В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Н. Тихонову алгоритм, позволяющий находить так называемое н о рм а л ь н о е (т е. наиболее близкое к началу координат) решение Х с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы А и столбца В '*). Введем в рассмотрение так называемые сферические нормы столбцов В и Х и матрицы А, положив их равиымн 1В1= $/ ла Ь'„!!Х)= $/ ~; х,', !А))= ~ ~~а!) ° (4.27) Заметим, что нормы столбцов В и Х определяются как обычные нормы векторов — элементов пространств Ем и соответственно Е". Норма матрицы А согласована с нормой и-мерного столбца Х в том смысле, что норма и»-мерного столбца АХ, равного произведению матрицы А на столбец Х, удовлетворяет условию ее*) (!АХ! ~ !)А~!)Х).
(4,28) Будем считать, что вместо точных значений элементов матрицы А = !а!11! и столбца правых частей В = ~Ь! ~! нам заданы прибли. женные значения А = !а,)), В = 11Ь,!). Матрицу А (столбец В) будем называть 6-п р и 6 л и ж е н и е м матрицы А (столбца В), если справедливо неравенство сгл 4 нвклидовы поостэднствл Назовем нормальным решением совместной сн- а стемы (4.26) то ее решение Х'=, норма )Хе) которого яв. ха ляется наименьшей среди норм ) ) всех решений Х этой системы. Заметим, что у всякой совместной системы (4.26) (в том числе и у неопределенной) существует единственное нормальное решение. Введем в рассмотрение следующую функцию и переменных ~ х! х„ х„ ..., х„ или одного столбца Х "л 1 Г" (х„..., х„, А, В) =Р'(Х, А, В) =)АХ вЂ” В)в+ а(Х(а, (4.30) зависящую как от параметров от элементов матрицы А и столбца В, а также зависящую от некоторого числового параметра а.
В подробной записи эта функция выглядит так: т Г л л ге(Х, А, В) = ~ ~ ~~ ~ат,х, — Ь1~ + а ~~ ха. (4.30') 1 1-! /1 Фактически ге (Х, А, В) является функцией от элементов Х евклидова пространства и-мерных столбцов Ел. Такого рода функцию, аргументом которой служат элементы некоторого линейного пространства, принято называть ф у н к ц и о н а л о м").
Легко убедиться в том, что при любом фиксированном а ) 0 неотрицательный функционал (4.30') достигает своего минимального (во всем пространстве Е") значения в единственной точке е 1 Х" = " пространства Е". е В самом деле, дважды дифференцируя функцию (4.30'), по- »1 ( 1 при й=!, лучим — = 2 ~ а!»а„-)- 2аб»1, где бы = ~ дх» дх! ~ 0 прн Й~Е Следовательно, второй дифференциал функции г"" имеет вид Г'л Ч л л сРЕ ' = ~; ~~ ~ ~ ада„~ с(х» с(х! + сс ~~ Е б», с(х» с(х! = »-!1-! 1-! » 11-! Рл Г л л = ~~ ~ ~~ ~а!»с(х»~ +а Я (с(х»)а. !1»! »-! ') 4!ункцнокалм снсмматяческн научаются в следующей главе.
)оз метод вагвлявизлции Из этого равенства вытекает оценка й«Р*~а Е (а«ь)в, означаь 1 ющая, что функция гь является с т р о г о в ы п у к л о й и в н и з. Крометого, г" - +ос при1Х) = 1»У ~ хе- со. Отсюда е ! очевидным образом следует, что Е" имеет и притом единственную точку минимума Хе *).
Методы отыскания минимальных значений функционалов вида (4.30) хорошо разработаны '). Докажем следующую фундаментальную теорему, сводящую вопрос о приближенном отыскании нормального решения системы «ч ! (4.26) к отысканию того элемента Х" = ., на котором дости- «а гает своего минимального значения функционал (4.30). Теорема А.
Н. Тихонова. Пусть матрица А и столбец В удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместноспеь системы „е ! (4.26), Хе = — нормальное решение этой системы, А— «е » -и иближение мат и ы А  — 6-и иближение столб а В е 6 6 р Р ц Р ц, ()и а (6) — какие-либо возраспииощие функции 6, стремяи(иеся к нулю при 6 — 0 + О и такие, что 6' к в (6) а (6). Тогда для любого в > 0 найдется положительное число 6 = 6 (а, )Хе')) такое, что при любом 6 < 6, (е, ) Х'1) и при любом а, удовлетворяющем условию — 6' а се па(6), (4.3)) «" ! элемент Х" = ., доставляющий минимум функционалу (4.30), е и удовлетворяет неравенству (4.32) (Хе Хе) ~ е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в линейном пространстве ~) в! Е'" подмножество (Ул) всех элементов У= ~..., представи)) «, мых в виде У = АХ, где Х=~~... — произвольный элемент ') См., в час«аоста, выпуск 1 «Осковм математическою вавлазв», часть !, гв. 14, 4 Ч. «") См. твм в«е. [гл. а ВВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА пространства Е".
Совершенно очевидно, что подмножество (У„-] представляет собой линейное пространство и поэтому является подпространством Е . Обозначим через (Ул( ортогональное дополнение (Уй) (до всего Е"') и разложим Ем в прямую сумму подпространств (Ул( и (У„-( '). Пусть Вл обозначает проекцию столбца В на подпространство ( Ул), так что В = Вл + ( — Вл), где( — В-„) — элемент (У-). Тогда, поскольку для любого элемента Х пространства Е" столбец АХ является элементом (Ул), мы получим следующее разложение: АХ вЂ” В = (АХ вЂ” В л) + (В л — В), в котором элементы (АХ вЂ” Вл) и (Вл — В) ортогональны друг другу и принадлежат соответственно (Ул) и (Ул(. Пользуясь теоремой Пифагора (см.
и. 2 2 1), мы получим (для любого элемента Х пространства Е") ((АХ вЂ” В((а =((АХ вЂ” Вл(а+( — Вл((а (4 ЗЗ) Из (4.33) следует, в частности, неравенство 1 — Вл( а((АХ вЂ” В((, (4.34) также справедливое для любого элемента Х пространства Е", Из (4.33) и (4.30) мы получим, что для любого Х из Е" Р'(Х, А, В) =(( — Вл((а+Е" (Х, А, Вл), (4.35) т. е. функционалы, стоящие в левой и в правой частях (4.35), имеют общий элемент Х", доставляющий им минимум, Установим теперь для любого а, удовлетворяющего условиям (4,31), следующее неравенство Р'(Хо, А, Вл) чае(б)Со+а((Хо(( (4.36) в котором через С обозначена величина С = 2 (1 + ((Хо((), а Х'— нормальное решение системы (4.26).
Так как столбец Х" доставляет минимум функционалу, стоящему в правой части (4.35), то Ра(Хи А Вл) < Р" (Хо А Вл) =1АХо Вл((а+ а(Хо)ч (4.37) о) Си. и. 3 4 2 втой главы. мвтод гвгклягизации Пользуясь соотношением АХ' = В и неравенством треугольника, получим»»АХе — Вй »» ЦАХ« — АХ'»+ »  — ВЦ + Ц — Вй ». В правой части последнего неравенства воспользуемся соотно* шениями (4.28) и (4.29), а также неравенством (4.34), взятым при Х = Х'. Получим »»Ах« Вя Ц» б »Хо(»+ 6+»»В АХ«»» (4 38) Еще раз учитывая, что АХ' = В, и снова пользуясь неравенством треугольника и соотношениями (4.28) и (4.29), получим, что ЦВ Ах«»»» )»В В»»+»»АХ« АХ«»»» 6,+6.»)Х«Ц (4.39) Из (4.38) и (4.39) следует, что ЦАХ« — ВХ»»» 26(1+»»Хе») =Сб, (4.40) такая, что для всех номеров и ((х" — х(» е,, (4.42) Так как множество»Х"» ограничено, то в силу теоремы Больцаио — Вейерштрасса из последовательности (Х""» можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Чтобы не менять обозначений, будем считать, что вся последовательность (Х "» сходится к некоторому столбцу Х' = , то есть((Х~" — Хе~-» -«-0 при и-«. оо. где С = 2 (1 + Ц Х'»»). Для завершения доказательства оценки (4.36) остается подставить (4.40) в (4.37) и воспользоваться неравенством (4.3П, Поскольку из определения функционала Р" сразу вытекает, что а »Х<'»~ » Р' (Х, А, Вл), то из доказанного нами неравенства (4.36) вытекает также следующее неравенство: Цхи»», »»Хо»„» е (6) (4.41) в котором е, (6) — 0 при 6 — 0 + О.
Из (4.41) вытекает, что при всех достаточно малых 6 множество»Х" » точек Х" пространства Е" является ограниченным. Теперь уже нетрудно доказать теорему от противного. Предположим, что для некоторого е, ) 0 существует последовательность 6„- 0 + 0 и отвечающая ей последовательность («х„» чисел а„, удовлетворяющих условию (4.31в) [гл. з 1ев ввклидовы пэостэанств* Убедимся в том, что Ц1 АХ~" — АХ' 1) -~ 0 при п -~.
оо, (4.43) В самом деле, пользуясь неравенством треугольника, оценками (4.28), (4.29), (4.36) и (4.40) и соотношением (4.31а), получим ЦЦАХ"а — АХ Ц АР ЦАХ"л АХ л$$+ЦАХ и ВХЦ+ЦВХ вЂ” АХ Ц~ < 6„ЦХ""Ц+ р~Г~" (Х~", А, Вй)+ С6„~ 6, ЯХ~~Ц+С)+ + Ц/а„е(6„)С+а„ЦХ'Ц'-в 0 прн л-~со. Из неравенства (4АЗ) вытекает, что АХэ = АХа, т. е.
предельный элемент Х' является решением системы (4.26), удовлетворяющим в силу соотяошення (4.41) неравенству ЦХОЦ ~ ~ ЦХ'Ц. Так как по определению для нормального решения Х' справедливо обратное неравенство ЦХ'Ц ~ ЦХ'Ц, то ЦХчЦ = ЦХэЦ, т. е. Хэ = Х', а это противоречит неравенству (4.42), справедлнвом для любого номера л. олученное противоречие завершает доказательство теоремы. ГЛАВА 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В этой главе исследуются так называемые л и н е й н ы е ото б р а ж е н и я линейных и евклидовых пространств, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
