В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. при т = и ранг г матрицы (3.2) будет меньше числа т = и тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. ') Действительно, подставив в систему (3,7) нули на место всех неизвестных «,, «а, „«е, мы обратим в тождества все уравнения этой системы. ") То есть система (3 7), у которой число уравнений т равно числу неизвестных л. системы линвиных уРАВнении !Гл. 3 3. Условие совместности общей линейной системы. Установим теперь необходимое и достаточное условие совместности общей (вообще говоря, неоднородной) системы вида (3.1). С этой системой связаны две матрицы; матрица А, определяемая соотношением (3.2), которую принято называть о с н о в н о й м а т р иц е й с и с т е м ы (3.1) (она составлена из коэффициентов при неизвестных), и матрица аи ам . ° ° оьп Ь, ом ом ° ° ° аел Ьа Аь= амт ома ...
оьм Ьы которую принято называть расширенной матрицей с и с т е м ы (3.1) (она получается из основной матрицы путем добавления к этой матрице столбца (3.5) свободных членов). Справедлива следующая основная теорема. Теорема 3.2 (теорема Кронекера — Капелла *). Для того чтобы линейная система (3.1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Доказательство. !) Необходимость. Пусть система (3.1) совместна, т. е.
существуют такие числа с,, с„..., с„, что справедливы равенства а„с, + а„с, +... + а,„с„= Ь,, амс, + аеаса +... + а,„с„= Ь,„ (3.9) а,с, +а„„с,+... +а „с„=Ь Обозначим через г ранг о с н о в,н о й матрицы системы (3.1) и рассмотрим линейную оболочку т'. г базисных столбцов этой матрицы.
В силу теоремы 1.6 о базисном миноре любой столбец основной матрицы принадлежит указанной линейной оболочке Ь. Иными словами, любой столбец расширенной матрицы (3.8), кроме последнего ее столбца, принадлежит указанной линейной оболочке !.. Иэ равенств (3.9) следует, что и последний столбец расширенной матрицы (3.8) принадлежит линейной оболочке й (ибо этот последний столбец в силу равенств (3.9) линейно выражается через все столбцы основной матрицы и поэтому линейно выражается через ее базисные столбцы). Таким образом, все столбцы расширенной матрицы (3.8) принадлежат укаэанной линейной оболочке т'..
В п. 2 9 3 гл. 2 мы уже установили, что размерность указанной линейной оболочки 1. равна г. Это означает, что любые г+ 1 столбцов расширенной е) Леопольд Крокекер (1923 — 1991) — иемеакий математик, Альфред Капелли (1855 — 1910) — италькиский математик.
й т1 отыскания вешания линяпноя системы 69 матрицы (3.8) линейно зависимы, т. е. ранг расширенной матрицы (равный максимальному числу линейно независимых столбцов втой матрицы) также равен числу г. Необходимость доказана. 2) До от а то ч ность. Пусть ранги основной и расширенной матриц совпадают. Тогда г базисных столбцов основной матрицы будут являться базисными столбцами н расширенной матрицы (3.8) '), По теореме 1.6 о базисном миноре последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию указанных г базисных столбцов. Стало быть, последний столбец расширенной матрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную комбинацию и всех столбцов основной матрицы (3.2) *'), т.
е. существуют числа с„с„..., нв такие, что справедливы равенства (3.9). Последние равенства означают, что числа с„сз, ..., с„представляют собой решение системы (3.1), т. е. зта система является совместной. Теорема полностью доказана. й 2. Отыскание решений линейной системы Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности линейной системы, но не дает способа нахождения решений этой системы. В этом параграфе мы займемся отысканием решений линейной системы (3.1).
Сначала мы рассмотрим простейший случай квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы, а затем перейдем к отысканию совокупности всех решений общей линейной системы вида (3.1). 1. Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрацы, отличным от нуля.
Пусть дана квадратная система линейных уравнений аых, + атака+... + агах„= Ьы азтхз+ аыхз+... + азвхв Ьа~ (3.10) а„,х, + аизхз+... + а„„х, Ь„ с отличным от нуля определителем б основной матрицы ам ате ° ° . ата озз оаз ° ° ° нта (3.11) А а,а лаз ° .. а ') Ибо указанные г базисных столбцов линейно независимы, а большего чем г числа линейно независимых столбцов расширенная матрица не имеет, ЕЕ) Не изменяя линейной комбинации г бааиснык столбцов, мы можем ко.
бавнть к ней все небазисные столбцы с множителями, равными кулки (гл. в системы линеЙных уравнении 70 Докажем, что такая система имеет и притом единственное решение, и найдем это решение. Сначала докажем, что система (3.10) может иметь только одно решение (т. е. докажем единственность решения системы (3.10) в предположении его существования). Предположим, что существуют какие-либо и чисел х„х„..., х„ такие, что при подстановке этих чисел в систему (3.10) все уравнения этой системы обращаются в тождества (т. е.
существует некоторое решение системы (3.10) х„х„..., х„). Тогда, умножая тождества (3.10) соответственно иа алгебраические дополнения Атт, Аен ..., А„) элементов 1-го столбца определителя Гь матрицы (3.! 1) и складывая затем получающиеся при этом тождества, мы получим (для любого номера 1, равного 1, 2, ..., л) ~ х! (ат!Ае) + аыАы +... + ив! Аа)) = Ь,Ац+ ЬэАы + ° ° ° + Ьп А„р ! ! Учитывая, что сумма произведений элементов т-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов 1-го столбца равна нулю при ! -ь 1' и равна определителю б матрицы (3.1Ц при ! = 1«), мы получим из последнего равенства Хтб ЬтАт)+ Ь„Ат, +... + Ь„А„Р (3.12) Обозначим символом бЯЬ!) (или более кратко символом й!) оиределитель, получающийся из оиределителя б основной матрицы (3.11) заменой еео 1-еа столбца столбцом из свободных членов Ь„ Ье, ..., Ь„(с сохранением без изменения всех остальных столбцов Ь).
Заметим, что в правой части (3.12) стоит именно определитель б! (Ь,) '*), и это равенство принимает внд хтб = бт () = 1, 2, ..., н). (3.13) Поскольку определитель б матрицы (3.11) отличен от нуля, равенства (3.13) эквивалентны соотношениям — ((=1, 2..., ). (3.14) Итак, мы доказали, что если реиыние х„хе, ..., х системы (3.10) с онределителем Ь основной матрицы (3.11), отличным от нуля, существует, то вто реитение однозначно определяется формулами (3.!4).
Формулы (3.14) называются ф о р м у л а м и К р а м ера «"*). «) См. свойство 4' нэ и. 4 4 й гл. 1. ««) Чтобы убеднтьсн в этом, достаточно аапнсать рввложенне определители а! (Ь!) по элементам (1-го столбца. «") Габриель Крамер (1704 — 17бй) — швейцарский математик.
Ь з) отыскднна рашвннн лннвннон системы 71 Еще раз подчеркнем, что формулы Крамера пока получены нами в предположеннн существования решения н доказывают его единственность. Остается доказать существование решения системы (3.10). Для этого в силу теоремы Кронекера — Капеллн достаточно доказать, что ранг основной матрицы (3.11) равен рангу расширенной матрицы ') аи азз . ° ° аш Ь, изз взз ° .. авз Ьз 3 якд азз ... аал Ьв А,=~ (3.15) но это очевидно, нбо в силу соотношения зз ~ О, ранг основной матрицы равен и, а ранг содержащей и строк расширенной матрнцы (3.!5) больше числа и быть не может н потому равен рангу основной матрицы.
Тем самым полностью доказано, что квадратная система линейных уравнений (3.10) с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет и притом единственное реизение, определяемое формулами Крамера (3.14). Доказанное нами утверждение еще проще устанавливается матричным способом. Для того чтобы сделать это, заменим (как н в и. 1 3 1) систему (3.10) эквивалентным ей матричным урав- нением АХ = В, (3.16) где А — основная матрица системы (3.11), а Х н  — столбцы В= ч) Существует н другой способ доказательства существования решения системы (3.
10), заключающийся в проверке того, что числа х,, х„..., хл, определяемые формулами Крамера (3,14), обращают в тождества все уравнения системы (3. Ю). первый нз которых подлежит определению, а второй задан. Так как определитель Л матрицы А отличен от нуля, то существует обратная матрица А з (см. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
