Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Полная скорость ш = — 48н в год. Паблюдаемая величина Дм„= — 50, 2н в год [см. [24], гл. 2). Таким образом, земная ось вращается вокруг оси Хз с периодом около 2б тысяч лет в направлении, противоположном вращению Земли вокруг Солнца (так называемое предварение равноденствий). 9.16.
ЛА + [ — — — ) ЛХз ЛХз = Ж, [Хз 1) ЛХ, + [ — — — ) ЛХ,ЛХ, —.. Л,, /1 1т 1,) Л Хз + [ — —. — ) ЛХ~ ЛХз = Хт з /1 11 1~ Хз при 1~ = 1з ЛХ~ = Всея[и/ге р). ЛХз.=- Вв[п[ше-> р), ЛХз = соцв1, ы = [ — — — ) ЛХз (см, [1), 9 Зб, а также ср. с задачей 10.20). /1 11 Хз Хе 9.!8] 99. Движение твердого тела. Неинерчиачьные системы отсчета 267 9.17. Рассмотрим двивкение вокруг оси, близкой к оси инерции хы Из уравнении Эйлера (см. 11], формула (Зб.5)) й,+ ' — Йзйз=б 1з-1, 1с получаем Й~ = сопвФ с точностью до членов, пропорциональных Йз,з/Йз « 1.
Два других уравнения при этом условии становятся линейными относительно Йз и Йз. Предполагая Й зосев', получаем для в уравнение (1, — 1;)(1в — 1;) „, (2) 9Л8. Движение шара определяется уравнениями пзФ = снн Ч- Г, 1ог = 1а1), ч;; 1соа) = О, (2) где т — масса шара, 1 — — =ша — его момент инерции, н — радиус пира, 2 3 5 проведенный в точку его касания с цилиндром, К вЂ” сила, приложенная к шару в этой точке (сумма сил реакции и трения), т — скорость и иэ — угловая скорость шара, Удобно воспользоваться цилиндрическими координатами с осью ",на- правленной по оси цилиндра. При этом необходимо учитывать, что проек- ция скорости изменения любого вектора А на подвижные оси определяется формулами (А) =А +)УА), =А +9ЗАс, (А)с =- А„.~- крА)с = ˄†.рАы При 1 < 1з < 1з или 1з < 1з < 1з уравнение (2) имеет действительные корни, что, согласно (1), соответствует неустойчивости вращения относительно оси хм Если же момент инерции 1~ является наиболыпим или наименьшим, то уравнение (2) имеет мнимые корни, т.
е. изменение Й и Йз имеет хараюер осцилляций и врашение вокруг оси хз устойчиво. (9. 19 Оееетм и решения (г = 6 — а, р, з — координаты центра шара, ~р = и„/г). Из уравнений тп„= Д„, 1ш, = аДе, и„+ аеее = О получаем и, = сопв1, ше = сопят, 7: = О. Из уравнений тп,= — тд —,1,, с,— они=О, 1(ие + р ~„) — — — а1.„1(ш„— фиэ, ) —... О следует (1-, таз)ш, й 1,ьэш, = О, откуда ше = С сов(И, -~- о), й =,,е = 1 .
(2% ~~ 1+ тау 'е' 7 — + ~( — С яп(Ж ч- о), о9 Г7 2апе С - = хо — а — яп(Ж; о). й Таким образом, шар совершает гармонические колебания по высоте, и в такт этим колебаниям изменяется радиальная компонента угловой скорости. 9Л9. а) В качестве обобщенных координат выбираем координаты Х, У центра и эйлеровы углы р, О, ф ([1), 9 35). Ось е вертикальна, подвижная ось хз направлена по оси диска. Линия пересечения плоскости диска с плоскостью ХУ (линия узлов) составляет угол р с осью Х.
Функция Лагранжа 1. = — (Х + Уз + а Отсов О) + — 1з(О'+;рвяпзО)+ -~-п1з(йесовО -~- ~~6) — тда яцО, 1 з 2 где 1, -=. 1з и 1з — моменты инерции диска относительно осей хм хз, хз, а — радиус, т — масса диска (высота центра диска над гшоскостью х =-. = аз1пО).
9.! 9] б 9. Движение твердило тело. Неинерциальные сиота им отсчета 269 Интегралами движения являются обобщенные импульсы птХ=рс, тУ=рг, 1гсь з!туз 0 !. 1з сов 0 (сн соз 0+ ю) =- р ж ЛХг, Хз(сд сов 0 -ь а',) = ре с— а ЛХз н энергия. В системе координат, движущейся с постоянной скоростью (Х, У, О), центр диска движется только в вертикальном направлении. Из (1) находим Мг — ЛХз соз В Мз Мг — ЛХз соь 0 ть =-, дт = — --, созО, 1г гйп 0 Хз Хг з!тг 0 и, подставляя в интеграл энергии, получаем ЛХз~ (Мг — ЛХз сов 0)з Š— -- — (Ег 1-пш созьВ)дз 4 -! 4 тдагйпВ.
(3) 21з 21г зш О Отсюда через квадратуры определяется зависимость 0(г), а затем с помощью (2) зависимость дэ(1), ф(1). Угол наклона диска совершает колебания, н в такт с ними изменяются скорости прецессии с и вращения вокруг оси ф. Уравнения (2), (3) подобны уравнениям движения тяжелого симметрического волчка (см., например, уравнення (4) — (7) из [1), б 35, задача 1).
Качение диска устойчиво при ()"- > гадгяХг)Хз, верчение .— при й„> пгдаХХг. б) В отсутствие проскальзывания на диск, кроме сил тяжести нэК и реакции опоры Е, действует еще сила трения Х. Уравнение М вЂ” (аВ.) = [аХ) удобно записать в проекциях на оси 2, тз и В (ось  — линия узлов)'. ЛХг = Хнасозд, ЛХз = Хеа, (4) — — — — Хяа вили О. с! дА ОХ, с(1 00 ОВ (б) 'В отсутствие силы трения эти уравнения прслставляют собой уравнения !!огранив лля углов Эйлера.
27О Ответь«и решения Здесь а — вектор, проведенный из центра диска в точку его соприкосновения с плоскостью. Запишем уравнение в проекциях на оси В н «д где ось О горизонтальна и перпендикулярна оси В (сьь формулу (4) предыдущей задачи): 14 =- ««цМ)р =- «пЯ вЂ” , 'дЪ«я), )ч = т( э«)я .— — т1'г«я — Щ).
Условие качения без проскадьзывания Ъ 4 )йа) =" О приводит к равенствам (7) 1«е = — и(Й -1- ~р сов д), К, = ад. Подставляя 11), (6), (7) в (4), (5), получим систему уравнений относительно углов Эйлера. Дав«кение без проскальзывания и без отрыва диска от плоскости возможно, если ,'У~ < р (д —, 2), д -~ г > О (д — коэффициент трения). Полагая В = О, получаем:р' = р = О, причем д, дэ и дэ связаны соотношением 1э р(сьсовд-р я)) впэд.— 1«Эшвшдсовд-~ тдпсовд =.
О (8) (здесь и далее 1, 'з = 1пз + «ппз). Цспгр диска, двигаясь с постоянной по величине скоростью 1« ---. о~йз~ —. а~за + усовд~, описывает окружносгь радиуса Л = Ъ',«ш . Условия (8) можно представить также в виде 1'Л1'з = '11,пЪ' совВ н- тда К с«80). В частности, если масса диска сосредоточена в его центре (1д = 1з =- О), то получаем элементарное соотношение; $'~ = дЛ с«80:. Гироскопические эффекты, возникающие при отличных от нуля 1«л, могут оказаться весьма значительными. Например, для однородного диска (2 1~ = 1з = — тав) в случае Л >> а получаем — '1'з = д Л~ с48 0; для обруча (21« =- 1з .— — таз) в том же случае 2РЯ вЂ” -- дЛ с«80~.
9.!9) 29. Движение твердоео тево. Неинерциачьные систеиы отсчета 27! При качении диска в вертикальном положении О = —, 9и.—.- О, !о =- йз;. соней 2' (9) Для исследования устойчивости такого движения положим в уравнениях ( ! ), (4)- (7) д = ~ — ЛЗ,,З << Е Ф !3 !)йз << йз '2 ф йз << 9ьйз 2 и сохраним только члены первого порядка малости. Получаем йз = сопят, Мг = 1! ф — 1зйзд = солят, ((0) 1!'!7 ч- 1зйз р — гнуаб = О.
откуда 1гД+ (' йз — тра) О = — Ъ|гйз. /1312 2 т 13 3 ' ) 1 Если 1гтда 3 1 12 ()() то при отклонении угла О от т,!2 возникают малые колебания 3 и чо: 1зйзЛ1г г) — — -Ь (уо соз(ич -!- д), 11 и22 траМг 1зйздо з(п(и2! + д) . 12,,2 1313 йз Л19а где «2 1,1,' 1', Направление движения диска также испытывает малые колебания, причем диск движется не вблизи прямой, а вблизи окружности радиуса айз1гвоз,!нчу а.112.
Таким образом, наличие малого отклонения началыгых условии от (9) может привести либо к малым колебаниям вблизи «равновесного» движения по прямой (если М, = О,,бо ф 0) либо к новому «равновесному» движению (если й1; Ф. 0 !)о ' —" О) Если неравенство (11) не выполнено, то движение неустойчиво. (9. 19 Ответы и решения Можно сказать, что движение происходит с В = сопзФ, если в нпространствев В, 9), а) точка лежит на поверхности, определяемой уравнением (8). Нетрудно убедиться, что при условии (11) движение устойчиво относительно возмущений, выводящих точку (В, Д ф) с поверхности (8) и безразлично относительно ее перемещений по этой поверхности, Аналогично обстоит дело и с устойчивостью движения диска на гладкой плоскости (нужно только заменить Е,' з и Е1 з).
Верчение диска вокруг вертикального диаметра устойчиво, если Й- > тда,(Е,'. в) Отсутствие вращения вокруг вертикальной оси (верчсния) приводит к условию (12) Йя =" еэ — ь) соз В = О. На диск в этом случае действует добавочный нмомент трения верчения» Ы, направлегпзый вертикально, и вместо (4) получаем ЛЕк = Ееа сон- — и'., ЛЕз = Еео -ь Юсозд. (13) Интегрирование уравнений движения относителыю легко сводится к квадратурам (в отличие от уравнений пункта б)). Движение с постоянным углом наклона возможно, если, кроме условия (8), выполняется и условие (12), т.
е. ЗЯ и ф определяются углом В. В этом случае Д В з . В =- а, ,'вщдг8В„1' Е' — Ез с18з В Качение диска в вертикальном положении устойчиво при Йз > и~да( Ез. г) При наличии малого наклона плоскости к функции Лагранжа следует добавить член ВЕ =- — тдоХ (ось Х направлена вверх вдоль плоскости, ось У горизонтальна, ось У перпендикулярна плоскости), Полагая в (1), (4)-(7) В= х~ — д, д<<1, Ф-дейк ф-3-Йя<<~~'Йк и добавляя вклад ВЕн получаем Езр+ (Ез -- Ез)Й~~~З вЂ” Езйяд -- пи1пЗ вЂ” — тдвав1пйя1, Езф ~ (Ез + 2тнз )Йя3 — -- — тдаосоз Йн1, 9.20) Л 9. Движение твердого тела. Неинервиачьнме систехег отсчета 273 откуда хо =- — (2 1, 1-,', )сгсовйя1, О =--. — 2аз1»йяй 2г»аз чгхЧа т Хз Хзйя Подставляя 17) и О, .р = йя1, хь в Х = 1'ссозЗг — Уов1лчэ У = Усв1» р+К,совЗв и усредняя по периоду вращения, находим 1Х) .— --О, 1У) =- — (1+ ™~ +, )схайя: т.
е. диск смещается, не теряя высоты. 9.20. а) Положение шара определяешься координатами его центра масс Х, У, г и углами Эйлера О, р. хн 1см, [1), й35), которые задают положения главных осей инерции. Ось гб направлена вверх, ось хз — от центра масс к геометрическому не~пру шара, для коюрого жз .—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
