В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 8
Текст из файла (страница 8)
йс Аы Азз Ат а а ''' а Азз Азз Ааз а а '' а (1.41) Азв Азл Аев а а ''' а ') И, стало бить, вти матрацы совпадают. з') бе! В* 1 в силу примера 3 из п. Б етого параграфа. в») творвмл о влзисном минора матрицы зу Убедимся в том, что эта матрица В является как правой, так и левой обратной по отношению к матрице А. Достаточно доказать, что оба произведения АВ и ВА являются единичной матрицей. Для этого достаточно заметить, что у обоих произведений любой элемент, не лежащий на главной диагонали, равен нулю, ибо после выноса множителя 1/й этот злемент равен сумме произведений элементов одной строки (или одного столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (или другого столбца). Что же касается элементов, лежащих на главной диагонали, то у обоих произведений АВ и ВА все такие элементы равны единице в силу того, что сумма произведений элементов и соответствующих алгебраических дополнений одной строки (одного столбца) равна определителю.
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Квадратную матрицу А, определитель йе1 А которой отличен от нуля, принято называть н е в ы р о жд е н н о й. 3 а и е ч а н и е 2. Впредь мы можем опускать термины «левая» и «правая»иговоритьпросто о матрице В, о бр атн о й по отношениюкневырожденной матрице А иопределяемой соотношениями АВ = ВА Е.
Очевидно также, что свойство быть обратной матрицей взаимно в том смысле, что если В является обратной для А, то А является обратной для В. Матрицу, обратную к матрице А, впредь мы будем обозначать символом А '. $3~ Теорема о базисном миноре матрицы 1. Понятие линейной зависимости строк. Выше мы уже договорились называть строку ') А = (а„аэ, . „а„) линейной комбинацией строк В = (Ь, Ь, ... Ь ) . С = (с, с, с ) если для некоторых вещественных чисел Х, ..., р справедливы равенства ау = ХЬ~+ ... + рсу (1= 1, 2, ..., п). (1.42) Указанные а равенств (1.42) удобно записать в виде одного равенства А=ХВ+„.+рС. (1.43) Всякий раз, когда будет встречаться равенство (1.43), мы будем понимать его в смысле и равенств (1.42).
Введем теперь понятие линейной зависимости строк. Определение. Строки А = (а„а,, ..., а„), В (Ь„Ь„ .„, Ь„), ..., С = (с„с„..., с„) назовем л и н е й н о з а в и с и . м им и, если найдутся такие числа а, р, ..., у, не все равные нулю, что справедливы равенства аа»+ ~Ь~+ ... + ус~ = О (1= 1, 2, ..., а). (1.44) '1 Каждую строку можно рассматривать как ма«рику. Поэтому естественно использовать для обозначения строк большие латинские буквы. 38 матаицы и ОПРеделители Ц'Л ! л равенств (1,44) удобно записать в виде одного равенства аА+РВ+...+ТС О, (1.45) в котором О = (О, О, ..., О) обозначает нулевую строку.
Строки, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимымн. Можно дать и «самостоятельное» определение линейной независимости строк: строки А, В, ..., С называются линейно независимыми, если равенство (1.45) возможно лишь в случае, когда все числа а, р, ..., у равны нулю.
Докажем следующее простое, но важное утверждение. Теорема 1.б. Для того чтобы строки А, В, ..., С были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк являлась линейной комбинацией остальных строк. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть строки А, В, ..., С линейно зависимы, т. е. справедливо равенство (1.45), в котором хотя бы одно из чисел а, р, ..., у отлично от нуля. Ради определенности допустим, что а чь О.
Тогда поделив (1.45) на а и введя обозначения А = — (Усс, ..., р = — у/а, мы можем переписать (1.45) в виде А=»В+...+РС, (1.46) а зто и означает, что строка А является линейной комбинацией строк В, ..., С. 2) Д о с тат о ч н о ст ь. Пусть одна из строк (например, А) является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа Х, ..., р такие, что справедливо равенство (1.46). Но зто последнее равенство можно переписать в виде ( — 1) А + ХВ + ... + ИС = О '). Так как нз чисел — 1, А, ..., р одно отлично от нуля, то последнее равенство устанавливает линейную зависимость строк А, В, ..., С. Теорема доказана. Конечно, во всех проведенных выше рассуждениях термин «строки» можно заменить термином «столбцы». 2.
Теорема о базисном миноре. Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу аи ад» ... ао» а»» а»» ° ° ° а»а (! .47) Минором й-го пор я дк а матрицы А будем называть определитель й-го порядка с элементами, лежащими на пересе- е) Эдееь О (О, О, .„, О! — Еулееая строка, теОРемл О БАзиснОм минОРе мАТРицы чении любых й строк н любых й столбцов матрицы А.
(Конечно, й не превосходит наименьшее из чисел т и а.) Предположим, что хотя бы один из элементов аы матрицы А отличен от нуля. Тогда найдется такое целое положительное число г, что будут выполнены следующие два условия: 1) у матрицы А имеется минор г-го порядка, отличный от нуля, 2) всякий минор (г+ 1)-го и более высокого порядка (если таковые существуют), равен нулю. Число г, удовлетворяющее гребованиям 1) и 2), назовем р а нг о м матрицы А *).
Тот минор г-го порядка, который отличен от нуля, назовем базисным ми норам (коиечно, у матрицы А может быть несколько миноров г-го порядка, отличных от нуля). Строки н столбцы, нв пересечении которых стоит базисный минор, назовем соответственно б а з и си ы ми с т р оками и базисным и столбцами. Докажем следующую основную теорему. Теорема 1.6 !гаеорема о базмсном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицьс А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов). Д о к а з а т е л ь с т в о. Все рассуждения проведем для строк. Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна из этих строк являлась бы линейной комбинацией других базисных строк, и мы могли бы, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисный минор отличен от нуля.
Итак, базисные строки линейно независимы. Докажем теперь, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Так как при произвольных переменах строк (или столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то мы, не ограничивая общности, можем считать, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы (1А7), т. е. расположен на первых г строках н первых г столбцах. Пусть 1 — любое число от 1 до л, а й — любое число от 1 до т. Убедимся в том, что определитель (г+ 1)-го порядка ом ом ... аи ом аы ои ... аы аэт (!.48) аа лтэ ° ° от э оа азт оээ ... ОЭ аэт ') Ранг ивтрпкы А, все элементы которой — пуля, по опредвлеяяю равен пулю. !ГЛ. 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 4О (для всех у= 1, 2, ..., и).
Учитывая, что в последних равенствах алгебраическое дополнение сыа ААТ совпадает с заведомо отличным от нуля базисным минором, мы можем поделить каждое из этих равенств на с,+,. Но тогда, вводя обозначения С1 й = —— ~г+1 й— С1 СЕ+1 с '''ю )'Т ° С„1 мы получим, что аье = Цац+ Хеаег+ ...
+ Х,аы (для всех 1= 1, 2, ..., и), а это и означает, что й-я строка является линейной комбинацией первых г (базисных) строк. Теорема доказана. 3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Теорема е.г. Для того, чтобы определитель и-го порядка Ь был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбаы) были линейно зависимы. Доказательство. 1) Необходимость. Если определитель и-го порядка Ь равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок г, заведомо м е и ь ш н й и. Но тогда хотя бы одна из строк является не базисной. По теореме 1.6 эта строка является линейной комбинацией базисных строк.
В эту линейную комбинацию мы можем включить и все оставшиеся строки, поставив перед ними нули. Итак, одна строка является линейной комбинацией остальных. Но тогда по теореме 1.5 строки определителя линейно зависимы. 2) Д о с тат о ч н о ст ь. Если строки Ь линейно зависимы, то по теореме 1.5 одна строка А, является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки А1 указанную линейную комбинацию, мы, не изменив величины Ь, получим одну строку, целиком состоящую из нулей.
Но тогда определитель Л равен нулю (в силу следствия 3 из п. 4 $ 2). Теорема доказана. равен нулю. Если 1~ г илн й с г, то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него будет два одинаковых столбца илн две одинаковые строки. Если же оба числа 1 и й превосходят г, то (1.48) является минором матрицы А порядка (г + 1), а всякий такой минор равен нулю (по определению базисного минора). Итак, определитель (1.48) равен нулю при всех 1 от 1 до и и всех й от 1 до т. Но тогда, разложив этот определитель по последнему столбцу и обозначив не зависящие от номера 1 алгебраические дополнения элементов этого столбца символами Аи = с„Аы = с„..., А„= = с„, АА1 = с„+„мы получим, что с,аы+ с,аы+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
