Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Определить время падения частицы с расстояния Л в центр поля Г(г) = -гг/г„рассматривая траекторию как вырожденный эллипс. Начальная скорость частицы равна нулю. 2.11. Определить наименьшее расстояние мезкду частицами, если первая из них налетает из бесконечности со скоростью и и прицельным параметром р на вторую, первоначально покоившуюся. Массы частиц чин, таь закон взаимодействия??(и) = в)г". 2.12. В системе центра масс определить траектории финитного движения двух частиц, массы которых тн и тз, а закон взаимодействия Г(г) = — и,?г. 2.13.
Определить положение фокуса пучка частиц, близких к оси пучка, при рассеянии в центральном поле Г(ч ), предподагая, что частица, летящая вдоль оси, поворачивает назад. 2.14. Найти область„недостижимую для пучка частиц, летящих из бесконечности со скоростью д парюшсльно оси — и рассеиваемых полем Й1(г) .— -- а,?г. 2 21) 1 2. Движении нвсвзач н пюллз 2.15.
Найти область, недостижимую для частиц, вылетающих со скоростью и в различных направлениях из одной точки Л в поле Н(г) = — о,Зг. 2.16. Найти траекторию частицы в поле Г(г) = — а/г, используя интеграл движения А =- ''чМ1 — о'. 2Л7. Определить изменение зависимости периода Т радиальных кодебаний точки в центральном поле Н(г) от энергии и момента, вызванное изменением поля на малую величину бГ(г). 2.18. Показать, что траектория частицы в поле Г(г) = — ые' '~~2,Зг при условии и„„„« .0 представляет собой медлешю прецессируюший эллипс, и найти угдовую скорость его прецессии. 2.19.
Найти скорость прецессии орбиты в поле Г(г) = .— оззгз ", где ~4«1 2.20 а. Найти угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле и и 8 с =, + — 4 при зз « таз-а, тнзсоз, где а и 6 — параметры ззевозмущснной траектории: (гсоззрхз (гвзпни)'-' 2.20б.
Частица скользит по поверхности глалжно параболонда вращения, ось которого направлена вертикадьно вверх: -"- (яз + у~)з(21). Найти угловую скоросзь прецессии орбиты. Наибольшее и наименьшее расстояния частицы от оси з равны а, и 6, причем а « й 2.21. Исследовать движение системы Земля — Луна в поле Солнца. Учесть, что масса Луны в 81 раз мепыпе массы Земли, а расстояние от Земли до Луны а — —. 880 тысяч км много меньше среднего расстоянзгя до Солнца В -- 150 миллионов км. а) Принимая для простоты, что пдоскость орбиты Луны совпадает с плоскостью орбиты Земли, показать, что потенциальная энергия системы Земля — Луна в поле Солнца, усредненная за месяц, имеет вид где  — расстояние от Солнца до центра масс системы Земли — Луна.
Опре- делить происходящее из-за этого смещение перигелия за сто лет. Задачи Г2.22 б) Плоскость орбиты Луны составляет с плоскостью орбиты Земли угол д = б'. Определить связанную с этим среднюю скорость прецессии плоскости орбиты Луны. 2.22. Определип угловую скорость прецессии орбиты в поле Г(г) =- = — — ',,' + бГ(г), если эксцентриситет орбиты е « 1, полагая БП1г) = бИо) + (г — гл)б7У'(а) + — (г — и) 6ТУ" (и). 2 где и =- '"',' " "" — средний радиус орбиты.
2 2.23. Опредедить угловую скорость прецессии орбиты частицы в поле П(з) = — ~~ -, 'И/(г) (дУ(г) — малая добавка) с точностью до второго порядка включительно по дГ(г). 2.24. 1!айти уравнение траектории частицы, движущейся в поле Г(г) =- —. —, + —, рассматривая —, как малую добавку к кулоновскому о 7 7 г 3 полю. 2.25. Показать, что задача о движении двух заряженных частиц в однородном электрическом поле 8 сводится к задачам о движении центра масс н о движении частицы в заданном поле. 2.2б. При каком условии разделяются задачи о движении центра масс и об относительном движении для двух заряженных частиц в однородном магнитном поле? Вектор~пй1 потенциал магнитного поля удобно выбрать в виде А = — (Мг).
2 2.27. Выразить кинетическую энергию, импутьс и момент импульса системы Х частиц через координаты Якоби: ой гз —,'... + гнвг„ нт,— , '..,+т„ т,,тз +... + зингер нм +... +?пгг 2.35] 12. Лвионснис нос>тш н полях 2.28. Па первоначально покоившуюся частицу налетает частица такой же массы и>, имевшая па бесконечности скорость в и юаимодействующая с первой по закону (г(>.) = г>/г", Удар центральный. Найти точку остановки налетевшей частицы. 2.29. Доказать, что для заряженной частицы в однородном магнитном поле Зс> интегралом яви>кения является МЖ +,с (гхс')з, где М = п>(г»). 2с 2.30.
Найти траектории> и закон дан>кения заряженной частицы в магнитном поле Зс' —... дг/гэ (поле магнитного монополя). Подобный вид имеет магнитное поле тонкого длинного соленоида вне е>о в точках, удаленных от его торца на расстояние, большое по сравнению с диаметром соленоида, но малое по сравнению с его длиной, 2.31. Описать качественно хараюер движения и вид траектории заряженной частицы в поле магнитного диполя тп, движущейся в плоскости, перпендикулярной к вектору вк Векторный потенцию> магнитного диполя А —" (п>г)>гз 2.32.
а) Описать качественно движение заряженной частицы в поле à — — — н>Лг, где г — расстояние от оси х (поле равномерно заря>ксшюго 3 2 цилиндра), при наличии однородного магнитного поля Зк', параллельного оси б) Найти закон движения и траекторию заряженной частицы, движущейся в поле у = а/гз в плоскости, перпендикулярной постоянному однородному магнитному полю .ФГ. 2.33.
Заряженная частица движется в кулоновском поле 11(>') = — с>~'>' в пдоскости, перпендикулярной к однородному магнитному полю Ж. Описать траекторию частицы. Исследовать случай, когда схс" малб, и случай, когда поле Н(> ) является малым возмущением. 2.34. Найти законы движения двух одинаковых заряженных частиц в однородном магнитном поле оси в случае, когда траектории их лежат в одной плоскости, перпендикулярной к йг', а энергию их взаимодействия 1> (г) .—.
е- 1г можно считать малой поправкой. 2.35. Показать, что в поле Г(г) —" -.~~ — Рг сохраняется величина Р[чМ) — о — —,:Гг)з. Истолковать этот интеграл движения при очень г 2'" малых Р. 12 Задачи 12.ЗЕ 2.36. Исследовать влияние малой добавки б1Г(г) = — Гг к кулонов- скому полю на финитное движение частицы. а) Найти среднюю 1за период) скорость изменения момента импульса.
б) Опрсдсдить зависимость от времени момента импульса, размеров и ориентации орбиты, если сила г лежит в плоскости орбиты. в) Тот же вопрос при произвольной ориентации силы. Уквзвнив. Составить и решить усредненные по периоду уравнение движения для векторов М =- т~гъ1 и А — ькМ) — —. ог 2.37. Найти систематическое изменение траектории фипитного движения заряженной частицы в поле Н(г) = — гь/г под влиянием слабых постоянных однородных электрического н магнитного полей и' и ас'. а) Ограничиться случаем, когда магнитное поле перпендикулярно плоскости орбиты, а электрическое поле лежит в ней.
б) Рассмотреть общий случай. 2З8а. Найти систематическое изменение эллиптической орбиты частицы в поле ~1Я вЂ” —. - о,'г под влиянием малой добавки бГ = Дг~ (3 сов- 0 — 1). (Таьюво, например, усредненное за месяц поле тяготения Лупы в околоземном пространстве — поле «приливных силл.) Ограничиться случаем, когда плоскость орбиты проходит через ось ". 2.38б. Принимая, что орбита Луны в поле Земли представляет собой эддипс, дежащий в плоскости орбиты Земли, определить систематическое изменение орбиты Луны под влиянием добавки к потенциальной энергии з бГ(г, 1) = — г~(3 сов у — 1), где пт — масса Лунь|, Й вЂ” угловая скорость обращения Земли вокруг Солнца, у -- уг'ол между направлениями от Земли к Солнцу н к Луне (между НЯ и — см.
задачу 2.21). 2.39. Найти систематическое смещение траектории финитного движения частицы, движущейся в поле à — — — ггУг и в попс магнитного днпо гя пт, если влияние магнитного днполя можно рассматривать как малое 1птг) возмущение. Векторный потенциал выбрать в виде 3.61 ьз 3. Сечение рассеяния в заданном нате. Стнатнновение настави 13 2.40. Определить среднюю скорость прецессии орбиты частицы в поле Г(г) = — о,тг под действием малой добавочной силы Р = дй гтакой вид имеет сила торможения излучением, в этом случае О = — —, где а .—. 2й 3 св' заряд частицы, — см.
[2), 475). йЗ. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц 3.1. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц, скорость которых до рассеяния параллельна оси ., па глалкой упругой поверхности вращения р1а): а) р = Ь гйп -'", 0 < з < на; б)р=йа", О<и<1; в) р =- Ь вЂ”. —, — < 2 < гж. 6 3.2. Найти поверхность вращения, сечение упругого рассеяния на ~второй совпадает с резерфордовским. 3.3. Найти дифференпиальное эффективное сечение рассеяния частиц сферическим ипоте|гциальпыы горбомга 1т при г < а, ГЯ =- Оприг>а. ЗА.
Найти сечение падения частиц в центр поля: а) Г= — —,„— — ', б) Г= — — —. т я д г' 2 в' т т 3.5. Найти сечение падения частиц на шарик радиуса В, находящийся в центре поля Г(г); а) Г = — ~, и > 2; б)Г= — ', — — 1. 3.6. 11айти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в поле ГЯ): а о прнг<Л.
а) Г(т) = 0 при т > Л: 14 задачи 13.7 — ты (з — Л ) приг(Л, ~ ~ 2 л ~ 2 ~ !~ 1 2,2 2 б) Г(г) = 2 О при г > Л. 3.7. Пайти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц (Е » 1') в поде Г(г): а) Н(г) = И 1и (1 -~- — „); б) Ю(г) — —. Лз ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ я 1(1 — — г',) риг<Л, О приг> Л. 3.8.
Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния часпщ Л о на малые углы в поле Г(г) = — ' 4 „л' 3.9. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в поле à —.. - о7'г~, 3.10. Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния быстрых частиц (Е » 1') в поле Г(г). Исследовать подробнее предельные случаи, когда угол отклонения близок к своему минимальному или максимальному значению: а) П(г) = 1'е ' '; б) Г(г) = 1з-н г 3.11. Поток частиц, скорости которых первоначально паралдедьны оси з, рассеивается на неподвижном эзшипсонде р 2 ь 2 — — — + —, =.1. аз ~~2 с Найти дифференциальное эффективное сечение рассеяния, если эллипсоид: а) гладкий упругий, б) гладкий неупругий, в) шероховатый упругий, 3.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
