В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Предположим, что формула разложения по первому столбцу (1.22) верна для определителя порядка и — 1 и, опираясь на это, убеднмся в справедливости втой формулы для определителя порядка и. С этой целью выделим в правой части формулы (1.12) для определителя и-го порядка Ь первое слагаемое ассМс, а в каждом нз с остальньсх слагаемых разложим минор (и — 1)-го порядка Мс ! по первому столбцу. В результате формула (1.12) будет иметь внд Ь=апМ',+Е Е йиМ~,ь ссас 2 (1.23) где 8» — некоторые подлежащие определению коэффициенты. Для вычисления йсс заметим, что минор М,", получается прн разложеннн по первому столбцу только одного нз миноров (и — 1)-го порядка, отвечающих первой строке *), — минора Мс~.
Запишем в разложении минора М (прн 1' ~ 2) по первому столбцу только то слагаемое, которое содержит мннор Мс; (остальные не ннтересующие нас слагаемые обозначнм многоточием). Учитывая, что элемент ан минора Мс (прн 1 ~ 2) стоит на пересечении (с — 1)-й строки и первого столбца этого минора, мы получим, что прн )~2 Мсс = ( — 1)с и+' ассМсс + (1.24) ')Прн нсон минор смс~ нредпонагаатен некяюченньнс. называемая р а з л о ае е и и е м а т о г о о и р е д е л и т е л л по усму столбцу.
Доя аз а тельство. Достаточно доказать теорему для 1 = ), т. е. установить формулу разложения по первому столбцу опэеделнтелн Вставляя (1.24) в правую часть (1.12) (из которой исключено первое слагаемое) и собирая коэффициент при Мсссс, мы получим, что коэффициент Ом в формуле (1.23) имеет вид О» = ( — Цс+ с+ ' ассасо (1.25) Остается доказать, что и правая часть (1.22) равна сумме, стоящей в правой части (1,23) с теми же самымн значениями (1.25) д О, Для этого в правой части (1.22) выделим первое слагаемое с ацМ„а в каждом из остальных слагаемых разложим минор (п — 1)-го порядка Мсс по лервост строке. В результате правая часть (1.22) представится в виде суммы первого слагаемого оцМс и линейной комбинации с некоторымн — 1 коэффициентами Вп миноров (п — 2)-го порядка Мс~~с, т.
е. в виде оцМс+ ~~~ ~ ВссМс~с!, (1.26) с зс з и нам остается вычислить множители В» и убедиться в справед- ливости для ннх формулы (1,25). Для этого заметим, что минор Мс~с получается в результате разложения по первой строке только одного из миноров и — 1-го порядка, отвечающих первому столбцу, — минора Мс. Запишем в разложении минора М~с (при с ~ 2) по первой строке только то слагаемое, котоРое содеРжит миноР М,'сс (остальные не интеРесУ. ющие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая, что эле- мент а,с минора Мс стоит на пересечении первой строки и (! — !)-го столбца этого минора, мы получим, что при с' ~2 Мс — — ( — 1) с' ассМсс+...
(1.27) Вставляя (1.27) в правую часть (1.22), из которой исключено первое слагаемое, н собирая коэффициент при Мс'„мы получим, что Оц в сумме (1.26) определяется той же самой формулой (! .25), что и в равенстве (!.23). Теорема 1.2 доказана. 2. Выражение определителя непосредственно через его эле- менты. Установим формулу, выражающую определитель и-го по- рядка непосредственно через его элементы (минуя миноры). Пусть каждое из чисел а,, а„..., а„принимает одно из зна- чений 1, 2, ..., и, причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа а„а,, ..., а„являются не- которой п е р е с т а н о в к о й чисел 1, 2, ..., и).
Образуем из чисел а„а„..., а„все возможные пары асас и будем говорить, что пара а;ас образует бе с и о р я д о к, если а, > ас при с < !. Общее число беспорядков, образованных всеми парами, ко- торые можно составить из чисел а„а„..., а„, обозначим сим- волом У (ас, а„..., а„), МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ и'л. ! С помощью метода индукции установим для определителя л-го порядка (1.11) следующую формулу' д !)е(А ~ ( — 1)~(н«' *''"' л)ап,!ап,а ° .,Пн„л(1,28) п,а«,,ал (суммирование в этой формуле идет по всем возможным перестановкам а„а„..., а чисел 1, 2, ..., л; число этих перестановок, очевидно, равно л!).
ф~р~у~~ (1 28) элемент (в этом случае возможны только две перестановки 1, 2 и 2, 1, и, поскольку !««' (1, 2) = О, !«! (2, 1) = 1, формула (1.28) переходит в равенство (1.10)). С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при л > 2 справедлива для определителя порядка (л — 1). Тогда, записав разложение определителя л-го порядка (1.11) по первому столбцу "): л Д=!)е1А Е ( — 1) '+'а„,!М!', (1.29) н, ! мы можем, в силу предположения индукции, представить каждый минор (л — 1)-го порядка Мл!' в виде М!' = Е ( — 1) ("' '" 'нл) а„з...а„(1.30) и« ' .,««л (суммирование идет по всем возможным перестановкам а„..., ал (л — 1) чисел, в качестве которых берутся все натуральные числа от 1 до л, за исключением числа а,). Так как из чисел а,, а„„., ал, кроме пар, образованных нз чисел а„,.„ал, можно образовать еще только следующие пары а,а„а,а„..„а,ал, и поскольку среди чисел а„..., с«л найдется ровно (а„— 1) чисел, меньших числа а„то !«! (а,, а„..., ал) = Ф (а„..., ал) + аз — 1.
Отсюда вытекает, что( — 1) ' "' ( — 1) =( — !) л (аз' ',««л) а«+! А«(а«,п „.„ол) и, вставляя (1.30) в (1.29), мы в точности получим формулу (!.28). Тем самым вывод формулы (1.28) завершен. В заключение заметим, что в большинстве курсов линейной алгебры формула (1.28) положена в основу понятия определителя л-го порядка.
3. Теорема Лапласа**). В этом пункте мы установим замечательную формулу, обобщающую формулу разложения определителя л-го порядка по какой-либо его строке. С этой целью введем в рассмотрение миноры матрицы л-го порядка (1.8) да у х т и нов. «) Индекс, по которому производится суммирование, на зтот раз нам удобно обозначить буквой а!. «") П. С Лаплас — выдающийся французский астроном, математик и физик (1749 — ! 827). опэадвлитвли Пусть й — любой номер, меньший и, а 1„1„..., !д и 1и 1„..., 1» — произвольные номера, удовлетворяющие условиям 1 .а 1, < 1» « ... !д «и, 1 < )л < 1» « ... )д «п. Миноры п е р в о г о типа М1,1, .',".
„являются определителями порядка й, соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1,8), стоящие на пересечении я строк с номерами 1м 1», ..., !д н й столбцов с номерами 1„1„..., 1». — йк,... Кд Миноры в т о р о г о типа М!',!'„,.! являются определителями порядка п — я, соответствующимй той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания й строк с номерами 1м 1„..., !д н й столбцов с номерами 1„1„..., 1». Миноры второго типа естественно назвать д о п о л н и т е л ьн ы м и по отношению к минорам первого типа.
'Теорема 1.3 (теорема Лапласа). При любом номере й, меньшем и, и при любых фиксированных номерах строк 1„1„... ..., 1» таких, что 1 «1, ( 1, « ... !д а и, для определителя и-го порядка (1.1Ц справедлива формула Ь=де1А= Е ( — ц"+'"+'д+!'+'"+'»х М 1» !» (ул... 1» — гу»... 1д хМ„„;::„М,„,.".:„, (1.3ц называемая разложением этого определигпеля и о й с т р о к а м 1„1„..., 1». Суммирование в этой формуле идет по всем возможным значениям индексов 1„1„..., 1», удовлетворяюилим условиям 1 «1, < 1, < ...
( 1» ~ и. Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что формула (1.3Ц является обобщением уже доказанной нами формулы разложения определителя и-го порядка по о д н о й его строке с номером 1„в которую она переходит при я = 1 (прн эдом минор М~", совпадает с элементом апьл а минор М,'*, — это введенный выше минор элемента а,„,). Таким образом, при я 1 формула (1,3Ц доказана.
Доказа. тельство этой формулы для любого я, удовлетворяющего неравенствам ! < я < и, проведем по индукции, т. е. предположим, что формула (1.3Ц справедлива для (й — 1) строк, и, опираясь на зто, убедимся в справедливости формулы (1.3Ц для й строк, Итак, пусть 1 < й < и и фиксированы какие угодно й строк матрицы (1.8) с номерами 1„1„..., 1», удовлетворяющими условию 1 ~ 1» < 1, < ... ( 1» ~ п. Тогда по предположению для (й — Ц строк с номерами 1„..., 1», справедлива формула л = Е ( — ц"+"'+'»- +'+" +' — х 1лл ° °,сд л хМ,'...„» 'М'' д ' (1.32) матрицы и опрадилитвли (гл. 1 8,, =( — 1) "+ '" + "+ "+ "'+'"М," ..':,". (1.33) /д.
° . /а С этой целью заметим, что минор (л — л)-го порядка М;, ... / — Гт ... /» получается в результате разложения по строке с номером 1» только следующих й миноров (л — А+ 1)-го порядка: М/,'.,/"(е'„/) ««) (з= 1, 2, ... /с), (1,34) ибо каждый нз остальных содержащих строку 1, миноров (а— — й+ 1)-го порядка не содержит всех строк и всех столбцов — г, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
