Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо - Сборник задач по классической механике (2001) (1115224), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ь, радиус шара и. Исследование движения шара проводится так же, как и в предыдуц1ей задаче. Если ЛХя ~ ЛХз, то ЬХ,ЕО(О) имеет минимум при Оо ф О, я и при энергии Е = ЬХ,ее1Оо) происходит устойчивое вращение шара с постоянным углом О = Оо, при этом г =- а — ЬсозОо. Точка шара, которая в данный момент сопРикасаетсЯ с плоскостью, имеет скоРость х .— -- (ЬЗн + ауч) чш Оо, направленную вдоль линии узлов. Учтем теперь малую силу сухого трения Х.
Она направлена в сторону, противоположную ш и приведет к изменению угла Оо. При а ~ ~0 ЛХя = +ХЬв1»Оо, ЛХз = +Ха ей»Ос., откуда 12) ЛХиа — ЛХзЬ = С = со»вк Для быстро вращающегося шара ЛХ = ЛХз, Л1я = ЛХ сов Оо, или с учетом 12) ЛХ(асозОо — Ь) = С. Отсюда видно, что при уменьшении момента импульса из-за трения угол Оо должен уменьшаться, если а соз Оо — Ь > О, и увеличиваться, если а сов Оо— — Ь < О.
При этом в силу 11),13) Оо =. — 1" Ь/аС1а созда — Ь)з Овесам и решения Х =- О(а — ЬсовВ) вшу -- (а~ -~- Ьу) вшОсову, У = — О(а — ЬсовВ) сов у — (ау -: Ьу) вшдв1пу. Уравнения движения тХ вЂ” -- Лз, тУ = Лг, (5) г1«н = (Лг сов у -1 Лг вш у) Ь вш В, Ыз = (Лз сов р + Лг вш у)а вш В, ддТ ОЕ ОЬ О — — — — = ( — Лз внз у + Лг сов у)(а — Ь сов В) (6) (7) (8) содержат в правых частях силы трения и моменты зтнх сил.
Множители Лагранжа Лм Лг с помощью условий связи (4) могут быть выражены через углы Эйлера. Так, проекции силы трения на линию узлов «~ и на перпен- дикулярное направление «т равны «1 = тВу(а — Ьсовд) — т — ((ау + Ьу) в1пВ~, д г(Ь (9) «т = — т —:В(а ЬсовО)) - ту(азЬ+ Ьу) вшВ. ОЬ' (10) Заметим, что (б), (7) совпадут с (1), если в уравнениях (1) заменить силу сухого трения ~«на силу трения покоя «в (9). Как н раньше, Ь«,а -- МзЬ .= — — — С является интегралом движения (2). 9.21.
Прн решении задачи необходимо учесть, что высота тела над землей 6 мала по сравнению с радиусом Земли Л н центробежное ускорение ЛЙ~ (Й вЂ” угловая скорость Земли) мало по сравнению с ускорением Центр масс медленно движется вдоль оси Я, а в плоскости ХУ переменная сила тренин «х = — «сову, «и = — «яп у вызывает вращение центра масс по малой окружности с угловой скоростью у. Конечно, даже малая сила трения приведет со временем к тому, что проскальзывание исчезнет и скорость нижней гочки шара станет равной нулю.
б) Пусть В.и = (Х 1. ЬвшВвшу, У вЂ” ЬвшВсову, а) — координаты геометрического цевггра шара; Й .— — (Йх, Йг, Йл) = (Осову 4 фвйзОвшу, Овйзу — ув1пдсову, у —; т) совВ) — угловая скорость вращения шара и а = (О, О, — а) — радиус, проведенный из геометрического центра шара в точку касания. Тогла условие качения шара без проскальзывания Й.„-ь 1Йа) = 0 представляет собой неголономную связь: 9.21) й 9. Движение твердого тена. Неинер««иальнме систе«т| отсчета 275 свободного падения на поверхности Земли д.
Таким образом, в задаче есть два малых параметра: я« -= 1«««Л < яз — — Лй )д 0,01. В уравнении движения (7 — гравитациошшя постоянная, ЛТ вЂ” масса Земли) й =. —; 17 + 2)«й) -' (й,й. -' г, й ) )В.+г' разложим первое слагаемое в ряд по малому параметру г/Л < е«, г = и+2~««й) + и« -1 )й)гйЦ, г(0) .— —. 1«, ъ«10) =-О, (2) и =- — 'уМ вЂ” 6 )й)йй)1, и« =. (ЗВ.— — — ) [1+ 0««е«)6 Лз Кориолисово ускорение 2)««й) дЮ усе«езд и д««д имеют первый порядок малости, а )й1гй)', «я д — нюрой. Вертикаль 1«а«ггипараллельпа вектору ц и составляет малый угол т .= = е яшЛ соя Л с направлением вектора й. (здесь Л вЂ” северная широта (геоце«««рическая) — угол между плоскостью экватора и вектором В.).
Выбираем ось х по вертикали вверх, ось х -- по меридиану к югу, ось у -- по широте к востоку, тогда и = (О О., — д), В = Л(я1««сп 0 сова), й = й( — соя(о, Л), 0 яш(с«+ Л)) В нулевом приближении частица движется с ускорением — д вдоль оси -. В первом приближении кориолисово ускорение привод«п лишь к отклонению на восток, причем величина смещения у /Т~Т~ д1 е«вз 6. Ускорение и«имеет вдоль = составляющие Кд, а вдоль х н у — лишь второго порядка, поэтому в первом приближении влияние ц«приведет лишь к увеличению времени падения с вь«соты 6 на яеличину «« ~26/д. Отклопеняе к югу, таким образом, возникает лишь во втором порядке.
Запишем уравнение (2) в проекциях на выбранные оси, удерживая для компонент .-, у, х слагаемые нулевого, первого и второго порядков малости соответственно: Š— — --д, у = --2-'йсояЛ, х — -- 2уй я!и Л 6 д13я яш с« — х) «Л 6 й'в яш Л соя Л. Овеетм и решения Решая методом последовательных приближений, найдем - = 6 — — дй~, у= — дйзйсовЛ, т = 2Ы й в1пЛсовЛ. 2 ' ' 3 Подставляя время падения 1 — --, ~26/д, найдем отклонения к востоку и югу у —..
— у 8ез -" г Ь, сов Л, 1 г: =- 2езе Ьвш2Л. 9.22. Воспользуемся системой отсчета, вращающейся вместе с сосудом; ось и направим вдоль АВ, начало координат поместим в неподвижной точке — пересечении осей АВ и СВ. Угловая скорость системы Й = иэз -е +шг = [шг., шз сов игг1, — шз вшшгд). На каждую частицу жидкости массы т в этой системе отсчета наряду с силой тяжести тпд действуют силы инер- Д ш[йг[ ции (см.
[1), З 39): сила Кориолиса 2т[нй), центробежная сила —, и дг 2 сила ш[гй), где Й -- скорость изменения вектора Й в неподвижной системе отсчета. При затвсрдевапии слюлы скорости часпщ (относительно сосуда) обращаются в нуль и сила Кориолиса исчезает. Остальные три слагаемые нужно усреднить по периодам вращения: [еб) = — тд[(совшзд), (в1пшз1вшшг1), [в!пшг1совиэ 1)) = О, если шз ф шг, [т[гй!) .== ш[г[Й)[, (Й) = (!ес1еег',) = [(ьзз)ьзг) = О. Наконец, [Л сЗ ен[Й 1г) тид~~ где у — [,;Йг[г) =. (Йгг — (Йг) ) .—" (1) [~ рг + ьр )гл [(тшг + ушз сов~гге — яшз зшы~ге) ) = ~~и + ( 2 ь шг)[у +г ). Поверхность ясидкости расположится по линии уровня П [г) = сопвп Смола затвердеет в форме эллипсоида вращения.
Что изменится в этом результате при игз =- шг? При д ..—. О и шг — е О из (1) получается, очевидно, неправильное решение. Почему? 9.24] й 9. Движение твердого тена. Неинерцииннные систенн~ отсчета 277 го Й т),ге; нн: — н —,„ где Š— энергия, ЛХ вЂ” момент импульса во вращающейся системе отсчета, Геф4, =. ХХЯ 1 ' „. Напомним, что Е =. Ео — ЛХП, ЛХ = ЛХо, где Ео и ЛХ 2тг" ЛХо — энергия и момент импульса в ннерциальной системе.
Интересно, что центробежная потенциальная энерпи — гнйзгз/2 не ВХОдИт В ХХоеэ. 9.24. В системе координат, связанной с рамкой, функция Лагранжа данной задачи совпадает с рассмотрешюй в задаче б.Зб (при = = О и с параметРамиыж — — — 2Й, ырз = =~йз э — , '' ) — П ). ПРищз з ) О движение т~' — ' ~ ) частицы совпадает с движением анизотройного осциллятора в магнитном поле Ж .=.
-. 2юсй/е. Траекзория частицы для случая ыз =. ыг изображена на рис. 97 к задаче 2.32. В частности, если щз = ы = О, движение частицы совпадает с движением свободной частицы в магнитном поле х = = хо + я сов ог,ей д = до — и вщы жХ, х е. частица равномерно движется по окружности радиуса а с центром в точке (хо, до). Интересно разобраться, какому движению частиц в неподвижной системс координат соответствует последний случай, в частности при а = О или при хо = до = О.
Если центробежная сила превысит силы возвращающие, действующие з со стороны обеих пружинок, ы-,д ( О, то частица по-прежнему совершает малые колебания. Хотя потенциальная энергия имеет при х = д = О максимум, устойчивость этого положения равновесия обеспечивается силой Кориолиса. Волн же ог1~ н ы~ имеют разные знаки (т. е. х —.— д —.—. Π— седловая ючка для потенциальной энергии), то это положение равновесия неустойчиво. Интересно сопоставить эти результаты с ответом задачи 5.4. В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью й, точка го, ~ро лежит на гребне апотенциального цирка»; потенциальная энергия ХХ = ††„ — имен тйг~ 2 ет максимум относительно смещения в направлении радиуса-вектора н не изменяется при смещении в азимутальном направлении, В этом случае одно нз нормальных колебаний происходит с частотой ы, частота же другого Овеете и решения обращается в нуль: положение равновесия безразлично относительно неко- торых возмущений (папример, изменения рв).
9.25. Функция Латраюка 1 —.= —,(т -~ 'чдг~) -~ тиг —;- 2 2 ~ Ш~( ° ~2+(, )2 2 (Х" У Ь) Для малых колебаний можно опустить 2, тогда уравнения движения т — 2ш22+ ( — — щ ).т = О, /д ~а уд у -~- 2ют -1- ~ — — ю ) д = О. ~ь Ищем решение в виде ~сапе ) у —... Ве' и для Й~ получаем уравнение Ие — (д — д 2 2)И2+ (д 2) (д 2) — — О. Легко убедиться, что корни его действительны. Однако при ( —..ш)( —..ш) <О один из корней й-', < О, так *по соотвстствукяпее движение 2. А е~пб2 2 Азе — ~обе 2 =-- В е~"'" т П е""' ' 2е т зе приводит к уходу частицы от начала координат.
Это и означает,что нижнее положение частицы неустойчиво. Считая для определенности а > 6, получаем область неустойчивости д 2 д — <ш < —. а 9.26] 99. Движение твердого телес Неинерлиа>ьнь>е составь> отсчета 279 ОбРатим внимание на то, что пРи ь>з > 9>>У> движение Устойчиво, хотЯ потенциальная энергия во вращающейся системе отсчета представляет ие потенциальную яму, а потенциальный горб. Устойчивость в этом случае обеспечивается действием сил Корнолнса. 9.2б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
