Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 15
Текст из файла (страница 15)
с задачей 2.18). Нетрудно также впдоиз- менить уравнение (9) так, чтобы оно описывало траекторик7 на большом участке с точностью до первого порядка включительно: р — = 1+ е'созЛсо —, 7'соз2Лр. (11) 2.25. Достаточно убедиться, что выраженная через координаты центра 17111'1 '!П2Г2 масс К = и относительного движения г = гз 1'1 Функция 7П1 7П2 Лагранжа разбивается на две части; 2 — 2 1(К К)+2 2(г г) ь1(К, К) =- К + (е1+ ез)еК, 2 Ш .о Езсз / Ез Ез 1 1,2(г, г) = — г- — + пз( †, 2 Г '(,т7 тй) 'В чассносчи, радиус-аекчор г дочжен бить периодической функцией и. .ез+ 2ез не ф 1 2е Вблизи н7 — "- О, т разложение (2) становшся неприменимым, так как б;72 неограниченно возрастает.
Однако уравнение траектории (9) справедливо и в этих областях (ср, с задачей (1,8)). В случае инфинитною движения (Е > 0) уравнение (9) решает задачу. Если же Е < О, то (9) есть уравнение траектории лишь на нескольких оборотах', пока остается 37,7р « 1, Сохраняя в (8) только накапливающуюся часть Жр =- —.3с,72, получаем уравнения 104 Оп?ее?пь? н решения 12.2б 226. Е =- ' ' ' ' — е,'А(Г>)Г>+ е„'А(Г2)тз.
ФуИКцняЛатраижа разбиваегся на две части, содержащие только К, К и г, г (обозначения задачи 2.25), если е' т> т 2 ?7?1 + п?2К2 > е1 е2А(К)К 7п 2 1 1 1 2т2 2 с 4 (,,;., )2 Л? и 2.27. Т = —, 2, >дпб~, р = дмбм, М = '), д„йбп, бп), где п=1 п=1 (и .—.- 1, ..., я' — 1), п?с .—.. ~~ ?пь. Ь =1 + ?Пп >.1 Рп ть Ь=> 2.28. Обозначим координазь> летевшей и покоившейся вначале частиц через к> и жз. Пусть в начальный момент х> .= — Л, жз — -- О. Центр масс системы движется по закону Х = -- — — ' —,. Относительное движение с л, ш 2 2' координатой г = тз — г> происхолит по зшсону х йт 4 кк Закон движения первой частицы г Д 1 ~ с1ж х к> .—.- Х вЂ”вЂ” 2 27 777нп>' Функция Л>(К, К) определяет лвижение центра масс, происходящее так же, как движение частицы с массой т> ->- тз н зарядом е> + ез в однородном поле.
Относительное движение, опредсляемое Лз(г, г), происходит так же, как движение частицы с массой т = т>?пз (приведе?п?ая масса) ?П> Ч-?ия в кулоновском и однородном полях. Такой же результат можно получить, конечно, и исходя из уравнений движения частиц. 105 2,30) 32. Движение чвевгви в ловят ну „„„ -~П '. )вг ~ 1 Чочка остановки налетевшей частицы есть предел хд е при  — л оо.
Если п < 1, то хза — л оо при Л вЂ” л со, т, е, обе частицы после столкновения уходят на бесконечность. 2.30. Уравнение движения ед сгз имеет интегралы —.— Е, 2 (2) т)гч) — — —, = Л. ед г с г (3) Умножив (1) скалярно иа г, получаем гб = О или — —, — и- = О, откуда в г з сМ 2 " = с + '(1 — со)'. Умножив (3) скалярно на г) г, получаем ед — — =- ЛсозО. с (б) где 0 — полярный угол в сферической системе координат с осью —., парал- лельной вектору Л.
Проекция (3) на ось ед тг ~рз1п 0 — — '' сов9 = Л с совместно с (5) дает (6) тг- При1 =-1а имеем о =- гоЗьзлтди из(б) следует Л =-, в, неученом(5) з1п 9 пзгосс ед з~з/в РасстоЯние междУ частицами УменьшаетсЯ до величины х„л„= 1 пил — 1 1 ) а затем вновь возрастаез. Когда оно вновь станет равно Л, первая частица окажется в точке 107 2,31] 42. Движение чаеишц в валят Отсюда видно, что р„в случае ннфинитного движения есть значение ЛХ при г оо. Кроме того, выполняется закон сохранения энергии (так как дА ~де = 0): т (Рз + гж.
з) (б) Исключая из (5) ~р с помощью (4), находим ~~ге+ Ггвое(г) = Е,', 2 (6) где (7) Е, и. Е, аббгг б) Рас. 94 В случае р. < О для любой энергии Е > 0 движение инфинитно. Для того, чтобы качествешю изобразить траекторию, полезно выразить из (4) ~ре~ ощ эх азт ггсг~ Скорость поворота радиуса-вектора частгщы имеет все время одно и то же направление и возрастает с приближением к диполю. Примерный внд траектории показан на рис. 95 (кривая !). Траектория симметрична относительно прямой, соединяющей центр поля с точкой г = гты. Таким образом, движение вдоль радиуса происходит так жс, как одномерное в поле 1и ~ Е(г). Графики Гг,ЕЕ(г) для случаев р < 0 и рг > О изображены парис.
94,а и б соответственно. 109 2,32) 'з 2. Движение чиепищ в полит а) б) г) д) Рис. 97 13я =- ', Й =- ~'У", Й вЂ” зггйэ ч- Л. Для р, < 0 траектория приведена на 2Й ' йтпс' рис. 97,; для р = 0 — на рис. 97, г). Закон движения частицы в этой плоскости легко найти, зная движение свободного изотропного осцилля гора с частотой Й (см, [! ), з 23, задача 3) — а~сов Йь'-р Ь в)п Йь, уо =- — ЙГ 1- Агой( —,гяЙГ~.' Здесь минимальный (1)) н максимальный (а) радиусы определяются энергней Е = '~, (а +бз) — рый иимпульсомр„= тйаб, аначалаотсчетауи со 2 выбраны так, чю зс(0) .== О, г(0) -" —. и. Интересно, чю период радиальных колебаний Т -= ну'Й не зависит от Е н р . Угол поворота радиуса-вектора за этот период гдзр .—.. я(ж1 — Йззй) для ре < >0 и гдзр =. — Йу'й для р —.. 0 не зависит от Е.з Как изменится движение частицы, если Л < О? Интересно сопоставить движение частицы в этой задаче с двюкением в скрещенных электрическом и магии~нем полях (см.
ГЗ), р 22). 1 Ветви гзгсч й~ — Зай) дудою выбирать тагг, чтобы угол уз был иепрерывпой фуньиией К уб ),а г -Другой способ решешзя приведен в задаче б.эб 11О Ощеетлы я решения 12.ЗЗ 2.33. Уравнение траектории (Р а-Й)аг и"...,, где Й =;"~', 2тс' ьтг ( ) о т птз* (Й РФ ) ттв ре е)г 'зо = 2 1Е+ 1-1 ен Ре ьчй г 2тпг Йг, (2) Таким образом, можно считать, что влияние магнитного поля сводится к замене энергии на Е' = Е-,р .Й, добавлении к полю 17 = — ~ добавки д1г = пайве — (которая приводпт к прецессии орбиты) и к добавочной прецессии 2 с угловой скоростью — Й. 11ри достаточно малых значениях магнитного 'Качественный харак-гер исследования с помощью графиков позволяет воспользоваться тем же приближенным изображением траекторий, что и в задаче 2.32.
Разумеется, тжные траектории частил в обеих задачах различны. Качественно характер движения можно исследоваггн используя графи- ки 17,фф(г). Лри этом нузкио обращать внимание на то, что ф меняет знак, когда г проходит через значение го = ( —. В результате получаем тра'Ре ~( Й ектории, приведенные на рис. 97, а э.' Различные траектории на рисунках соответствуют следующим условиям: а) р„> О, 17 ы < Е < 17о, где (г ы — минимальное значение 17зфф(г), Ьо = Г,фф(то); б)р >О,Е=17о; в)р >О,Е>Го, г)р„< О; д) ре =- О. В последнем случае частица падает в центр на первом же витке.
Рассмотрим подробнее два предельных случая. Уравнение (1) представим в виде б 2. Движение чпсзлтзч н полит 2,331 поля М' поле 6Ет может оказаться малой добавкой к Его = -- ~. Для 2тт~ этого достаточно, чтобы во всей области движения частицы выполнялось условие 6Пт) « ;'ЕТо(т)!. Скорость прецессии, вызванной 6 Ет, можно определить как й' .— — ~ =- —, (Т(611)), Т тйр, (4) где усреднение бЕг производится по движению частицы в поле Етп с энер- гией Е' и моментом р,, а Т вЂ” период этого движения (ср, с задачами 2.17, 2.18). Вычисление' приводит к значению Зйзр й' =— 21Е' (б) причем 6ЕГ действительно можно считать малой поправкой, если кроме ЕЗ) выполнено также условие 66192 « 2.т, т.
е. Й р„скьут~Е ~ 'т << 1. Еб) Разумеется, 617 нельзя считать малой поправкой, если Е' ) О, так как в этом случае удаление 6Ет качественно меняет характер движения. Величина й' может оказаться как малой по сравнению с й, так и большой, Знак Й' противоположен знаку р, т,е. направление этой скорости противоположно направлению движения частицы по орбите. Направление же скорости Й определяется магнитным полем.
Итак, траектория представзгяет собой эллипс, прецессирующий с угловой скоростью йв, .—.. --й + й', (7) 'Для вычисления ИИ) удобно использовать переменные, примененные в задачах 2.18, 2.19. Так как период в пояс но не зависит от р ., в 14) можно вынести Т из-под знака производной.
точнее говоря, поскольку может оказаться ЙТ > 1, в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Й„„, траектория представляет собой неподвижный эллипс. Интересно сопоставить полученные результаты с теоремой Лармора (см. [3), 4 45, см. также задачу 9.23). 112 ОЕ2ее7пь7 н решения (2.З4 е 7 Яе Ле 27 н7е ' 1,2 т,йз (8) Возможны два варианта расположения окружности, изображенные на рис. 98. Если р. й С О, то осуществляется случай а), если р„,й > О, то осуществляется случай б). В обоих случаях К вЂ” '2рй я Е 2тйз 2тйз Учет поля 67 приводит к систематическому смещению этой окружности (называемому дрейфом), причем ее радиус и расстояние от центра пози, опредеязяемыс постоянными а и 6, не изменяются, т.е. центр ее перемещается по окружности радиуса 6. Угловая скорость смещения центра окружности где усреднен22е 17 производится по равномерному движению по окружно- сти.
Ограничимся случаем, когда а (( 6. В этом случае можно считать просто (с22) а 6' (10) так что З =,, Заметим, что в этом сдучас линейная скорость дрейфа 2272Й17 равна со 77,УЕ, где еон ..— а776з — сила, действующая на частицу на рассюянии 6 (ср. (3), 822). 2.34. Задача о движении двух одинаковых заряженных частиц в однородном магнитном поле сводится к задачам о движении центра масс и об относительном движении (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
