В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Проверку этих формул мы предоставляем читателю. $2. Определители Целью настоящего параграфа является построение теории определителей любого порядка л. Хотя читатель (из курса аналитической геометрии) уже знаком с определителями второго и третьего порядков, мы будем вести изложение так, чтобы избегнуть каких-либо ссылок. Знакомство с определителями второго и третьего порядков разве лишь облегчит восприятие излагаемого ниже материала.
ОпРеделители !7 1. Понятие определителя. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка л: оы озз ° ° ° лтл А (1.8) а д азе . ач С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок л матрицы (1,8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента ам и определителем первого порядка, соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента.
Если далее порядок и матрицы (1,8) равен двум, т. е. если эта матрица имеет вид (!.9) то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное амазз — атзазз и обозначаемое одним !лы лы! из символов ') гь = бе1 А = ~ ~. Итак, по определению ~а„азз ~' гь=бе! А=~о" !аз лм озз = аыа„— аззазм (1.10) ') В отличие от матрицы длн обозначения определителя употреблюот не сдвоенные, а одинарные черточки. ") Напомним, что гл а аной дяагональю квадратной матрицы пазы. вается диагональ, йду!цая из левого верхнего в правый нижний угол (т. е.
в случае матрицы (1.9) аыазз), а побочной — диагонале, идусззи иа левого нижнего в пРавый веРхний Угол (т. е, в слУчае матРнцы В У) латам). Формула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.9), равен разности произведения элементов, стоящих иа главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали "). В дальнейшем изложении мы будем говорить об элементах, строках или столбцах определителя, подразумевая под этими терминами соответственно элементы, строки или столбцы отвечающей этому определителю матрицы.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [ГЛ. 1 !8 ВИ Вм ° ° ° ВРЛ Ь=йе1А = (1,11) вл~ влл ° . влл Итак, по определению вм ° ° ° в~л ам ам ... ллл л = Е ( — 1) +~анМ,'. (112) Ь =ае1А= вл1 Вал . Елл Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка и по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и поминорам Мт элементов первой строки, являю! щимся определителями порядка и — 1. Заметим, что при и = 2 правило (1.12) в точности совпадает с правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид: М~ = аеь Ме~ = ам. Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя (1.11) элементы и отвечающие им миноры не первой, а произвольной (-й строки матрицы (1.8).
Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема, Перейдем теперь к выяснению понятия определителя л юбо го и ар яд к а и, где и ~ 2. Понятие такого определителя мы введем индуктивно, считая, что нами уже введено понятие определителя порядка и — 1, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка и — 1. Договоримсяназыватьм и и ором любого ел ем ен та ам матрицы и-го порядка (1.8) определитель порядка и — 1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания 1-й строки и 1-го столбца (той строки н того столбца, на пересечении которых стоит элемент а„).
Минор элемента ац будем обозначать символом М,'. В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний— номер столбца, а черта над М означает, что указанные строка н столбец вычеркиваются. Определителем порядка и, соответствующим матрице (1.8),назовем число, равное Е ( — 1)'+'ан М) и обозначаемое у ! символом определители Теорема а.1.
Каков бы ни был номер строки((1 1, 2, ... ..., п), для определителя п-го порядка (1.11) справедлива формула ') Ь = сне!А= ~; ( — 1)~+'аоМ~, ! (1.!3) называемая разложением етого определителя п о 1-й с т р о ке. 3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число ( — 1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент агя Доказательство теоремы 1.1, Формулу (1.13) нужно доказать лишь для номеров ! = 2, 3, ..., п **).
При п = 2 (т. е. для определителя второго порядка) эту формулу нужно доказать лишь для номера! = 2, т. е. при и = 2 нужно доказать лишь формулу Ь= бе1А = Е ( — 1)~~~ив;М~)= — аа1М1+амМе. ) По емысау теоремы п ~ 2. ее) Ибо пря 1 = 1 правая часть (1,13) по перепеленаю раааа бе1 А.
Справедливость втой последней формулы сразу вытекает из выражений для миноров матрицы (1.9) Мт1 = апь Ма аи, в силу которых правая часть этой формулы совпадает с правой частью (1.10). Итак, при п = 2 теорема доказана. Доказательство формулы (1.13) для произвольного п ) 2 проведем по индукции, т. е, предположим, что для определителя порядка п — 1 справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (1.!3) для определителя порядка и, При доказательстве нам понадобится понятие миноров матрицы (1.8) порядка и — 2. Определитель порядка и — 2, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания двух строк с номерами 1, и (а и двух столбцов с номерами 1' и )„называется м и н о р о м (п — 2)-г о п о р я д к а н обозначается символом М,",,*,.
Определитель п-го порядка Ь вводится формулой (1.12), причем в этой формуле каждый минор М1 является определителем порядка и — 1„для которого по предположению справедлива формула вида (1.!3) разложения по любой строке. Фиксирован любой номер ( (1 = 2, 3, ..., и), разложим в формуле (1.12) каждый минор М,' по 1'-й строке основного определителя (1.11) (в свмом миноре М) эта строка будет (! — 1)-й). млтрицы и опрцдзлитвли 1гл. ! В результате весь определитель гз окажется представленным в виде некоторой линейной комбинации е) миноров (а — 2)-го порядка М)» с несовпадающими номерами 1' и А, т. е.
в виде 'Е) й Е Е 8,»М3. 1 1»</ (1.!4) Вставляя (1.15) и (1.16) в правую часть (1.12) и собирая коэф. фициент при М,"», мы получим, что множитель 8,» в равенстве (1.14) имеет вид О)» = ( 1)!'+1+1+»1 (аиа!» — а»»ап1. (1. 17) Для завершения доказательства теоремы покажем, что и пра. вая часть (1.13) равна сумме, стоящей в правой части (1.14), с теми же самыми значениями (1.17) для О,». Для этого в правой части (1.13) разложим каждый минор (л — 1)-го порядка М)~ п о и е р в о й с т р о к е. В результате ч) Непомним, что линейной комбниэцией кзкнх-либо величин незывзется сумма произведений этих величин не некоторые вещественные числе. ее) Тек кзк минор М~1»1 совпадает с М»д~), то мы переберем все миноры (л — 2)-го порядка с дзинымн номеремн строк 1 и 1, изменяя 1 от 1 до и я для кеждого ! беря все возможные» ч /.
еее) В матрице (1.В) эте строка будет 1-й. чч'ч) Ибо в миноре М1 отсутствуют первзя строка и Рй столбец мвтривы / (1.В) и)<». ЕЕЕЕ') Ибо в миноре М»! отсутствует первви строка матрицы (1.В), я единственный отсутствующий в этом миноре столбец метрицы (1,В) имеет номер Ф > 1. Для вычисления множителей 81» заметим, что минор М,!» получается в результате разложения по (1 — 1)-й строке '") только следуюи!их двух миноров (л — 1)-го наряда, отвечающих влемен* там первой строки матрицы (1.8): минора М, и минора М» (ибо только эти два минора элементов первой строки содержат в с е стол 6цы минора М)»). В разложениях миноров М) и М» по указанной (1 — Ц-й строке выпишем только слагаемые, содержащие минор М,'» (остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая при этом, что элемент аг» минора М1~ стоит на пересечении (! — 1)-й строки и (Й вЂ” 1)-го столбца этого минора '*"), а элемент ап минора М» стоит на пересечении (1 — 1)-й строки 1 и 1-го столбца этого минора '*"*), мы получим Му = ( — 1)' + аг»Му» + ° (1.15) М» =( — 1)1 ~~~а!)М1»»+ ° ° ° (1 16) опредвлитили вся правая часть (1.13) представится в виде линейной комбинации с некоторыми коэффициентами О,» тех же самых миноров (1.18) и нам остается вычислить множители О,» и убедиться в справедливости для них формулы (1.17).
!> Для этого заметим, что минор М,» получается в результате разложения по первой строке только следующих двух миноров (и — 1)-го порядка, отвечающих элементам /-й строки матрицы (!.8): минора М) и минора М» (ибо только этн два минора элементов >'-й строки содержат в с е с т о л б ц ы минора М~»). — > — с В разложениях миноров М, и М» по первой строке выпишем только слагаемые, содержащие минор М>» (остальные не интересующие нас слагаемые обозначим многоточием). Учитывая при этом, что элемент ам минора М, стоит на пересечении первой строки и (й — 1)-го столбца «) этого минора, а элемент аы минора М» стоит иа пересечении первой строки и /-го столбца **) этого минора, мы получим М> —— ( — 1) +~ 'а>» М;»~+ ° ° ° > (1.19) М» =( — 1) +~а>/ М~/~»+ ..
(1.20) А =с(е!А= Е ( — 1)'+/асуМ~У, > ! (1,21) «) Ибо / < а и в миноре М> отсутствует /-» столбец матрицы (!.б). ") Ибо / (», а у минора М» отсутствует лишь а.й столбец матрицы (!.а). Вставляя (1.!9) н (1.20) в правую часть (1.13) и собирая коэффициент при М,'», мы получим, что О,» в сумме (!.18) определяется той же самой формулой (1.17), что и в равенстве (1,14). Теорема !.1 доказана. Теорема 1.1 установила возможность разложения определителя л-го порядка по любой его строке. Естественно возникает вопрос о возможности разложения определителя п-го порядка по любому его с т о л б ц у. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема. Теорема 1.2. Каков бы ни был номер столбца / (/ = 1, 2, ...
..., и), для определителя п-го порядка (!.11) справедлива формула матрицы и опрвдялитали сгл. с Л= ~'„( — 1) + ассМс, (1.22) с с нбо если формула (1.22) будет установлена, то для доказательства формулы (1.21) для любого 1 = 2, 3, ..., и достаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить схему рассуждений теоремы 1,1. Формулу (1.22) установнм по индукции. Прн и 2 эта формула проверяется элементарно (так как прн и = 2 миноРы элементов пеРвого столбца имеют внд Мсс = ааа, Мас ап, то прн и = 2 правая часть (1,22) совпадает с правой частью (1,10)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
