Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Манне нояебання сиссвен с одной сснененыо свободы 171 При Л « оэс основной вклад в интеграл (1) дает окрестность вблизи собственной частоты осцнллятора ы = шс. Поэтому 0 При этом сомножителеь стоящий в квадратных скобках, легко вычис~2кы(ыо) ~ ляется н оказывается не зависящим от Л, А = ' " (ср. с форму2гв лой (22,12) из (Ц).
5.21. Учитывая, что отклонение осциллятора х есть малая величина первого порядка по Е, получим ЬЕ=- / Е(х, 1)зйс(1- /,(«)хсИ„ ЛР—.. ~ Е(, 1) 11 = ~ [):«) - («) 1 д1. Интегрируя второе слагаемое по частям, найдем ЬР = ~,(«) с)1 —, (' В частности, если / Я) ~Н =- О, то ЬŠ— — (с2аР.
Поясним условие малости х на примере действия на осциллятор группы волн )(г) =. )е ~" ~ сов уй Малым параметром в разложении Г(х, б) является х/Л, где Л =- 2кИ/~ — характерная длина волны, т. е. х 2.У 2ип!, со 172 (6.1 Ожветн и решения й б. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 6.1.
Пусть х, -- опсюнение 1-й частицы от положения равновесия (1 = 1, 2). Функции Лагранзка системы В = $ (хз+ тз) - ф з + (х — хз)'). Уравнсния движения тйз + 1г(2хз — хз) = О, тхг + й(хз — хз) = О подстановкой х, =. А, соа(юг + р) сводятся к системе алгебраических уравнений (--тшз -г 2й)А1 —. аАз = О, --ЙАз р (--ш Р -1)Аз .—... О. (2) Эта система имеет нетривиальное решенис, если ее определитель равен нулю; ( т, 2+2ь)( и, з+/г) /з О (3) Отсюда получаем собственные частоты ОТЛй 2 Из двух уравнений (2) в силу (3) лишь одно независимо.
Подставляя значения шз и шя в (2), получим соогношения между амплитудами А1=- Ая=:-А дляш =шм 2 зУб+1 Аз = — Аз = В для ш = и . 2 зрб — 1 Таким образом, свободные колебания системы суть хз .= Асов(шзг-1- Р1) Л В сов(шзг Р ~Оз), , б-,1 Д 1 (4) хя =, Л соз(шп + рз) В сов(| /21 + ч~я) 2 2 Постоянные Л, В, рь рз определяются начальными условиями. 6.2) 6 б. Чалые колебания систеи с несколькими сыеоеняии саобооы 173 Свободные колебания (4) полностью описывают движение системы. Однако при решении многих задач удобнее пользоваться нормальными координатами, например в задачах с вынуждающей силой (см.
задачи 6.2 б и 6.24), при построении теории возмущений (см. задачу 6.34), при переходе к квантовой механикс. Это связано с тем, *по нормальные координаты ап определенные равенствами уг = оз+ от, (5) тГ5+1 Л-1 2 2 приводят функцию Лагранжа (1) к сумме квадратов Е = шаг — шгдг) + па~я — и~зцз), 5 + о ° з ,2 3 5 о .з я 2 4 4 (6) а уравнения движения для с71 и бз разделяются: ц,, — 'ил,,д, = О. з Подобным жс образом задача о движении двух взаимодействующих тел сводится к задачам о движении центра инерции и о движении частицы с приведенной массой в заданном силовом поле. Отметим, наконец, что более общий случай системы Х частиц с одной точкой полвеса рассмотрен в задаче 7.2.
6.2. Функция Лаграюка системы га сйз+ з) 1 ~~ ~ ))з ~ )з~ 2 2 Если отбросить член — —,Еа-1с), представляющий собой полную производ- 2 ную по времени, то Е моокно переписать в виде ь =- ьо 1- сто: ~3Е =- агйаИ), Г,1 йа(г) где Ьо — функция Ла|ранжа системы с неподвн;кной точкой подвеса (сьг. формулу (1) из предыдущей задачи). Такая запись удобнее тем, что сразу позволяет выписать «вектор» внешней силы 174 (6.2 Ответы и решения а) Уравнения движения тхз+ й(2хз — хз) — -- )гасозу?, (2) ШХ2 н(Х2 Х1) = О х1 = А сов ~1, х2 = В сов'уб приводится к линейной неоднородной системе двух уравнений относительно А и В. Отсюда подстановкой' а?с( — пгуз + й) 2(, 2 , 2)( 2 „ 2)' айя тя( )2 - - шй) ( )2 .— шз) ' го, В =- 1 1(Д1 ° г)1) т х 2(т?2 г)2) — .2 2 2 ? 1 2 = т(е)1 2 — игз заз 2) + г?1 2Иа(1) (ср.
с формулой (б) предыдущей задачи). 'Общее решение системы )2) является суперпозилией свободных и вынухглснных колебаний. При наличии даже машго трения свободные колебания загухашт, поэтому после большого промежутка времени решенно системы 12) не зависит от начальных условий я предсташшет собой вынуждешгые колебания (3). Зж?бй где иг; 2 =- — — нормадьныс часюты 2 системы. Зависимость амплитуд А н В от частоты у )А) изображена на рис. 122, а. При переходе через точки резонанса "1 = ш1,2 амплитуды А н В менякп знак, что отвечает изменению фазы колебаний иа л.
При часютс -„.=- з г*к)гп колебания верхней массы Х полностью демпфируются: А .—. О. б) На рис. 122,б изобраясен примерный вид зависимости ~А от частоты вынуждающей си- рие. 122 лы при наличии трения. На каких частотах З будут дсмпфироваться колебания верхней частицы, если к нижней подвесить еще одну частицу на такой же пружинке'? б) Вводя нормальные координаты г?1 2 (см. формулу (5) из предыдущей задачи), представим функцию Лагранжа (1) в виде 6.2) 6 б.
Маль1е колебания систем с нескшвкими стененями свободы 175 Таким образом, задача сводится к отысканию установившихся колебаний двух независимых оспилляторов, на каждый из которых действует пилообразная сила (см. задачу 5.19 а). Разумеется, и в пункте а) можно было решать задачу, переходя к нормальным координатам (ср. с задачей 6.24). 6.3 а.
Вводим систему координат с началом в точке подвеса и осью у, направленной по вертикали вниз. В качестве обобщенных координат выберем координаты х1 и тг точек Л и В. В выражение для потенциальной энергии Н = — тдгд1 — гвдуг подставляем у1 (х1) и уг(х1, хг) с точностью до вюрого порядка по х1, 211: г 412 хг 41 ' Х1 (Х2 ге1) уг =уз-и 1 - (хг — т1) -31 — —— 41 21 а в выражение для кинетической энергии Т .—.- — "'(т,, б у, + хг б уг) под- ставляем у1 и дг с ючностью до первого порялка: Х1Х1 . (Хг — Х1)(а2 — Хи1) д,= — =б, у,=у,— 21 После этого функция Лагранжа 1П Т..=.
—,(х1 1 тг) — —,х1 — — (гсг — х1):. бтд1 2 21 21 совпадает с функцией Лагранжа системы, рассмотренной в задаче 6.1, если принять й =- тд1'1 и отбросить несущественную постоянную бтпд1. Поэтому найденная в задаче 6.1 зависимость х1(1) и хг(1) справедлива и для двойного маятника. Если точка подвеса маятника двюкется по закону хи = п(1) « 1, то, как легко убедиться, мы возвращаемся к функции Лагранжа, рассмотренной в задаче 6.2. 6.36.
Пусть д и 1о — углы отклонения верхней и нижней частицы от вертикали. Нормальные колебания таковы: ф = 2р с частотой Х2с4д/51 и ы = — 2вг с частотой,„24д,231. 176 Отееяы н Решения 6.4. Закон движения х =- асов(агà — , 'Зе), у =- Ьсов(езе —; ф). Постоянные а, Ь, у, ф определяются начальными условиями. Траектория расположена внутри прямоугольника (рис. 123): и<т<а, -Ь<у<Ь. Вообще говоря, траектория кзаполня- ети всеь прямоугольник, Точнее, если шг Ь и шя несоизмеримы, она проходит как угод- но близко к любой точке этого прямоугольРис.
123 ника. Движение точки в этом случае не является периодическим 1хотя движение ее проекций на оси координат периодическое). Вели жс шг и шя соизмеримы 11ыг = пьаз, где 1 н и -- целые числа), то траектория представляет собой замкнутую кривую, называемую фигурой Лиссажу. Движение в этом случае перяодическос, период равен 2кгз(нл. 6.5. а) Для данной системы переход к нормальным координатам есть просто поворот в плоскости (х, у) 1рис. 124): х = Ог совэе — Яя а1п~р, у = Я~ вйз х , 'Яя совэе. (1) Действительно, кинетическая энергия при повороте нс меняет своего нида, а в потенциальной энергии коэффициент при Яы Оз, равный Рис. ! 24 — —, (нэг — ыз) гйп 2не — а гоя 2эе, 1 2 2 можно обратить в нуль, если определить параметр а из условия и)я — ш~з я 2 сск 2эе = 2а Зависимость х от шз показана на рис. 125; ширина области частот, в которой происходит переход от х = 0 к х = и,~2 порядка ау щэ, 6,51 б 6.
Милые колебания систем с нескояакити стеиенини свободы 177 При слабой связи, о « 'ео,- '— отв ~ нормальные колебания локализованы, т. е. при юз < шз 2 оказтивается:р = О и х = ест, р = сиз а при шт > пяя получаем яд — и и х — — г за, 2 у=От 4 При ~то~~ — ео;~ << о нормальные колебания перестают быть локализованными: ~р — —, тт х = — 1Ят — Яв), У = — Яз Я- сэв) 1см.
[1), 1 хГ2 ' чт2 р 23, задача 1). Нормальные частоты т, Рис. 125 п1л =-',Ы+-1 Чй — ЫЛ+а.ч (2) 'Следуя Манделыптаму 171, нарпиаяьной чаетотон иы называем частоту колебаний системы, которая поаучается из исходной при х ы О 1ияи при к .: — 01. лежат вне интервала парциальных частот', т.е. Йт < т и Йз > юз 1для определенности считаем юз < ю ).
Соотношения подобного рода для систем со многими степенями свободы известны под названием итеорем Рэлея» (см. 115) и задачу 6.23). Зависимость Йт з ототт показана на рис. 126. Видно, что отличие нормальных частот 117 з от й,я йа я парциальных ют я 1равно как и нормальных координат Щ, таза от координат х, у) при малых о несущественно всюду, за исключением области вырождения ~одз — одз, < а. При достаточно ма- х й, ЛЫХ итт Одиа ИЗ ПОрМаЛЬНЫХ Чаетат Стаисннтея мнимой — система перестает быть устойчивой, оз, В координатах Щ и бта закон движения и воз траектория такие же, как в предыдущей задаче.
Рис. 126 б) Нормальные координаты можно получить в этом случае из результатов предыдущей задачи простой заменой юз з — ч шт з, причем нормальные частоты данной задачи обратны нормальным частотам Йз з предыдущей задачи. Почемуу Можно ли обнаружить факт независимости нормальных частот от знака а 1или ~3) из вида функции Лагранжа, не находя Йт з в явном вцлеу ?6.6 Отеенсьс и?сенсенич б.б. а) Функция Лагранжа системы 1см. задачу 4.22) 1 2, с 2 1 ~с?1 с?2 сс?1+с?2) е' = — 1-ь1с)1 —, .егЧ2) — — [ —, — —, + 2 ' 2~С1 Сг С где с?1 и дг — заряды на верхних пластинах конденсаторов С1 и Сг. ВвеДЯ НОВЫЕ ПЕРЕМЕННЫС тСсЗ~С?1 = .Г.
И тгсЗ~С?г = Р, МЫ ПОЛУЧИМ ФУНКЦИЮ Лагранжа задачи б.5 а с параметрами б) Заменой переменных с?1 = тсеС1х, с?2 = ссгС р можно функцию Лагранжа данной системы свести к функции Лагранжа задачи 6.5 б с параметрами тс 2 = гс.У -:- Жг г)С1 г,,'3 = -УтсгСгС2. Могут ли данные системы стать неустойчивыми'? б.7. Пусть к1 и жг -- отююнения частиц т1 и тг от положения равновесия. Сделав замену lтгж1 = х и тсстггтг = у, получим для системы функцию Лагранжа, рассмотренную в задаче б.5 а. В различных предельных случаях ответ может быть получен без рещения уравнений. Например, если все 1с — — й и сп1 « тг, то возможно нормальное колебание очень низкой частоты П1 =, х1 = гжг 1чайй, 1 1 2т,' 2'" стица т1 явссяегся как бы элементом пружинки, а частица тг колеблется между пружинками жесткости — х слева и 1- справа) и очень высокой ча- 1 2 стоты Пг — — — (когда частила тг почти покоится).
Амплитуду колебаний 2 2Й тс второй частицы можно нанти, рассматривая ее двиясение как вынужденное под действием вынуждающей силы ?ст1 высокой частоты (см. 11), формула 122.4)): тг = — ' ж1, 2исс Подобным же образом интересно рассмотреть случаи а) т,1 =- п12,?с1 = Й2 « йзс б) все жесткости различные, но одного порядка, а тс « ссгб в) ?сг )> ?с1 =- йз, а массы т1 и тг одного порядка. 6.10) 66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
