В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем, безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое с к ал я р н ы м произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что н правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства. в которых определено указанное правило, называются е в к л и д о в ы м и п р о с т р а н с т в а м и. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств.
ф 1. Вещественное евклидова пространство н его простейшие свойства 1. Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство гГ называется в е щ е с т в е ни ым ев к л и до вы м пространством (или просто е в к л ид о в ы м пространством), если выполнены следующие два требования: !. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скал яр н ы м п р о из ее ден и е м этих элементов и обозначаемое символом (х, у). 1!. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам: 1'. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство илн симметрия).
2'. (х1 + хы у) = (х„у) + (хы у) (распределительное свойство). 3'. (Хх, у) = Х (х, у) для любого вещественного Х. 4'. (х, х) > О, если х — ненулевой элемент; (х, х) = О, если х — нулевой элемент. Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объек- а т] Вещественное евклидово ПРостРАнстео вз 1 х (1) у (1) ~й. а (4.1) Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1' — 4'.
В самом деле, справедливость аксиомы 1' очевидна; справедливость аксиом 2' и 3' вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4' вытекает из того, что интеграл ) ла (1) г(1 Р от непрерывной неотрицательной функции х'(1) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а ~1~Ьчв) (т. е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства). Таким образом, пространство С 1а, Ь) с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство. П р и м е р 3, Следующий пример евклидова пространства дает а-мерное линейное пространство А" упорядоченных сово- ') См. выпуск «Аналнтнческая геометрня», гл.
2, 4 2, и. 3. »*) См. вмпуск »Основы математкческого аналнза», часть 1, свойства 1' н 2' нз и. 1 4 6 гл. 1О. тов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удавлетворялн восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения), Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется к о як р е т н ы м. Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
П р и м е р 1. Рассмотрим линейное пространство В, всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1' — 4' *).
Стало быть, пространство В, с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством. П р и м е р 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С (п, Ь| всех функций х(1), определенных и непрерывных на сегменте а ~ 1~ Ь. Скалярное произведение двух таких функций х (1) и у (1) определим как интеграл (в пределах от а до Ь) от произведения этих функций ь ввклидовы пространства наконец, справедливость аксиомы 4' вытекает из того, что (х, х) = э э 2 = х! + хт + ...
+ х„всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х, = х, = ... = х„= О. Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом Е". П р и м е р 4. В том же самом линейном пространстве А" введем скалярное произведение любых двух элементов х = = (хы хм " х,) и у = (ут, у„..., у„) не соотношением (4.2), а другим более общим способом, Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка и ~оы и„... ага~ А= ~ 'е' ~ оа~ аае ... оаа ~ (4.3) Составим с помощью матрицы (4,3) однородный многочлен второго порядка относительно и переменных х„х„..., х„ е а Е ~„ а!ах,ха.
$ !а ! Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется к в а д р а т и ч и о й ф о р м о й (порождаемой матрицей (4.3))'). Квадратичная форма (4.4) называется п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е л е н н о й, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных х„хэ, ..., х, одновременно не равных нулю *').
Так как при х, = х, = ... = х„= О квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная квадратичная форма обраи(алтея в нуль лишь при условии х, = х, = ... = х„= О. ') Квадратичные формы снстематнческн нэучакпсн в главе 7 этой кннгн. ") В главе 7 этой книга будет указано необкоднмое н достаточное условие воложнтельной овределенностн квадратнчной формы. купностей п вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х = (х„х„..., х„) и у = (у„уа, ..., у„) которого определяется равенством (х, у) =х,у,+х,у,+ "° +х„у„. (4.2) Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1' очевидна; справедливость аксиом 2' и 3' легко проверяется (достаточно вспомнить определение операций сложения элементов н умножения их на числа: (х„х„..., х„)+(у„у„..., у„)= =(х,+ у„х,+ у„..., х„+ у„) Х(хг, х„..., х„) =().хг, Хх„..., Хх„)); Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям: 1'.
Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4). 2'. Была симметричной (относительно главной диагонали), т. е. удовлетворяла условию а,„= ад, для всех 1 = 1, 2, ..., п и всех й = 1, 2, ..., и. С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1' и 2', определим скалярное произведение двух любых элементов х = (к„к„..., х„) и у = (у„у„..., у„) пространства А" соот- ношением л п (х, у)= ~ ~ а,дх,у». $!д 1 (4.5) Легко проверить справедливость для так определенного скалярного пеооизведения всех аксиом 1' — 4'. В самом деле, аксиомы 2' и 3, очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1' вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4' вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение (х, х), является положительно определенной.
Таким образом, пространство А" со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является евклидовым пространством. Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство Е", рассмотренное в примере 3. 2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства.
Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности. Теорема я.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство (4. 6) (х, у)'а(х, х)(у, у)„ называемое не р авен с твом Ко и и — Б у и я к о век ого. До к а з а т ел ь ство. Для любого вещественного числа А„ в силу аксиомы 4' скалярного произведения, справедливо неравенство (Ах — у, Хх — у) ~ О. В силу аксиом 1' — 3' последнее неравенство можно переписать в виде У(х, х) — 2Х(х, у)+ (у, у) ) О.
! з ~1 ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЕВКЛНДОВО ПРОСТРАНСТВО аа евклидовы пространства )ГЛ. 4 Необходимым и достаточным условием иеотрипательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискримннанта, т. е. неравенство *) (х, у)' — (х. х)(у, у) ~0. (4.7) Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема доказана. Наша очередная задача — ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие н о р м ы (или д л и н ы) каждого элемента.
Для этого введем понятие линейного нормированного пространства. Определение. Линейное пространство Я называется и о р м ир о в а и и ы м, если выполнены следующие два требования: 1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства )г ставится в соответствие вещественное число, называемое н о р м о й (или д л и и о й) указанного элемента и обозначаемое символом 1х~.
11. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам: 1'. 1х~)0, если х — ненулевой элемент; 1х~= О„если х — нулевой элемент. 2'. ~ах~= ~Х!')х) для любого элемента х и любого веи(есямениого числа а,. 3'. Для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство: 1х+ ч ~ ~ 1х1+ 1,у), (4.8) иазыеаемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского). Теорема 4.2. Всякое евклидова пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить равенством 1х1=у/(х, х). (4.9) Д о к а з а т ел ь от в о. Достаточно доказать, что для ноапмы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1 — 3' из определения нормированного пространства. Справедливость для нормы аксиомы 1' сразу вытекает из аксиомы 4' скалярного произведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
