В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Убедимся, наконец, что базис линейного пространства (х), введенного в примере 2п. 1 $ 1, состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой н е н у л е в о й элемент этого пространства (т. е. любое положительное вещественное число х,, не равное 1). Достаточно доказать, что для любого положительного вещественного числа х найдется вещественное число Х такое, что х хое *). Но это очевидно: достаточно взять Х = 1ои,,х. 3. Размерность линейного пространства. Как и выше, будем рассматривать произвольное вещественное линейное пространство Я, Олределение 1. Линейное пространство !т называется л-мерным, если в нем суи(ествует л линейно независимых элементов, а любые (л + Ц элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число л называется р а амер н остью пространства 1Т.

") Напомиим, что проиввепеиие элемента и, иа число Х опрепеляется как е ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 50 Размерность пространства 1« обычно обозначают символом й)щ )«. 0»ределение 2. Линейное пространство )с называется б е си о н е ч н а м е р н и м, если в нем существует любое число линейно независимых элементов *). В настоящей книге мы будем изучать в основном пространства конечной размерности».

Бесконечномериые пространства составляют предмет специального изучения. (Они изучаются в гл. 10 и 11 выпуска «Основы математического анализа», часть П.) Выясним связь между понятием размерности пространства и введенным в предыдущем пункте понятием базиса. Теорема 2.б. Если )с — линейное»ространство размерности», то любые и линейно независимых элементов этого»ространсгпва образуют его базис.

Доказательство. Пусть е,,ез, ...,е„— любая система» линейно независимых элементов пространства )с (существо" ванне хотя бы одной такой системы вытекает из определения 1). Если х — л ю б о й элемент )с, то, согласно определению 1, система (» + 1) элементов л, е„е„..., е„линейно зависима, т. е. найдутся не все равные нулю числа ае, а„а„..., а„такие, что справедливо равенство а,х+ а,е, + а,е, +... + а„е„= О.

(2.9) Заметим, что число а, заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из равенства (2.9) вытекала бы линейная зависимость элементов е„е„..., е„). Но тогда, поделив равенство (2.9) на ае а« и» ап н положив х = — — хз = — — ...

х = — —. мы по- 1 И' а ° "'Ф и а е « е лучим из (2.9) (2.10) х=х,е, +х,е,+... +х„е„. Так как х — произвольный элемент )с, то равенство (2.10) доказывает, что система элементов е„е„..., е„является базисом пространства гс. Теорема доказана. Теорема 9.6. Если линейное пространство )с имеет базис, состояи(ий из» элементов, то размерность )с равна».

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система» элементов е„е„... ..., е„является базисом пространства)с. Достаточнодоказать,что л ю б ы е (» + 1) элементов этого пространства мт, х„..., м„„ линейно зависимы "). Разложив каждый нз этих элементов по ') Для обо»печения того, что прострзнство й является бесконечиомеряым, используют следующую символику: Енп и = оо. ") Ибо базисные элементы е„е,, ..., е„обрвзуют систему л линейно яеззвнсимых злемеитов прострзнствз К. З 21 БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА 51 базису, будем иметь х, = атте~ + аттет+...

+ а,„е„, х,=а„е,+а„е„+... +а,„е„, х„„=а,„„„е, +а<„„„е, +... +а,„„,„е„, где ан, ан, ..., аини „вЂ” некоторые вещественные числа. Очевидно, линейная зависимость элементов х„ х„ ..„ х„„ эквивалентна линейной зависимости строк матрицы ан атт ' ато ап атт ° а<о,птахам.от... ото+по Но строки указанной матрицы заведомо линейно зависимы, нбо порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (и+ 1) строк и и столбцов) не превосходит л, и хотя бы одна из (л + 1) ее строк не является базисной и по теореме о базисном миноре *) представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк.

Теорема доказана. Обращаясь к примерам, рассмотренным в конце предыдущего пункта, мы теперь можем сказать, что размерность пространства В, всех свободных векторов равна трем, размерность пространства А" равна и, а размерность пространства (х) равна единице. Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство С (а, Ь) всех функций х = х (1), определенных и непрерывных на сегменте а ~ 1 < Ь (см. пример 4 нз п.1 $1). В самом деле, для любого номера л система (л + 1) элементов этого пространства 1, 1, (т, ..., 1" является линейно независимой (ибо в противном случае некоторый многочлен Со + С,1+ С,(т + + ...

+С„Г", не все коэффициенты фф..., С„которого равны нулю, оказался бы тождественно равным нулю на сегменте а <1<Ь). 4. Понятие изоморфизма линейных пространств. В этом пункте мы покажем, что различные линейные пространства одной и той же размерности л в смысле свойств, связанных со введенными в этих пространствах операциями, по сутцеству не отличаются друг от друга. Так как в линейных пространствах введены лишь операции сложения элементов н умножения элементов на числа, то естественно сформулировать следующее определение.

') См. теорему 1.6 из а. 2 6 3 га. 1. лииаиныи пэоствдиствд Определение. Лва произвольных вещественных линейных пространства Р и )с' называются и з о м о р ф н ы м и, если между элементами втих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие *) так, что если элементам хи у пространства Я отвечают соответственно элементы х' и у' пространства )с', то элементу х+ у отвечает элемент х' + у', а элементу Хх при любом вещественном Х отвечает элемент Хх'.

Заметим, что если линейные пространства )т и Я' изоморфны, то нулевому элементу К отвечает нулевой элемент Р' и наоборот. (В самом деле, пусть элементу х пространства )с отвечает некоторый элемент х' пространства )с'. Тогда элементу 0 хпространства Я отвечает элемент О х' пространства Г.) Отсюда следует, что если в случае изоморфизма алементам х, у, ..., е пространства Я отвечают соответственно элементы х', у', ..., х' пространства Я', то линейная комбинация ах + + ру + ... + уе является нулевым элементом пространства я тогда и только тогда, когда линейная комбинация ах' + + ))у' + ...

+ уе' является нулевым элементом пространства )т'. Но это означает, что если пространства Р и )с' изоморфны, то максимальное число линейно независимых элементов в каждом из этих пространств одно и то же. Иными словами, два изоморфных пространства обязаны иметь одинаковую размерность. Стало быть, пространства разной размерности не могут быть изоморфны. Докажем теперь следующее утверждение.

Теорема 2.7. Любые два и-мерных вещественных линейных пространства тс и эс' изоморфны. Д о к а з а те л ь с т в о. Выберем в Я какой-либо базис е„ ет,. „е„, а в К вЂ” какой-либо базис е~, ее, ..., е„'. Поставим в соответствие каждому элементу х = х,еь+ х,е, + .. + х„е пространства Я элемент х' = х~е~ + хает + ... + х,е. пространства К (т. е. мы берем в качестве х' тот элемент Р', который имеет относительно базиса е(, ее, ..., е, те же самые координаты, что и элемент х относительно базиса е„е„..., е„).

Убедимся в том, что установленное соответствие является взаимно однозначным. В самом деле, каждому элементу х пространства Я однозначно соответствуют координаты х„х„..., х„, которые в свою очередь определяют единственный элемент х' пространства Я'. В силу равноправности пространств )т и )с' каждому элементу х' пространства Й' в свою очередь соответствует единственный элемент х пространства Я. е) Напомнив, что соответствие немду аленевтани двух множеств к н й' вааываетси вааимно одноаначныы, если прн атон соответствии каждому аленеиту й отвечает одни в только одни аленент й', причем каждый аленент й' отвечает одному н только однону алеыенту к.

1 з1 ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ 53 Остается заметить, что если элементам х и у пространства 1С отвечают соответственно элементы х' и у' пространства )с', то в силу теоремы 2.4 элементу х+ у отвечает элемент х' + у', а элементу Хх отвечает элемент Хх'. Теорема доказана, Из приведенного нами рассмотрения следует, что единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность. ф 3.

Подпростраиства линейных пространств 1. Понятие подпространства и линейной оболочки. Предположим, что некоторое подмножество Ь линейного пространства )с удовлетворяет следующим двум тр е б о в а н и я м: 1'. Если элементы х и у принадлежат подмножеству Ь, то и сумма х+ у принадлежит этому подмножеству. 2'. Если элемент х принадлежит подмножеству Ь, а Х— любое вещественное число, то и элемент Хх принадлежит подмножеству Ь. Убедимся в том, что подмножество Ь, удовлетворяющее требованиям 1' и 2', само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества Ь аксиом 1' — 8' из определения линейного пространства. Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3 и 4, заведомо справедливы для элементов подмножества Ь, поскольку они справедливы для в с е х элементов пространства )т.

Характеристики

Список файлов книги