В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При этом мы придем к понятию к о м п л е к с н о го л и н е й н о го пространства, 2. Некоторые свойства произвольных линейных пространств. Из аксиом 1' — 8' в качестве логических следствий можно по- лучить ряд утверждений, справедливых для произвольных ли- ') В вастностя, нулевым алементом пространства С (а, Ь1 является функпна, тождественно равная нулго на сегменте а( г~ ~Ь. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА нейных пространств. В качестве примера установим два утверждения.
Теорема 2.1. В произвольном линейном пространстве существует единстве»не«й нулевой элемент и для каждого элемента х существует единственный противоположный элемент. Доказательство. Существование хотя бы одн о г о нулевого элемента утверждается в аксиоме 3'. Предположим, что существуют два нулевых элемента От и О,. Тогда, полагая в аксиоме 3' сяачала х = 0„0 О„а затем х 0„0 О„мы полУчим два Равенства От+ Ое ОА, Ое+ Од Оа, левые части которых (в силу аксиомы 1') равны.
Стало быть, в силу транзитивности знака = равны и правые части двух последних равенств, т. е, О, О„и единственность нулевого элемента установлена. Существование для каждого элемента х х о т я б ы о д н о г о противоположного элемента у утверждается в аксиоме 4'. Предположим, что для некоторого элемента х существует два противоположных элемента у, н ач„ так что х +у, 0 и х + у, ° О. Но тогда в силу аксиом 3', 2 и 1' у, = у, + 0 = у, + (х+ уе) = = (у, +х) + у, = 0 + у, =у, + 0 = у„ т. е. у, у„ и единственность для каждого элемента х противоположного элемента доказана. Теорема доказана.
Теорема 2.2. В произвольном линейном пространстве 1) нулевой элемент 0 ровен произведению произвольного элемента х на вещественное число 0; 2) для каждого элемента х противоположный элемент равен произведению этого элемента х на вещественное число — 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть х — произвольный элемент, а у — ему противоположный. Последовательно применяя аксиомы 3', 4', 2', 5', 1', 7' и снова 5' и 4', будем иметь х 0 = х 0 + О = х 0 + (х + у) = (х.0 +х) + у = (х 0 + х 1) + +у=х(0+1) + у=х1+у х+у-О, т.е. х0= = О. 2) Пустьх — произвольный элемент, у = ( — 1) х.
Используя аксиомы 5*, 7', 1' и уже доказанное равенствох 0 = О, получим равенство х+ у = х+ ( — 1) х= 1 х+ ( — 1) хчч П + ( — 1) )х 0 х= х 0 = О, которое и доказывает (в силу аксиомы, 4'), что у — элемент противоположный х. Теорема доказана. Отметим в заключение, что аксиомы 1' — 4' позволяют доказать существование и единственность р а з н о с т и любых двух элементов линейного пространства х и у, которая определяется как элемент л, удовлетворяющий условию и+ у х*). (Таковым элементом служит сумма и х+ ( — 1) у.) «) Во«тато«ко дословно новторвть докааательство, данное в теории вепгествеккых чисел (см.
выпуск «Основы математнческого анаднваа, часть 1, гл. Е 4 Е, и. 3). линейные пэостгяиства ф 2. Базис н размерность линейного пространства 1. Понятие линейной зависимости алементов линейного пространства. В курсе аналитической геометрии ') было введено понятие линейной зависимости векторов, а в п. 1 5 3 предыдущей главы — понятие линейной зависимости строк (или, что то же самое, элементов пространства А", рассмотренного в примере 3 из п. 1 5 1 настоящей главы).
Обобщением этих понятий является понятие линейной зависимости элементов совершенно произвольного линейного пространства, к выяснению которого мы и переходим. Рассмотрим произвопьиое вещественное линейное пространство й с элементами х, у, ..., е, ....
Л и и е й и о й к о м б и н а ц и е й элементов х, у,..., л пространства й мы будем называть сумму произведений этих элементов на произвольные вещественные числа, т. е. выражение вида ах+ ру+ ° ° ° + 7е, (2. Ц где а. р, ..., у — какие угодно вещественные числа. Определение 1. Элементы х, у, ..., и пространства й называются л и н е й и о з а в и с и м ы м и, если найдутся такие вещественные числа а, р, ..., у, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элементов х, у, ..., и с указанными числами является нулевым элементов пространства Я, т.
е. имеет место равенство х+()у+... +ух=О. (2.2) Элементы х, у, ..., е, не являющиеся линейно зависимыми, мы будем называть линейно независимыми. Дадим другое определение линейно независимых векторов, построенное на логическом отрицании содержания определения 1. Определение 2. Элементы х, у, ..., е пространства Л называются л и н е й и о и е з а в и с и м ы м и, если линейная комбинация (2.1) является нулевым элементом пространства )т лиигь при условии а='р=... =у=О.
Теорема 2.3. Для того чтобы элементы х, у, ..., е пространства Й были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть элементы х, у, ..., я линейно зависимы, т. е. справедливо равенство (2.2), в котором хотя бы одно из чисел а, р, ..., у отлично от нуля. Пусть, ради определенности,а ~ О. Тогда, поделив (2.2) на а н введя обозначения Х = †„, ..., р = ††, мы можем ') См, выпуск едяелнтячесяея геометряяе, гл.
2, $ 1, и. 3. 4 з) БАзис и РАзмеРнОсть линейнОГО НРостРАнствА е, = (1, О, О, ..., 0), е, = (О, 1, О, ..., 0), е, = (О, О, 1, ..., 0), (2.5) в„=(0, О, О, ..., 1) являются линейно независимыми, а совокупность л элементов (2.5) и еще одного п р о и з в о л ь н о г о элемента х = (к„к„..., к„) пространства А" уже образует линейно зависимую систему элементов. Рассмотрим линейную комбинацию элементов (2.5) с какими- либо числами а„ а„ а„ ...,а„.
В силу аксиом эта линейная комбинация представляет собой элемент а,е, + а„о, +... + а„е„(а„аэ, ..., а„), который является нулевым лишь при условии а, = а, = ... = = а, = О. Но это и означает линейную независимость элемен- тов (2.5). переписать (2.2) в виде х=Ху+... +рл, (2.3) а это и означает, что элемент х является линейной комбинацией элементов у, ..., г. 2) Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть один из элементов (например, х) является линейной комбинацией остальных элементов. Тогда найдутся числа А, ..., и, такие, что справедливо равенство (2.3). Но это последнее равенство можно переписать в виде ( — 1)х+Ху+...+Ил=О.
(2.4) Так как из чисел ( — 1), А, ..., р одно отлично от нуля, то равенство (2.4) устанавливает линейную зависимость элементов х, у, ..., я. Теорема доказана. Справедливы два элементарных утверждения: 1. Если среди элементов х, у, ..., л имеется нулевой элемент, то эти элементы линейно зависимы. В самом деле, если, например, х = О, то равенство (2.2) справедливо при а = 1, () = ... = = у = О. 2. Если часть элементов х, у, ..., я являются линейно зовисимими, то и все эти элемента являются линейно зависимыми. В самом деле, если, например, злементы у, ..., л линейно зависимы, то справедливо равенство ()у+ ...
+ ул = О, в котором не все числа (), ..., т равны нулю. Но тогда с теми же числами 5, ..., у и с а = 0 будет справедливо равенство (2.2). В заключение рассмотрим вопрос о линейной зависимости злементоз пространства А", введенного в примере 3 п. 1 $1. Докажем, что н элементов указанного пространства Ггл.
э лине иныв пространства Докажем теперь, что система, состоящая из и элементов (2.5) и еще одного п р о и з в ол ь ного элемента х = (х„х„..., х„) пространства А", уже является линейно зависимой. В силу теоремы 2.3 достаточно доказать, что элемент х = (х„х„..., х„) представляет собой линейную комбинацию элементов (2.5), а это очевидно, ибо в силу аксиом х (хы хэ ° ° > хв) ~" хдвд + хдвэ + + хвва 2. Базис н координаты. Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство )с. Определение.
Совокупность линейно независимых элементов вд, еа, ..., е„пространства )с называется б а з и с о м этого пространства, если для каждого элемента х пространства )с найдутся вещественные числа х„х„..., х„такие, что справедливо равенство х = х,в, + х,е, +... + х„в„. (2.6) При этом равенство (2.6) называется р а з л о ж е н и е м элементах по базисуе„в„...,е„,ачислах„х„..., х„ называются к о о р д и н а т а м и элемента х (относительно базиса е„е„..., в„).
Докажем, что каждый элемент х линейного пространства )с может бьипь разложен по базису в„ва, ..., в„е д и н с т в е иным способом, т.е. координаты каждого элемента хотиосительно базиса ед, в„..., е„определяются о д н о з и а ч н о. Допустим, что для некоторого элемента х наряду с разложением (2.6) справедливо еще и другое разложение по тому же самому базису (2.7) х = хдс~ + хэвд+...
+ х'е,. Почлеиное вычитание равенств (2.6) и (2.7) приводит нас к соотношению ') (х~ — х1) в, +(хэ — хэ)вэ+... +(х, — х,')в„=О. (2.8) В силу линейной независимости базисных элементов в„е„... ..., е„, соотношение(2.8) приводитк равенствам х,— хд = О, х,— хэ О, ~ хь хч О или х1 х| ° хэ — хэ1,,д ха ~ ха Единственность разложения по базису доказана. Значение базиса заключается также и в том, что операции сложения элементов н умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами — координатами этих элементов.
Именно справедливо следующее утверждение. ') Воэможность почлениого вычитании равенств (2.6) и (2.7) и проиэводимой группировки членов вытекает иа аксиом 1' — 8'. е 21 БАзис и РАзмерность линейнОГО пРОстРАнстВА 49 Теорема 2.4. При сложении двух любых элементов линейного пространства )т их координаты (относительно любого базиса пространства )т) складываются; лри умножении лроизвольного влемента на любое число Х все координаты етого элемента умножаются на Х.
Доказательство. Пусть е„е,,...,е„— произвольный базис пространства )т, х х,е, + х,е, + ... +х„е„и у = = у,е, + увев+ ... + у„е„— любые два элемента этого пространства. Тогда в силу аксиом 1' — 8' х+ у = (х, + у,) е, + (х, + у,) е, +... + (х, + у„) е„, АХ=(ХХ,)Е,+ (Хкв)Е,+... +(ХХ„)Е„. В силу единственности разложения по базису теорема доказана. Приведем примеры базисов конкретных линейных пространств. Из аналитической геометрии известно, что любые три некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве Ва всех свободных векторов (это пространство рассмотрено в примере 1 и. 1 3 1). Заметим далее, что совокупность л элементов (2.5), рассмотренных в конце п. 1, образует базис в линейном пространстве А„, введенном в примере 3 п. 1 31. В самом деле, в конце предыдущего пункта доказано, что элементы (2.5) линейно независимы и что любой элемент х = = (х„х„..., х„) пространства А" представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов (2.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
