Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Полезно отметить, что подобным же образом строится теория возмущений в квантовой механикс. В задачах 6.36 — 6.38 изучаются колебания систем, в которых действуют «гироскопические» силы 1сы. также залачн 9.24 — 9,27). 6.1. Найти свободные колебания системы, изображенной на рнс. 19, при которьгх частицы двюкутся вертикально. Найти нормальные координаты и выразить через ннх функцию Лагранзка.
6.2. Найти установившиеся колебания системы, описанной в предыдущей задаче, если точка подноса движется в вертикальном направлении по закону а(1), где а) а(Г) = а сов 71, б) а(1) = гг(1 — гг) при от < 1 ( (и + 1) т. 6.3 а. Найти свободные малые колебания плоского двойного маятника (рнс.
20 а). Задачи 16А у ми Рнс. 20б Рвс. 20 а Рис. 19 6.3 б. Найти нормалыгые колебания для двойного маятника 1рис. 206), у которого угол между плоскостямн колебаний верхней частицы с массой Зт н нижней частицы с массой гп равен 60 . Длина каждого стержня равна 1, их массами пренебречь. 6.4. Найти свободные колебания системы, функция Лагранжа которой 2 2 Как выглядит траектория точки с декартовыми координатами (х, у) ". 6.5. Найти нормальные колебания системы, функция Лаграюка которой: йг, г гг+ гг а) ь = —, —; ок111 2 2 амйг+ гагу ., кг -Р уг 2 ' 2 6.6.
Найти нормальные колебания в системах связанных контуров: а) рнс. 21,а; б) рис. 21,б. 6.7. Найти нормальные колебания системы частиц, соединенных пружинками 1рнс. 22). Частицы могут двю аться только вдоль прямой АВ. Найти свободные колебания системы. 6.8. Найти свободные колебания системы (рис, 23), если в начальный момент: а) одна из частиц имеет скорость а, скорость другой и отклонения обеих частиц от положения равновесия равны нулю; 6,141 16. Малые колебания систем с негколькиии степенями свободы 29 Р гя к у с, С, У б) а) Рис. 21 т,яа тт кз Рис.
23 Рис. 22 б) одна из частиц отклонена от положения равновесия иа расстояние и, откчоиеиис другой и скорости обеих равны нулю. Частицы могут двигаться только вдоль прямой АВ. 6.9. Определить поток энергии от одной частицы к другой, используя условия предыдущей задачи. 6.10. Найти свободные колебания системы (сьт. рис.
23), если иа каждую из частиц действует сила трения, пропорпиоиальиая ее скорости. 6.11. Найти свободные малые колебания двойного маятника 1рис. 24), сели в начальный момсит верхний маягиик всртикалси, нижний отююиси ца угол,'3 « 1, а скорости их равны нулю. Массы маятников М и пт, причем ЛХ )~ ш. 6Л2. Найти установившиеся колебании системы (сьт.
рис, 23), если точка А, в которой закреплен левый конец пружины, движется по заходу гзсоз 1в иаправлеиии прямой АВ, 6.13. Найти установившиеся колебания системы двух частиц иа кольце' (рис. 25, а), если точка А движется по кольцу по закону а сов уй Исследовать зависимость амплитуд колсбаиий от частоты вынуждающей силы. 6.14. Три частицы, каждая массы ш, связанные пружинками, могут двигаться по кольцу (рис. 25, о). Найти установившиеся колебания системы, если точка А движется по кольцу по закону а соз 3~. 'В этой и подобных задачах кольцо предполагается гладкин и неподаззжныьз. Задачи 6 а) б) Рис, 25 Рис. 24 6.15.
Найти установившиеся колебания системы, изображенной на рис. 23, если точка А движется по закону а газуй На частицы действует снлатрения,пропорциональная скорости. 6.16. Найти движение системы рис. 22, если в начальный момент частицы покоились в положениях равновесия, а точка А движется по закону а соз-гГ. Массы частиц равны Гат1 = газ — -= гп), 6.17. Найти установившиеся колебания частицы (рис.
26) под действием однородного переменного поля 11Я = — У(1)г, где вектор е Н) лежит в плоскости рисунка, в случаях: а) Уф — -- г о соз у4, б) У(1) вращается с частотой 7, оставаясь постоянным по величине. 6.18. Найти нормальные колебания трех одинаковых частиц, связанных одинаковыми пружинками и мокнущих двигаться по кольцу (рис. 27). Ряс. 26 Ряс. 27 6.23) 16. Чалые кагебанин систюг с несколькими снгеаенягги свободы 31 Рис. 28 Определить нормальные координаты, приводящие функцию Лагранжа к диагональному виду. 6.19.
Найти свободные колебания системы, рассмотренной в предыдущей задаче, если в начальный момент одна из частиц отклонена из положения равновесия. Начальные скорости равны нулю. 6.20. Найти нормальные колебания системы трех частиц, которые могут двигаться по кольцу (рис. 28). 6.21. Найти нормальные координаты системы четырех частиц на кольце (рис. 29). 6.22. Пусть нормальные колебания системы, описываемой функцией Лагранжа 1с Е =- — т (ьзг хох — й, х,х ), чо имеют внд х (Е) = А, сов(аг~1+ ~ч). % <й,, Доказать, что амплитуды, соошегсзвуюшие колебаниям с различными частотами агг и аг„, удовлетворяют соотношениям А~'~гп,аА ' = ~ ~А~')й,, А~ ~ = О. г,а 6.23.
На систему, описываемую функцией Лагранжа 1с Š— ' Х ~1пгахгха — Йгахгха) 2~ г г 32 Задачи (6.24 наложена линейная связь игх, = О., и, = сонэк Е г Пусть все собственные частоты системы без связи различны Йг < Йз < «... Йтз. Доказать, что все собственные частоты системы со связью агг легкат в промегкутках между ЙО Й1 гч шз К< Йз ~< газ чг... ~ ~г 'гч -1 ~< г)гч. 6.24. Установившиеся колебания системы, описываемой функцией Лагранжа 1~ (гэгмхчгхг ймхгхд) + ~~' хг,гтг сов гг, 2Л можно представить в виде х,(1) — -- 2 Л(')А( совОП (Почему?) (Обозначе(О ния задачи 6.22.) Выразить коэффициенты ЛО) через Зг и А, О) Исследовать зависимость ЛО' от ",:. Показать, что если для в-го нормального колебания 2,1гА(') =- О, то Л(') —.—.
О. г 6.25. Система частиц, связанных пружинками, может совершать малые колебания. Пусть к одной из них — частице А — вдоль направления х приложена сила Р = Вв сов уй а другая — частица  — при этом совершает установившиеся колебания, при которых проекция ее отклонения на напРавление х' имеет виЛ хп — — С сов 76 Показать, что нри действии силы Г ва частицу В вдоль оси х' возникают такие колебания частицы А, что хв =- С сов 3 6 (теорема взаимности). 6.26. Найти нормальные колебания системы частиц, которые могут двигаться по кольцу (рис.
30). 6.27. Найти нормальные колебания системы четырех частиц на кольце (рис. 31). 6.28. а) Найти нормальные колебания системы, изображенной на рис. 32. Все частицы и пружинки одинаковы. Натяжение пружинок в положении равновесия ) =- И, где ) — равновесное расстояние между частицами. 6,30) З 6. Малые кзыебакия систем с несколькими степенями свободы 33 2т Рнс. 3! Рнс.
30 Рис. 33 Рис. 32 Уклзлнив. Некоторые нз нормальных колебаний очевидны. Определение остальных можно упростить, используя соотношения задачи 6.22. б) Найти нормальные колебания системы четырех одинаковых частиц, изображенных на рис. 32 (пятая частица отсутствует, а пружинки в этом месте соединены). Коэффициенты жесткости и натяжения всех пружинок одинаковы. 6.29.
Три частицы, имеющие различные массы пзз (з = 1, 2, 3), могут двигаться по кольцу (рнс. 33). При каких значениях коэффициентов жесткости пружинок ?с, в данной системе наступит вырождение частот'? 6.30. Какие из нормальных колебаний системы рис. 27 мало изменяются при малом изменении системы, состоящем в следующем: а) жесткость пружины ! -2 изменена на малую величину бк; б) к частице 3 добавлен малый перегрузок дт; в) к частице 1 добавлен перегрузок бзпы а к частице 2 — бпзз'? 34 Задачи (б.З! 6.31.
Для случаев а) и б) предыдущей задачи описать свободные колебания, если в начальный момент частицы 1 и 3 смещены навстречу друг другу на одинаковые расстояния. Начальные скорости частиц равны нулю. 6.32. Система рис. 29 имеет вырожденные частоты, поэтому ее нормальные колебания пе определены однозначно. Даже малое изменение масс частиц илн жесткостей пружинок может привести к сняьтию вырождения. Найти нормальные колебания системы рис. 29, близкие к нормальным колебаниям системы, которая получится, если: а) к первой и второй частицам добавить одинаковые перегрузки; б) измешзть одинаково жесткость пружвнок 1 — 2 и 3-4; в) добавить перегрузок к первой частице, 6.33.
Частицы 1 н 3 системы, описанной в задаче 6.32 б, в начальный момент отклонены от положения равновесия на одинаковое расстояние навстречу друг другу; начальные скорости всех частиц равны нулю. Описать свободныс колебания системы. 6.34.
Опрсделитгч насколько изменяются собственные частоты системы, описываемой функцией Лагранжа 1~ Ео = — г (тмх,хэ — рмх,хэ) 2 г при небольшом ес ихмененни: Ы = — ~~(бгп, х,х, — бйпх,х,). 1т 22 Все собственные частоты исходной системы невырождены. 6.35.
Найти изменение собственных частот системы рис. 31, если к первой частице добавлен малый перезрузок бггь так что е = бгп/т « 1. 6.36. Определить свободпыс колебания аиизотропного заряженного осциллятора с потенциальной энергией у(г) = ™вЂ” ( г, х т ыгр + гзгг ) 2 в однородном магнитном поле М', параллельном осн ж Рассмотреть, в частности, подробнее предельные случаи: а) ~ыэг' ,<< ыг — ыгй 6,39] З 6.
Малые ктмебакия систем с несколькими степенями свободы 35 б) ~ ~хе >> пзз,з, в) ыз = еоз » ~изуе~ гтЗДЕСЬ ЫЛЕ = Е,К/ттЗС). ТГг) жг„~хз, ы;дз+ „,з,.з) в слабом магнитном поле яа" = (:тьи, О, Ж,), рассматривая влияние магнит- ного поля как малое возмущение.
6.38. Математический маятник является частью электричсской цепи 1рис. 34). Перпендикулярно к плоскости рисунка приложено постоянное однородное магии.пюе поле ЗГ. Найти нормальные колебания системы. 6.39. Пусть система, совершающая малые колебания (а следовательно, и ее функция Лагранжа г 1х, х)) не измезгяет своего вида прн замене Рис. 34 х, -- 1 Я„.х,; хз -- Р оззхлм з,1=-1,2,...,%, причем постоянные коэффициенты Я, = озз удовлетворяют условию' Доказать, что: а) если нормальное колебание х, = Аь соз(озб -, 'зо) невырожденное, то амплитуды А, симметричны или антнсиммстричны относительно данного преобразования, з.е. или ~ Я, А = +А„или ~ Я, А. =- -Ау, б) если частота вырождена, то можно выбрать нормальные колебания симметричными или антисимметричными; 'Это условие озназаст, нто при двукратном преобразования система возвращается в исходное состояние.
Таким свойством обладают, например, отражения относительно плоскости симметрии системы или повороты на ЬЗО относительно оси симметрии 6.37. Определи~ь свободные колебания анизотроппого гармонического осциллятора с потенциальной энергией 36 Задачи 16.40 в) если на систему действует внешняя сила, симметричная Сантисииметричная) относительно данного преобразования, то антисимметричные (симметричные) нормальныс колебания не возбуждаются. (Это один из примеров так называемых правил отбора.) 6.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
