Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Сила реакции направлена вдоль г и равна Л .— —. - ту сов.р — т1ф 4.26 1' = — (г Зе + г' ) —, тугсоь р+ Л(Зе — Й1); Л =-- 2тгг1) + гпдтзшЫ вЂ” обобщенная сила, отвечающего координате р 1момент силы). 4.27. а) Š—.. — —,' —, ~ ~у,В,.
д1, д1 ™ е —.1 б) Закон преобразования левых частей уравнений дан>кения приведен в задаче 4.3: е1 д1 д1, х ддь 1е1 дГ, д1,Л 11 дц, дскб, х д6,1 й дч~ д1 1' Таким же должен быть и закон преобразования правых частей: Ля=~ "11ь. ~г Если в закон преобразования координат нс входит явно время, то скорости преобразуются по закону обратному 11). Иначе говоря, компоненты силы Щ образуют ковариантный вектор, в то время как компоненты скорости — контравариантный вектор в е-мерном пространстве (см. [2), З 83). Таким образом, зная силы реакции связей и трения в декартовых координатах, можно определить силы й, в любых обобщенных координатах.
В частности, если силы трения выражаются через диссипативную функцию 11, =- -- —,, то преобразование Г сводится к замене переменных. дГ дуг 153 З 4. Уравнения Овижения. Законы сохранения 4,29) 4.28. Указанные в условии уравнения получаем, исключая Лд из уравнений бди дТ,ЛА д 1 дс дс, с1 дЕ дЕ = — ~~','Линда, н= г+1, ..., а, и учитывая, что дЕ дЕ х дЕй — +~ .. Вп дд„дф, ~-; дфв дг дг ч' х' дг дбд Ят. доа ддч ' ~~ ~нч дссд дон 4.29. а) Учитывая, что он входит в Тн и А„.ем получаем уравнения Лагранжа с1 дЕ„дЕ дТ дТн-,х Ж дд„дд„д(сад ) д(Ь ) При а е 0 1 дЕ„ " дс)„ дУ 1 д2а д.У д(дс1/Я)' о дци дд ' дт а.их 1 д д.ж дЕ„ д(Ьс2„) д(Ьд„хх) д д(дс2/дсе) так что уравнения (1)переходят в уравнение д д.У, д д.У дх с)2 д(дст/Я) д': д(дЧ/дж) до (2) Таким образом, уравнения движения системы с неголономными связями отнюдь не совпадают с уравнениями Лагранжа, хотя уравнения связи и позволяют исключить из функции Лагранжа некоторые координаты и скорости.
154 [4.30 Оаиеты и реимния Здесь производные д~дс и д/дт относятся к функции о(ж, 1) и ее производным. Система У обыкновенных дифференциальных уравнений (1) переходит в одно уравнение в частных производных (2). Для непрерывной системы переменная т играет роль кномерая точки. Мы не будем останавливаться па физических следствиях уравнения (2), так как изучение систем с бесконечным числом степеней свободы является предметом не механики, а теории поля (см.
[4], гл. 11; [2], 4 32). 4.30. Функция Лагранжа Š— —. ""," — 11(г) -~ еА(г)ч, где А(г)— векторный потенциал магнитного поля, аг =- гос А (разумеется, А(г) всегда можно выбрать в виде однородной функции координат степени и+ 1). Если ь 1- — ' при преобразовании подобия г а нг, 1 — а ы з1, векторный потенциал преобразуется так же, как и скорость, т. е. если и =- —, то Š— а оЯТ. Поэтому 2' уравнения движения остаются неизменными при таком преобразовании и выполняется принцип механического подобия (см. [1], ь 10).
Из приведенного вывода ясно, что принцип механического подобия справедлив также для магнитного поля, постоянного н в пространстве, если й — — 3 только при преобразовании подобия его величина изменяется в ы'- раз (сма например, задачи 2.30 — 2.33, 6.36). са 4.31. Кинетическая энергия системы Т = 2 , ', поэтому а х дТ )~с 2Т = га, ча =- — (га тачага) ~~' гагпаб дъ й(~ При усреднении за большой промежуток времени слагаемое таз ага, представляющее собой полную производную по времени от (11 озраниченной функции, обратится в нуль (см, [1], я 1О). Подставляя во втод11 е, рое слагаемое т 0, = —, —, — '[ч,.аг] и усредняя по времени, получаем дга (2Т 1 Ж~ —,[г «;) = й(П).
155 4,321 44. яравнения Двинсения. Законы сохранения Здесь скобки ( ) означают усреднение по времени. В частности, если магнитное поле М' однородно, то — .=- †, то е, е га аа 2(т) 4- йж(М) .—. к(Ц, где М = 2, пг,',т„ч,) — момент импульса системы.
4.32. а) Запишем — в виде двух слагаемых дА аз — = [пг(х1хгхз + хгх хз + хгтгхз) — хг )Згз — хгП1з — хзПз 1— с~А сй — (хчУгз + х ~1з + хзУгг). (1) Используя уравнения движения тх1 = Угг — , 'Ггз, пгхг = Ггг + ~гз, гнхз = Рз1+ ~зг, 12) дГ;ь 2дг ~2Й ~ы дх, (х, — хи)з и введя относительные расстояния — хг — хз =.- у хе — хз .— запишем второе слагаемое из (1) в виде Собирая сдаваемые с одинаковыми степенями, перепишем 14) 2дг(х — р) 1 х~ + хд -, уг х -; у ~ гп 3 х'д з.г г з,„з Подставляя сюда з .=. а:+ у, легко убедиться, что это выражение обращается в нуль. 1!срвое слагаемое из (1) обращается в нуль для произвольных сил.
Чтобы показать это, достаточно использовать уравнения движения в форме (2) н подставить гг — сх хи ) сх )р г д(х, — хь) 156 (4.ЗЗ Оягеетм и реигения Укажем, наконец, что в данном поле преобразование подобия не меняет вида действия, и потому кроме трех указанных есть еше и четвертый интеграл движения (см. задачу 4.13 б) ш(жгтг — , 'ж хз — , 'кзлз) — 2ЕЕ 4.33.
При сближении любой пары частиц энергия их взаимодействия неограниченно возрастает, поэтому частицы пс могут пройти водна сквозь другуюв и порядок их расположения на прямой сохраняется. При столкновении двух частиц равной массы, но с произвольной энергией взаимодействия (обеспечивающей лишь непроницаемость частиц) эти частицы просто обмениваются скоростями. (Это следует из законов сохранснггя энергии и импульса.) Если столкновения трех частиц происходят поочередно, так что во время сближения двух частиц третья находится далеко от них, то будет происходить просто обмен скоростями, причем соударения закончатся, когда впереди будет находиться самая быстрая, а позади — самая медленная из частиц, т. е. в этом случае Ог = НЗ., Оз = НШ НЗ вЂ” — Ш В общем же случае, когда сближаются все 'гри частицы одновременно, величины скоростей отнюдь не будут сохраняться.
Тем удивитольнее, что для указанных в предыдущей задаче снл сохраняется ответ (!). Это можно показать, используя все три интеграла движения: Р, Е, А. Учитывая, что при Г -. ~ж функции (р,ь "-г О, и сравнивая Р, Е, Л при 1 — +ос и при 1 — 1ю, получим три уравнения; ! l, ! Ог + Оз - НЗ В1 -' Вг -'е НЗ, (,)2 + (о!)2 + (рз)' = ,', †: 4 + 2. (2) ! г 111п2оз = о1н2нз. Решая эту систему относительно о,', мы по получим, вообще говоря, шесть различных решений. Однако все эти решения можно уг'адать.
Легко проверить, что решение (1) удовлетворяет системе (2). Далее, так как уравнения (2), очевидно, симметричны относительно всех шести возможных перестановок частиц, то ясно, что остальные корни системы (2) могут быть получены простыми перестановками из (1). После этого нетрудно убедиться, что только ответ (1) может осушествиться при г "е +со, ибо любой другой вариант предполагает (в силу указанных неравенств ез > нз > ог) возможность дальнейших столкновении частиц. 5.2) В 5. Мсмые колебания сосенки с адно(( сн(ененьы свободы 157 й 5. Малые колебания систем с одной степенью свободы (1.
Й '= „' ((1 — ( — ); ' и'(н( у у Р Е (' Зя но д Х1'(ЗХ4) 1 б) и( = — хо) ), где амплитуда хо определена равенством ),г11Х4)) ' 2 3 3 5.2. Функция Лагранжа системы гсм. [1], ф 5, зада (а 4) Х = та~~О~(1+ 2вш О) +йзвш 0 — 2йосов01, где введено обозначение йоз -— — 2д,((ь При й > йо потенциальная энергия системы П(1 '0) .—. — та, Я вшз О 1- 2й~~ сов О) имеет минимум г(ри сов Оо = йо((й-'.
Разлш'аем У(0) вблизи Оо, а в кинети- ческой энергии полагаем 1+ 2 вш Π—... 1+ 2 вш Оо — 3 — 2~ — ) ~, й 2тав' тогда А = -ЗХх- — -йх, .з 1 в 2 2 где й = Г'10о), х = Π— Оо. Отсюда й — й' — 1й > 1)о) ЗХ Зй~ 2йое При й» йо частота колебаний пропорциональна угловой скорости вращения (и = — й, а Оо = —. В случае й — йо малые колебания совершаются л ье3 ' 2' с частотой и( — О, а Оо ( О.
Если й ( йо, то можно рассматривать колебания вблизи Оо = О при упругих соударениях боковых масс соз = йо — йз 1й < йо) Оягеешы и решения При й = йо потенциальная энергия 1/ имеет минимум при до = О и представнма вблизи него в виде [/ =- пга й„"( — 2+ — ! дй ° 1!' т. е. колебания существенно нелинейны. Оставляя и в кинетической энергии члены до четвертого порядка, получим а 2.г )' 1/Т+ 20зе)0 /,/У~в' -е~' Здесь О, — амплитуда колебаний (ср. [1), () 11, задача 2 а). 5.3.
Обозначим в = (д~!ВтдВг)~/э. При в < 1 положение устойчивого равновесия иго определяется усло*'ро, з Зд вием в1п — = в, ш- = — '(1 — в ). 2 '' В При в ) 1 положение устойчивого равновесия — точка Л, а шг =-. йй(з ц В т = го + а сов ш(ф — Го), Ф = ро — 11(1 — со) --,,;, в[п[ш(ф — во)): 2ай где го гго а, фо — константы интегрирования (а « го) й /по -'" "" =ПЛ '- )/ /и "о 5.5. В точке 0 = до эффективная потенциальная энергия 1/ ~ф(0) = Л/г — — тд1 сов 0 (см. [1), 2 14, задача 1) имеет минимум, поэтому 2т1г Ма 0 Ь",' (до) = О. Отсгода находим Л4 = т' 1' 9 вцг' до/ сов до, а частота малых колебаний фф( о) 01+Заев д (0 ) = ва(г У сов до 5,7] З 5.
Малые колебания сосенки с одной сснененью свободы 159 Для применимости этого расчета необходимо, чтобы — ы рр(0о)(л30) » — ы,рр(0ойса0): где ла0 — амплитуда колебаний. Если Ос 1, это условие выполняется при ла0 « 1. Однако при 0о « 1 оказывается Г"'р(0о):х — и колебания по 0 0о можно рассматривать как малые, только если Ь0 « 0с.
Тем не менее в этом случае полученный результат ~о —.—. 2хллдД справедлив и для ла0 0о, когда колебания по 0 перестают быть гармоническими. Действительно, по осям х и л в этом случае происходят малые гармонические колебания с частотой, УдД, т. е. маятник движется по эллипсу, совершая за один оборот два колебания по углу 0 (см. (1), р 23, задача 3).
5.6. Эффективная потенциальная энергия для радиальных колебаний молекулы ~'~рр(') =- 2щщо(г — го) + 1 з з Мз 2тгз где г — расстояние между атомами, а щ — приведенная масса. Добавление второго члена, предполагаемого малой поправкой, приводит к малому смещению положения равновесия Лл'з бго —-- г ггз' о' о Изменение частоты определим, разлагая Й1,рр(г) в ряд вблизи точки го —, Ьто. 1 з Ы' ЗЛХз з 1~,рр(г) = †~гн(г — го — Й о) + + (г — го — бго) . 2гпгоз 2нзго Отсюда поправка к частоте б 2тзилого~ 2ило ' где Й = М~гигбз — средняя скорость вращения молекулы. 5.7. а) Смещение из положения равновесия , хо . 2 хо х =- хо сов щз -, '— вщюг =- .то + —, соа(щс; со), 3 20 хо а~хо ' 1бО Ояиеты и решения б) Пусть натяжение одной пружинки 1. Для гаалых смещений ~д « зД~ф, колебания гармонические у = Асов(шт —;;р), шз = 21",!т1.
При 1 = 81 частота колебаний та жс, что и в пункте а). Если пружинки не натянуты (1 = О), колебания нелинейны, возвращающая сила Г = — )едз1 1Я; частота (см. задачу 5.1 б) (д -- амплитуда колебании), Если частица может двигаться в плоскости хд, то ее движение при 1' ~ О и малых смещениях представляет собой гармонические колебания вдоль осей х и у с частотами ш"- .=- 2)е1'т и шз = 21/т1 соответственно (сьь задачу 63).
5.8. Пусть у — координата частицы, отсчитанная от точки верхнего подвеса. Функция Лагранжа системы .я Ь = — И(у — Ц вЂ”, ~ду = — 81 д — 1 — — ) + с~лв1 2 ' 2 1, 2)с) 5.9. Угол отклонения маятника от вертикали р = сов й1.. з « 1 ай- ~ айз — д — 11)з (см. также задачу 8.3). Возможны также колебания маятника тора р =. Й1 -:, вщ Й1, Йя »вЂ” вблизи направления радиуса-век- 5.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
