Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 20
Текст из файла (страница 20)
с задачей 2.31. б) Из свойств симметрии данного поля можно получить следующие интегралы движения: г,ь ед т г ре=еп, Ме=зге =те иь+ —,, Е= — (7 +г иг +4 ). с' Однако движение в этом «поле» есть свободное движение. Действительно, функция Лагранжа тог, ед ., 2 ' сн' отличается от функции Лагранжа свободной частицы только на поледд ную производную по времени функции,, (разумеется, в этом случае Ж вЂ” — гол А. =- 0). Замотнм, что в случае, когда )г сеть функция времени, р, н Л1, остаются интегралами движения. 4.17. а) х -;- х =- О. Такое же уравнение может быль получено из функции Лаграюка Е1(х, х) =- хг -- хг.
Как известно, сслн две функции Лагранжа отличаются на полную производную функции координат и времени, то они приводят к одинаковым уравнениям Лаграняеа. Обратное утвер>кдение неверно. б)г .охд иггх=О. 146 Он1веягы и решения [4. [В т(г' — гвг вш 0 — гВ ) + —, = О, дсг дг т(г О+ 2гг0-- г р в!пВсовВ) + —, = О, 2", ° ' 2 ° 2 д[[ дВ т(1 рв!и 0 —; 2гг1рв!и О+ 2г Ввгв!пусовВ) —, = О ,2,- ° 2, . ° ° ° 2,2 ' сН1 дсг легко привести к виду т(Ф), = (Р)„ где компоненты силы есть компоненты — ягас[Гг: д[Г 1 Иг' г'„= — —,, Ев = — —,—, дг' и дВ 1 дГс гв!пВ д1р Отсюда (ъ)„= Р— г1рз в1пг 0 — гВ~, (1)в = гВ+ 2г — грг совВефпВ, ~(9) .—.
г1ре4пВ В-26рыпВ ш 2гдрсовВ. д,12 3 (,) 1 ( с1 д д ') 4в [Н,. 2- ~2,, ~6,,21М МЬ) 4.19. а) Функция Лагранжа з .1 Х~' ВгйссС[й ы (Д1; 92 с[з) где з дхс дх1 Вгй-- '=Е— доз ддь приводит к уравнениям (х.1 =-х, сс =. у, хз =" з), т~увяс[ь+т ~ Г, всг)ьщ = — — (в — 1, 2, 3), (1) д[г' Я=1 /с, 1=1 дс1в где Г 2~ дЕ д„ду, ) 4.18. а) Уравнения Лагранжа для частицы в поле Гг в сферических координатах 147 э 4. е)яаанения г1амясения.
З'аконы странения б) Введя обозначение да(ж, 4) = 1, можем сохранить все выкладки и з формулы предыдущего пункта, лишь заменив 2, на 2„. т 1 Какой смысл имеют в уравнениях 11) члены, содержащие Гт ьа (1с = 1, 2, 3, 4), если д~ — декартовы координаты во вращающейся системс отсчета (см. задачу 4.8)? 4.20. Так как предложенная функция Лагранжа только слагаемым еу .
Ьт = — — дсовд отличается от функции Лагранжа свободной частицы, с то компоцетпы силы в сферической системе координат (см. задачу 4,18 а) имеют вид 1 деТ,1 едсо а111 0 'е=- г 00 — ст. д дрн едд 10г д' и дсйствительно совпадают с компонентами силы Лоренца — АМ'] = — 1иг1 с сгз Поскольку —, = О интегралом движения является энергия Е = гдТ аша д1 2 Разберемся, каким образом возникает интеграл двиясения ед г ,Т = т гч~ — — ' —,.
с г' Функция Лагранжа не изменяется при поворотах вокруг оси з, поэтому интегралом движения является ре .=- тпт-фа11т 0 — — сои 0 =.,У,. з,з сд с Другие же повороты системы приводят к изменению функции Лагранжа на полную производную функции координат по времени, которая может быть отброшена'. Поэтому интегралом движения является и проекция,У, на любую другую ось, а значит, и вектор Л.
'Например, лри лоаороте аокруг оси к на малый угол яо к В лобаааяется вд ед я, = Оа —, — 1гт Р соа ся). гЫ 148 14.21 Ояиеты и решения Действие, соответствующее данной функции Лагранжа, не изменяется при преобразовании подобия. Поэтому интегралом движения является р„т — 2ЕГ = кптт — 2 Е1 (ср. с задачей 4.13 б). 4.21. Уравнения движения —.2'1= рл- рн.
Будем считать, что источник напряжения представляет собой конденсатор очень большой емкости Сс, а заряд его в момент, когда дз .— —. О, есть Я. ЭнерЯ - чз)' гия системы, включающей источник и индуктивность, Ео = 2Со т —,цш Смещая начало отсчета энергии и рассматривая предел Со -и оо, Ы г 2 а Ц7Со = Г, получаем С)г себя Е = Ес — 2С = ~~из+ э 2Со Именно к такому значению энергии приводит предложенная функция Лагранжа. Подобно этому энергия частицы гп в однородном поле силы --Г(г) г К такой же функции Лагранжа можно прийти от функции Лагранжа электромагнитного поля и взаимодействия поля с зарядами (см. 13), Я 27, 28): Е = — (й' — ЗЙ' ) е)Г т — Аз дà — / нгр Л' 8к,/' су (в гауссовой системе единиц). Вообще говоря, электромагнитное поле есть система с бесконечным числом степеней свободы. Но поля в конденсаторе и в соленоиде определяются зарядом сг и током дп Используя уравнения сго1М' — -- 4к1, с)1ч8 =- 4кр 149 4.21] 44.
Уравнения ави.жвния. З'аконы сшранения (и учитывая, что поля сосредоточены в ограниченном обьеме), получаем ~рр Л ' .— — — / Зе с) 1я Ю еЛ~ 1 47à — — / ей ч (РВ) 1'й — — / 8 ягаг) ер Ле;;.. — / Ю е)й, 4 / ' 4/ --4я/ и аналогично с ~АЗЛ / -'ег так что — — /'1,Кз —. Ф) е1г'. Поэтому функция Лагранжа может быть выражена через энергии электрического поля в конденсаторе — ~' 8 Л' —.=. — и магнитного — в индуктив- 1 2 94 8я 2С ности — / Жз Л' = — .'Х Д (см. 13), 4 2.32).
ПРн наличии внешнего полЯ М „,, создаваемопв токами Зе, следУет заменить в (1) М', А, 3 на йеее + ае е, А + Ае, 3 + Зе. Добавка к фУнкции Лагранжа (1) с учетом уравнения с го1.яс, = 4яЗ, легко приводится к виду — /,яв Л'+ — / А,З Л'. 1 1 з, 1 8„/' е с/ Отбрасывая слагаемые, зависящие лишь от внешнего поля, и учитывая, что для тонкого провода з Л' = 4з Л, где Л вЂ” элемент длины провода, получаем ге~ АУЛ = г е~ АеЛ= (, / го1АеееЯ = е. 1е ы" ее)В. При наличии внешнего электрического поля йе 1или сторонних полей) по- лучаем реРЛ~ "",~ Чае ае а 19а и Р „— заРЯд и потенциал во внепшем поле а-го пРоводника).
Варьирование сз з представляет собой, таким образом, произвольное варьирование зарядов и токов, сопровождаемое соответствующим ему варьированием потенциалов. )1егко видеть, что при таком варьировании должен быть справедлив принцип наименьшего действия. Ответи и решения 4.22. а) Е = — —. + Ойг с1з)' Ыяс Чгг 2 2С б)Ь= Уй ч 2 2С' 1 .г 1 .г Чс Чг' (Ч' ' с1г) в) ь — 2.УзсЛ + 2Угсзг 2С [4.22 4.23. а) Ь .—.
+ + спф сов срв 1гфг .уйг дг зптг -У(е)с!' Рхг 9' б)Е=, + ',' — ++пздх — —. 2 2 2 2С' 4.24. Пусть иг — угол поворота рамки вокруг оси АВ, отсчитываемый от направления магнитного поля, с) — ток в рамке (для него положительным считается направление от А к ьз). Функция Лагранжа системы Ь = — та р —,' —.Ус) -'-,К'а оа(пср. 1 г г 1 2 2 Интегралы движения — энергия Е = — щсс"срг, — Ус)г г.г 1с .г 2 ' 2 (1) и импульс, сопряженный циклической координате с1 и имеющий смысл полного магештного потока через рамку, дЛ вЂ”., =.Ус)+ Уи-вщр = Фо. сЦ Поэтому ток в рамке однозначно определяется се положением о = (Фо —,его гйпср)/.У. Подставляя это значение с) в (1), получаем Е=.
— ща Ф +Ся44(р) Ума('р) -- (Фс —.его в1пср) /2У. (2) Таким образом, задача о движении системы сводится к одномерной. Рассмотрим подробнее случай О ( Фс < М'аг. График (гилас(ср) для этого случая приведен на рис. 114. Видно, что при Е > П . —.. (Фо + +,ес."аг)г,с2.У' движение рамки представляет собой вращение, причем Ф является периодической функцией времени с периодом е сг 151 44. йравнения движения. 'Законы еагранения Зя и 2 Рис.
114 При Г „> Е > (Фо — Жаз)з,г2.х = Г рамка совершает периодические Фо — хИ2Е колебания в интервале углов хг « я —, где,рг — вггын причем при Е, ьг,„период движения возрастает до бесконечности (см. задачу 1.5). При 0 < Е < Г„, возможны колебания либо в интервале 1о1 < р < рз, либо в интервале я — ря < х < я — еаы где Ф + хг~ЯЯ ;рз =.= агсгйп яг а Как изменится по сравнению с описанным характер движения рамки, если она обладает малым сопротивлением? Е* = т(х + я~) — тдр+ Л(а — ахз), 2 где Л вЂ” зависящий от времени множитель Лагранжа.
Уравнения движения тх =- — 2Лах, тй — тд=Л (1) (2) вместе с уравнением связи = ах- полностью определяют движение частицы. В правой стороне уравнений (1), (2) стоят компоненты силы реакции по соответствующим осям й„= — 2Лах и й, = Л, Воспользовавшись уравнением связи, легко выразить их через координату и скорость частицы: (2аха — тд) т й = — 2ахй„й- = т+ 4азха 4.25. а) Уравнения движения системы можно получить из функции Лагранжа с добавкой, учитывающей связь (см. (4), З 2.4) 152 14.2б Ояиеты и решения б) тг — гпу соя,р -- тгрг~ = Л, тгз~р+ 2тгРф — , 'тдгз1пр = 0 г =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
