преобразовываться функция Лагранжа при переходе к новым координатам и «временил а, = а,Яы Яг, ..., Оч, т), 1 =- 1, 2, ..., а, 1 =- ХЯы Щ, ..., Я„, т), чтобы уравнения Лагранжа сохранили свой вид? 4.5.
Записать функцию Лагранжа н уравнения движения частицы в поле ХГ(х), введя «местное времяя т =-1 —. Лт. 14. Уравнения движения. Заноны сохранения 4.б. Как преобразуется функция Лагранжа при переходе к координатам 9 и «времени» т: х — — 71«ЬЛ а тзЬЛ, 1 = ув17Л+ той ЛЗ 4.7. Найти законы преобразования энергии и обобщенных импульсов при преобразовании координат 717 = 171Ч7, ..., 1,)„1), 7 = 1,..., в. 4.8. Найти законы преобразования энергии и обобщенных импульсов, сопряженных полярным и декартовым координатам, при переходе к системе отсчета, вращающейся вокруг оси '.
а) Эс =.—. Эо' т Й1, г —.- г', б) х = х'совй1-- у'вшП1, у = х'в177Н1+ у'совй1. 4.9, Найти законы преобразования энергии и иьшульсов при переходе к системе отсчета, движущейся со скоростью 'Ч. Функцию Лагранжа Ь' в движущейся системе выбрать в виде а) Е7 — —. Цг' + Л71, г' + Л7, 1), где 1,(г, г, 1) — функция Лагранжа в неподвижной системе; б) 2,72 = юи — 77'(г' .~- Л71, 1). Здесь Хз отличается от Хз на полную производную по времени от функции 717пг —, — Лс 1. 7н 2 2 4.10.
Пусть бесконечно малое преобразование координат и времени имеет вид 71, = о,: е717,171, 1), 1' =1+ еЛ(д 1), е — ~ Д и пусть при этом преобразовании сохраняется вид действия; 77 ~ Ь (~, — ~, 1) ж = ~ ф, — "„1..') д1'. 7'1 18 Задачи 14. 11 Доказать, что величина является интегралом движения. 4.11. Обобщить теорему предыдущей задачи на случай, когда вид действия при преобразовазщи координат и времени меняется следующим образом: и дЧ ) ~( (~, Ч ~,) 4йя 1)~ и 4.12.
Найти интегралы движения, если вид действия не меняется при: а) пространственном сдвиге, б) повороте, в) сдвиге начала отсчета времени, г) винтовом сдвиге, д) преобразовании задачи 4.6. 4.13. Найти интегралы движения для частицы, движущейся: а) в однородном попс Гт(г) =- -- гг; б) в поле Гт(г), где Г1г) — однородная функция: Г1(ог) =- и"11(г) 1уточнитть при каком п преобразование подобия не меняет вид действия); в) в поле бегущей водны 111г, 1) = Г11г — зГт), где зт — постоянный вектор; т) в маз нитном поле, заданном векторным потенциалом А(г), где А(г) — однородная функция. д) в злектромагнитпом поле, вращающемся с постоянной угловой скоростью Н вокруг оси з. 4.14. Найти интеграл движения, отвечающий преобразованию Галилея. Уклзлнив. Использовать результат задачи 4.11.
4.15. Найти изпегралы движения для частицы в однородном постоянном магнитном поле М', если векторный потенциал задан в виде: а) А — —. — )М'г1; б) Л, — —. Л, —. О, Ли — - х,зг". 4.21] 14. Уравнения движения. Заноны сосранения 4.1б. Найти интегралы движения для частицы в поле: а) магнитного диполя А = ~зпг]/гз, тп = сонат; б) А = р,~с, Ае = Ае = О. 4.17. Составить уравнения движения системы, функция Лагранжа которой: е .е , я / а)Цх.х)=-е '* т2хе / е я с1у; о б) ь(х, х, 1) —... 1е"'(хг — ыгхг).
4.18. а) Записать компоненты вектора ускорения частицы в сферической системе координат. б) Найти составляющие ускорения в ортогональной системе координат ан если элемент длины задан соотношением = ~'з~ с)йз и )зг "с1г + )йз ййзг глс Ь,~В, Ог, оз) — коэффициенты Лама.
4.19. Записать уравнения движения частицы в произвольных координатах а„связанных с декартовыми координатами ад соотношениями: а) х, = хДды йг, дз), г = 1, 2, 3; б) х, = х,(йн аг оз 1) 1 = 1 2 3. 4.20. Показать, что функция Лагранжа [31) Х =. — "(гг —, г Ог+ т р зш д) -- — 'Зг соя 0 2 с описывает движение заряженной частицы в магнитном попс яР -= йт(гз (сьь задачу 2.30). Найти интегралы движения, 4.21.
Проверить, что функции Лагранжа Чг Вг = — — + Гезг 2С приводят к правильным «уравнениям движения» для ен и д и правильным значениям энергии. Здесь 4~ = 1 — ток, идущий по индуктивности У в направлении от А к В (рис. б, а), аг — заряд на верхней пластине конденсатора (рис. 6, б), а à — напряжение между точками А и В (Г =- дн — Зол).
2О Задача 'Гз К с т — с с, с ) 1 7 1 1 а) б) в) Рве. 7 4.22, Используя алднтивность функции Лагранжа и результат прелылу- АА~)а„,най и уравнения Лагранжа для цепей, нзобра) б) женных парис. 7 (а, б и в). Рис. б 4.23. Найти функции Лагранжа следующих систем: а) цепь с переменным конденсатором, подвижные пластины которого соединены с маятником гп (рис, 8, и).
Зависимость емкости от угла поворота С(За) известна, массой пластин конденсатора пренебречь; б) сердечник на пружинке жесткости й, втягиваемый внутрь соленоида, индуктивность которого есть заданная функция смещения сердечника.У(х) (рис. 8, б). зг ( а У(г) б) Рис. 9 Рис. 8 4.24. Квадратная идеально проводящая рамка может вращаться вокруг закрепленной стороны А — -- а (рис.
9). Рамка находится в постоянном однородном магнитном поле ак', перпендикулярном к оси АВ. Индуктив- 21 4.28] Ч 4. Уравнения двияеения. Законы етранения ность рамки .У, масса стороны С?Э равна щ, массами других сторон можно пренебречь. Описать качественно харак1ер движения рамки. 4.25. Пользуясь методом неопределенных множителей Лаграюка, получить уравнения движения частицы в поле тяжести, если она может двигаться по заданной крнвой: а) параболе, лежащей в вертикальной плоскости; б) окружности радиуса г = 1, расположенной в вертикальной плоско сги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
