Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 12
Текст из файла (страница 12)
с задачей 1.4) при ьз « 1, т.— 4~~- Рв 8 с и — гр при и --со « 1. К1й) —. —,(1-~ — "' ) прн й (< 1, 1з 1й) — — 1п при 1 — й « 1. 1 16 г 1 йг Таблицы и формулы этих функпий можно найти, например, в 110]. 1 ° )=1 г Ни,гз грал первого рода. Ясли и = Г(б, й), го б выражается через одну из эллиптических функций Якоби — эллиптический синус: зт б = вп1п, й).
Полным тлнптнческим интегралом первто гзг рода называется функпия К1й) —... Г) —, А). Приведем также формулы для двух предельных ),2' случаен: 1.8] б!. Интегрирование уравнении' движения с одной ствененыо свободы 77 При й ) 1 маятник не колеблется, а вращается. Из (1) получаем 1 = — )/ — Е~ —,, — ) .'.оо, ио.=-2Агсо1пзп(и, — ), и.=- в(1 — оо)~' —. Период обращения х- ваяв(1). В частности, при Š— 2тд1 «2тд1 получаем ео Т= ~ — 1п Ч д Š— 2гпдП где ео = 32тдй Этот результат отличается от довольно грубой оценки, сделанной в предыдущей задаче, значением постоянной ео, т. е. на число, не зависящее от Е -- 2тдй 1.8. Закон движения в поле Г(х) + беУ(х) определяется равенством х йт Ъ ' в дв виив ю*Я (х = и при 1 =- 0).
Разлагая поды1пегральное выражение в (!) по степеням бГ(х), получаем 1 — — во(х) + бо(х). (2) где дУ,гл- и~.,у б1У(з:) ' 2~/ 2 / (Е (у(т))з~з' о (3) (4) х =- хо(1 — бо(х))., (б) Пусть закон движения в отсутствие поправки б(Р(х), определяемый из уравнения 1 = 1о(х), есть х = во(1). Тогда из (2) находим 78 Отеегны и решения (1 8 х =- хо(1) — хЯЫ(хоЯ).
(6) Вблизи точки остановки х = хг разложение (2) становится неприменимым, так как поправка Й(х) — оо при хы Замечательно, однако, что формула (6) оказывается справедливой вплоть до точки остановки, если ~б(7'(х) « Р'~, Е = — Г(хг). (7) Этот факт связан с тем, что хотя с прибдижением к точке остановки й возрастает, зависимость х(1) вблизи экстремума оказывается слабой. Очевидно, что вблизи х| невозмущенное движение имеет вид хо(а) =хи+ —,. И вЂ” М Е г 2т (8) Добавление бГ смещает точку остановки на бггы согласно уравнению Г(хг -', бх1) 1-б~(хг + бх1) = Е. бГ(хе) Отсюда бги =, .
С учетом возмущения бГ аналогично (8) имеем Е х(Х) = х, —: бги + — (1 — 1, — Й,)' Е г 27П (9) (в силу (7) поправкой к Е пренебрегаем). Убедимся, что расчет по формуле (6) приводит к (9). Область интегрирования в (4) разобьем на две части: от а, до 6 и от 6 до х, где Ь лежит вблизи х>. Во второй области можно положить бГ = = б17(х, ) и (7(х) = Š— (х — хг)Г.
Тогда ,/т бП(хз) Й= ' +Й,, ,Л~'~* — *Л )тл (и б(7(х) 4х нгт бП(хг) Еет! (Ер-Н>Н' ея'Н-,>' 6 (10) Подставляя (10) и (8) в (6) и пренебрегая б1~~, получим (9) с б1г —.- Йо. причем в малой поправке Й(х) можно положить х = хо(е), а также провести разложение (5) по й. Окончательно !.9] б!. Интегрирование урввнений движения с одной стененыю свободы 79 1.9. а) Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Невозмущепное движение хо(б) = аз!пигб„с' = —,тиг а .
1 2 я 2 При этом ~д(г,гЦ < я = ~~ << 1. Поправка Й(хо(1)) = —,(сояы1+ — 2) и, согласно формуле (6) предыдущей задачи, х(1) —. аяшиФ вЂ” =(соя иЛ+ 1 — 2сояиг!). 3 С точностью до членов первого порядка по я включительно х(!) — -- а вы(игб д- — ] — =а — =а соя 2щ! 3] 2 6 (ср. с задачей 8.1 б). б) Действуя так же, как и в предыдущем пункте, получаем х(!) — —.
аяшиг1-ьая~ — ийсояий — — я!пиЛ-- — я!пЗигс], я =- ' „<< 1. (1) /3 7, 1, т,даа (2 8 8 ] йщз Этот результат имеет относительную точность яз в течение одного периода, а через я периодов формула (1) становится полностью неприменима. Учитывая периодический характер даижения, можно распространить результат (! ) на бблыпий промежуток времени. С точностью до членов порядка я включительно формула (1) преобразуется к явно периодическому виду х(б) — -- а(1 —.
— я) я]п[иг(1+ — 'Зя]1~ — а — 'я!п[Зиг(1.!. —,е]!1. (2) Не учтенные нами в (1) поправки приводят к изменению частоты порядка язщ, так что (2) сохраняет относительную точность в течение я периодов (ср, с задачей 8.1 а). Отде)ни и решения !!. !о 1.10. Искомое изменение периода хг-(-дх, хг ЪТ =- ъ'2нб ~ — и . (1) 'е-и() бн(ь) ! 1(Х-и()) хг-(-дхг Хг бг г,'г — "! (,Ъ и( ) -бн()бк-/, Е Е(л)б ~. (1) дЕ,/ Х1-)-дХ1 Отсюда бг'= — '. — ) = — (7(бе)), (г) б (б би( )б.
д дн 1( е и(,) бе где !()1)') = 1, ! бП)!к!Х))(!т Т / !4) о — среднее по времени значение бай(. Время движения вблизи точек остановки составляет малый вклад в период (разумеется, если Гб(ж), ) ф 0); по этому поводу см, задачу 1.3. Именно поэтому формула (3) может давать хорошее приближение. В некоторых случаях даже малая добавка бГ(т) может существенно изменить харакгер движения частицы !см.
например, задачу 1, ! ! б, в). Действуя аналогично, можно получить следующие члены разложения оТ по 4Г: Т= Л7П~~) ), / ! — 1)" дн Г !ос7!(е))" (!к и) 1!Ен у! Е г)! )' г'1 Формальное выражение (5) может оказаться асимптотическим или даже сходящимся рядом. 1.11. а) Поправка к периоду 2я(~ш, полученная по формуле (5) предыдущей задачи, равна — Зя)ЗЕ()277)и)о и мала при достаточно малых Е.
Разлагать подынтегральное выражение (1) по о!) (ж) нельзя: условие применимости теоремы о дифференцировании б(есобственного интеграла по параметру нарушено, так как полученный при дифференцировании интеграл расходится. Разложение подыитегрального выражения по 4Г(к) до линейного члена включительно можно провести, если представить 4Т в виде 2.!] 12. Движение чаевшл в ваваг б) Графики потенциальной энергии У У(ж) и У(г:) + ИУ(г) изображены на рис, 74. Видно, что цри Е > Г,„ [Л-до', = тига)бог добавка делает движение ин- ,' У финитным.
При значениях Е, близких к Гг„„ период колебаний неограниченно возрастает (как 1п(Гт - Е)'„см, зада- Е чу 1.4); поэтому нельзя рассчитывать, что в этом случае он определяется неболыпим числом членов ряда (5) задачи 1.10. Бели Рис. 74 же Е « ГГт, то поправка к периоду бТ = = бкЕ/18игР7 . ЗнАИ~(т в) бТ =, формула применима, если ,'Е~ >> ~5'„, = ЛАП ~Р < О) 2о)Е~в~~ъ'2 т=- / ( — — — )г)ж= 1и где е = — ~ Š— У(ж) ), ео = 1 — „, (ср, с решением задачи !.1 б).
2; ° „, 2Е й2. Движение частиц в полях 2.1. Для исследования движения частицы используем законы сохранения энергии и момента импульса; ;2 + Гг(~) = Е, (1) т~гг, '= М. (2) Согласно (2) траектория является плоской кривой. Введя в ее плоскости полярные координаты 1'рис. 75), получаем + ™ ж + у(з) --. Е. (3) ,„г; 117 о Рис. 75 Исключая эп (3) 22 с помощью (4), находим + У,~~(~) — -- Е. (5) 82 Ошветы и решения где Ге [г) гге .) 1ие2 2гиг Таким образом, радиальное движение движение в поле Г,ЕЕ(г). Для качественного исследования фики можно рассматривать как одномерное характера движения используем гра- 7 Луз гз 2шг Кое(г) =- — — „ при различных значениях М (рис. 76).
~ шен Уе„ а) б) Рнс. 76 Е - Н," и', - Егги ° ° ' тр.ш ° ир...,, = и' и нь ). и ° ° ° . н;ни,) = е., 2шо поло>кительно при Ме > 1 базгоз (рис. 76, а) и отрицательно при 12озпзз < Ы~ < 1бо7чпз (рис. 76,6); в обоих этих случаях Руеоо(гз) =сг ы<0. Если же ЛХ~ < 12а; т, то функция Уноо(г) монотонна (рис. 76, в). Рассмотрим подробнее случай а). Если Е > Г,», то частица, летящая из бесконечности, падает в центр поля.
При этом величина Д согласно (4), возрастает. Этих соображений достаточно для того, чтобы грубо изобразить траекторию частицы (рис. 77, а). На больших расстояниях, таких, что —. « — „главную роль в У(г) 7 а играет член --е„' н траектория мало отличаегся от гиперболы. (О виде траектории при г --~ 0 см. задачу 2.8.) з 2. Лоиокннио номпищ н полях б) Если энергия Е близка к (7,, то интервал значений г, близких к гы частица проходит очень медленно. Вращение же радиуса-некто- О ра продолжается своим чередом со скоростью ф = „так ч'ш частица может сделать много тг," а) оборотов вокруг центра, прежде чем пройдет Рис.
77 этот интервал (рис. 77, о). Если Е . — У „„, то частица в своем радиальном движении асимптотически приближается из бесконечности к точке и —" г1 (ср. с задачей !.3). Траектория же представляет собой спираль, приближающуюся к окружности радиуса г1 с цен~ром в О (рис. 78, кривая а). Если частица с такой энергией удаляется от центра в области г < гы то ее траектория также приближается к этой окружности, ио изнутри (рис. 78, кривая 6). 11аконец, при Š—.- (7и,„п возможно у Ь движение по окружности и = гн и Любое изменение величин Е или М переводит частицу на траекторию, удаляющуюся от этой окружности, т.
е. движение с и = г1 неустойчиво. Если 0 < Е < (/„,, то частица, летевшая из бесконечности, отражается от позенциального барьера ()ифф(г) и вновь удаляется на бесконечность. Примерный вид траекторий в этом случае показан на рис, 79 Рис. 78 (кривые а и о). Если энергия близка к У„„, то частица сделает мною оборотов вокруг центра, прежде чем радиальная скорость г изменит знак, Чем ближе энергия к нулю (при фиксированном ЛХ это соответствует увеличению прицельного параметра), тем менее искривлена траектория часпщы.
При Е < (7 возможно также падение в центр поля частицы, коюрая движется в области и < а. Траектория в этом случае изображена на рис. 80. При У ш < Е < 0 частица может также совершать радиальные колебания в области с < э < г( (рис. 81). Если энер|ня близка к нулю, то размах радиальных колебаний велик, период их тоже может стать большим. При энергии, близкой к У„,ь„траектория близка к окружности радиуса гз, причем угол поворота радиуса-вектора за пориод радиального колебания зависит от величин сь 9, 81 (сР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
