Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Используя соображения симметрии, найти нормальные колебания системы рис. 35. 6.41. Описать свободные колебания систе- мы (см. рис. 32), если в начальный момент частиЗч цы 1 и 4 смещены навстречу друг другу на одинаковые расстояния в горизонтальном направлении, а начальныс скорости всех частиц равны нулю. Натяжение пружинок 3 =- к1д, 1 — 1д « 1, где 1 — равновесное расстояние между частицами (ср. с задачей 6.31). !'ис.
35 6.42. Найти поправки к кастетам нормальных колебаний системы четырех частиц на кольце (рнс. 29), возникающие при малых изменениях масс — на бгп, для первой и на бщз для второй частицы. 6.43 а. Используя соображения симметрии, определить векторы нормальных колебаний системы частиц (рис. Зба).
Все массы частиц и пружинки одинаковы. Рис, 366 Рис, Зба 6,47] З 6. Иавые симебания сисгоея с нескояькиии смеяеняли свободы 37 6.43 б. Найти собственные колебания «весов» рис. 36 б. Подвес жесткой рамки ВСЕ осуществлен с помощью короткой гибкой нити, допускающей любые повороты рамки вокруг точки С. Длины стержней ВС = = СЬ вЂ”.- 1, В.0 = ьзгс3, длины нитей АВ = 0Е =- Зй В точках А, В, .О, Е закреплены одинаковые грузики. Массы стержней и нитей не учитывать. 6.44. Найти нормальные колебания системы восьми масс, прикрепленных пружинками к неподвижной рамке (рис. 37). Жесткости к, натяжения 7' и длины 1 всех пружинок одинаковы.
6.45. Рамка, изображенная на рис. 37, колеблется вдоль направления АА по закону а сов 76 При каких значениях частоты "; возможна резонансная раскачка колебаний? !В Рис. 37 6.46. Найти нормальные колебания динсйной и СНЬ.ЗН, ° ° Н С С Н предполагая, что потенциальная энергия молекулы зависит как от расстояния между соседними азома- Рис. Зь' ми, так и от углов НСС. р С р Рис. 40 Рис, 39 6.47. Две одинаковые частицы прикреплены пружинками к неподвижной рамке (рис. 39).
Система симметрична относительно оси СГ. Какие сведения о нормальных колебаниях можно получитть не зная жесткостей и натяжении пружинок? 38 Задачи (б.48 6.48. Классифицировать собственные колебания молекулы этилена СзН4 по их свойствам симметрии относительно осей ЛВ и С 1) (рис. 40). В положении равновесия все атомы молекулы расположены в одной плоскости.
6.49. Найти нормальные колебания молекулы, имеющей форму равностороннего треугольника. Считать, что потенциальная энергия зависит только от расстояний между атомами (все атомы одинаковы). Момент с точностью до малых первого порядка включительно по амплитуде колебаний равен нулю. 6.50.
Молекула АВз имеет форму правильного треугольника, в центре которого находится атом А, а в вершинах — атомы В (такова, например, молекула хлорнда бора ВС)з). а) Используя соображения симметрии, определить кратность вырождения собственных частот молекулы. б) Определить, насколько изменятся частоты колебаний, оставляющих молекулу равносторонним треугольником, и колебаний, выводящих атомы из плоскости, если один из атомов В (его масса т) заменить его изотопом, близким по массе (т+ бгн). Масса атома А равна тд. 6.51. Используя соображения симметрии, определить кратность вырождения различных собственных частот «молекульш, состоящей из четырех одинаковых «атомов» и имеющей в положении равновесия форму правильного тетраэдра. 6.52. Молекула метана СН4 имеет форму правильного тетраэдра, в вершинах которого расположены атомы водорода, а в центре — атом углерода. а) Определить кратности вырождения собственных частот молекулы.
б) На скольких различных частотах происходит резонансное возбуждение собственных колебаний молекулы СНь если на нее действует однородное переменное электрическое поле? (Речь идет фактически об электромагнитных волнах инфракрасного диапазона, длина волны которых на несколько порядков больше размеров молекулы.) Учесть, что атомы водорода и углерода иллсюг заряды противоположных знаков. Как зависит амплитуда колебаний атома углерода от ориентации молекулы по отношению к электрическому полю? й 7.
йоэебаниялннейньм веночек 7,4] й 7. Колебания линейных цепочек Рис. 41 Рис. 42 а 7.1. Определить нормальные колебания системы Х одинаковых частиц массы пн связанных одинаковыми пружинками жесткости к и могущих двигаться по прямой (рис. 41). Уклзлцив. Удобно искать нормальные колебания в виде суперпознцнн бегущих волн. Ж (Х вЂ” 1)1 7.2а. То же для систегиы (рис.
42а), один из концов которой свободен. 7.2 б. Определить нормальные колебания системы Х плоских маятников, подвешенных друг к другу (рис. 42 б). Массы всех маятников одинаковы, длины равны Х1, (Х вЂ” 1)1,, 21, 1, считая сверху. пп 21 7.3.
Найти своболные колебания Х частиц, соединенных пружинками и могущих двигаться по кольцу (рис. 43). Массы всех частиц и жесткости пружинок одипаковьг. Пусть движение представляет собой безущую по кольцу волну. Проверить, что поток энергии равен произведению линейной плотности энергии на групповую скорость. Рис, 42б 7.4.
Определить свободные колебания системы частиц, могущих двигаться по прямой: а) 2Х частиц с массами т и М, соединенных одинаковыми пружинками жесткости и (рис. 44); б) 2Х частиц с массами гп, соединенных пружинками жесткости й и К (рис. 45); Рис. 43 Рассматриваемые а задачах этого параграфа цепочки частиц, соединенных пружинками, представляюз собой простейшие модели, используемые в теории твердого тела (см., например, (18]). Электрические аналоги таких цепочек — искусственные линии, находящие применение в радиотехнике (см., например, [16]). 40 Задачи в) '2зч'+ 1 частиц с массаъш пи соединенных пружинками жесткости й и К (рис. 46). См. указание к задаче 7.1.
Рис. 45 7.5. а) Найти установившиеся колебания системы, описанной в задаче 7.1, если точка А движется по закону а, соя", е (рнс, 41). б) То же для системы, изображеп1юй па рис. 42. 7.6. То же д:ш системы рис. 44. 7.7. Найти нормальные колебания системы частиц, могущих двигаться по прямой и соединенных пружинками, если а) т,, =- зп ф тм, 1 =- 1, 2, ..., Х --1, жесткости пружинок одинаковы (рис. 47); исследовать случаи ьчм >) т и птм « пт; б) и, = й Ф язчьм 1 = 1., 2, ..., Х, все частицы одинаковы (рис.
48); исследовать случаи Зсм-1 > й и ймч.з « й. Рис. 47 Рис. 48 7.8. а) )ч' маятников связаны пружинками н могут двигаться лишь в вертикальной плоскости, проходящей через горизонтальную линию подвсса (рис. 49). Найти нормальные колебания системы, если все маятники и пружинки одинаковы и в положении равновесия длина пружинки равна расстоянию между точками подвеса соседних маятников. б) Найти вынужденные колебания системы рис. 49, если на последнюю 41 З' 7. Колебании линейных ценонен Рис. 50 Рис.
49 частицу действует вынуждающая сила Гф = Е вш ух параллельно линии подвеса. в) 2Л одинаковых маятников связаны одинаковыми пружинками и могут двигаться лишь в вертикальных плоскостях, перпендикулярных круговой линии подноса (рис, 50), Расстояние между соседними точками полвеса равно а.
Длина каждой из пружинок в нерастянутом состоянии равна б. Исследовать, как зависит устойчивое~ ь малых колебаний вблхви вертикали от значения параметра 6 — а.. Радиус окружности линии подвеса Л считать достаточно болыпим, так чтобы малыми величинами 1/71, а/Л, о/ хх мохкно было пренебречь. йе У Рнс. 5! Рнс. 52 7.9. а) К одному концу искусственной линии рис. 51 подключен источник переменного напряжения Г соа ух. Какую цепочку Я из сопротивления В и индуктивности Яо 1или емкости".) следует подключить к другому концу линии, чтобы колебания в линии представляли собой бегущую волну, 42 Задачи 17. 1О т.е.
чтобы напряжение на каждом из конденсаторов отличалось от напрялсения ца соседнем только определенным сдвигом фазы? б) То же для искусственной линии рис. 52. 7.10. Упругий стержень можно представить как предельный случай системы Х частиц (см. рис. 41) при условии >У вЂ” оо, а — > О, причем Мп> = сопвФ и Ха = сопз1ч где т — масса частицы, а — расстояние между соседними частицами в поло>кении равновесия. Получить уравнения колебаний стержня как предел уравнений движения дискретной системы.
Уклзлнив, Ввести координату точки стер>хна б = оа, а также величины, получаемые ори ироде>жном переходе а -ч О х1С, «) = йш х„11), х (1) — х„..>(1) 7.11. Получить уравнение колебаний стержня предыдущей задачи с учетом первой неисчезающей поправки, связанной с конечностьк> расстояния а между соседними частицами. 8 8. Нелинейные колебания 8.1.
Определить искажение гармонического колебания осциллятора, вызванное наличием ангармоннческик поправок к потенциальной энергии: а) бГ(х) = б) ЯЛх) = "'ох . 8.2. Определить искажение гармонического колебания осциллятора, вызванное ангармонической поправкой к кинетической энергии ° з п>ухх" 2 8.3. Найти аигармоиические поправки к колебаниям маятника, точка подноса которо>'о движется по окружности (рис. 15). 8.4. Найти колебания осциллятора под действием силы 1> совы>1-' а — сов щ>1 с учетом ангармоинческой поправки 5Г(х) —.. 43 Ь 8. Нелинейные килебеииы 8.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
