В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что йгп У, = йгп (пп А). Пусть йгп 1', = р, б!ш (пп А) = д и у„у„..., у, — базис в пп А. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из У, в !п1 А е"), то каждому элементу у из пп А можно поставить в соответствие единственный элемент х ~ Уз такой, что Ах = у. Поэтому в 1', определены элементы х, х„..„х такие, что Аха — — у„, й = 1, 2, ..., д. Элементы х„х„...„х линейно независимы, ибо если а,х, + а,х, + ...
+ а «р= О, то А (а,х, + а,х, + ... + архе) = а,у, + а„у, + ... + а,ур — — О, ') Символ нп следует отличать от символа 1щ, используемого для обозначения мнимой части комплексногь числа. ч*) Чтобы убедиться в этом, выберем в У такой базисе,, е„..., ен, что первые г векторов е,, е,,, е, образуют базис в акт А, тогда линеййзя оболочка векторов е,ы, ..., е„представляет собой У, (см. подробнее главу 4). *'") По аналогии слинейнымн операторами, действующими взаимно однозначно из У в У, можно ввести понятие линейного оператора А, действующего взаимно однозначно из линейного пространства У в линейное пространство йт.
Зги операторы карактеризуютсн тем, что различным элементам х, и хз пространства У отвечают различные элементы у, = Ах, и уз = Ахз пространства ВГ. Таким свойством обладает рассматриваемый оператор А, действующий нз пространства У,, в пространство !ш А. действительно, если х, е У,, хз б Уд,хе †.к, ть О, тп хз — Ат б Ут, и поэтому Ак, ~ Ах, (Ах, е нп А, Ахз р 1птА), ибо если бы Ахз= Ахт, то А(х, — х,) = О, т. е.хз — х, С )гег А, что противоречило бы принадлежности х, — х, б У, н условию хз — хт Ф О (У, н 1рег А составляют прямую сумму и поэтому имеют общим лишь нулевой элемент).
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [Гл. в а так как элементы у„у„..., ур линейно независимы, то а, = = а, =,, = а = О, т. е. и хм х„..., х линейно независимы. Таким образом, в У, имеется д линейно независимых элементов. Следовательно, р ~ д (напомним, что р = бип У,). Предполохсим, что р > д, Добавим к линейно независимым элементам х,, х„ ...,х, элементы х„„ х„„ ..„ хр так, что х„ х„ ...,хр образуют базйс в У,. Так как р > д и д = д)ш (ип А), то элементы Ах,, Ах„..., Ахр, принадлежащие [гп А, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа Х„ Х„..., Хр такие, что Х,Ах, + Х,Ах, + ... + ХрАхр — — О.
Отсюда следует, что А (Л,х, + Х,х, + ... + Хрхр) = О. Так как А действует из У, в ип А взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем Л,х, + Х,х, + ° ° + Лрхр = О. Нох„х„..., хр — базис в У,. ПоэтомуЛ, = Х, = ... = Хр —— О. Выше указывалось, что не все Х„Х„..., Хр равны нулю. Следовательно, предположение р > о ведет к йротиворечию. Таким образом, р = д. Теорема доказана. Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1. Теорема о.2. Пусть 1' и У, — два таких надпространства и-мерного пространства У, что й[ш 1', + дип 1', = бип У.
Тогда суи[ествует такой линейный оператор А из А'. (У, У), что У, = = ип А и У, = кег А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дип У, = р, йип У, = д. Выберем в пространстве 1' базис е„е„..., е„так, чтобы элементы ермо ермо ..., е„принадлежали У,. Далее в пространстве У! выберем некоторый базис йи а;, ..., йр. Определим теперь значения линейного оператора А иа базисных векторах е„е„..., е„пространства У следующим образом: Ае,=ни Ае,=й„..., Ае,=й„ Ае„,=б, Ае .е=О, ..., Ае„=О. Далее, если х = х,е, + х,е, + ... + х ер+ х „е „+ ...
+ х„е„, то Ах = хтй', + х,а;+... + хрйр. Очевидно, опеРатоР А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана. Введем понятие р а н г а линейного оператора А. Назовем р а н г о м линейного оператора А число, обозначаемое символом гани А и равное гапо А =йип(ипА).
Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта. Следствие из теоремы Я/. Длл того чтобы оператор А из г'. (У, У) имел обратный А т, необходимо и достаточно, ипобы гапйА = б[ш У и. Пусть А и  — линейные операторы из Ь (У, У). Справедлива следующая теорема. Д о к а з а т е л ь с т в о, Докажем сначала первое нз отмеченных соотношений. Очевидно, пп АВ ы !ш А*). Поэтому йгп (пп АВ) ~ йгп (нп А), т. е. гапд АВ ~ гапд А. Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением '*): )сегВ с: — )сегАВ.
Из этого включения следует, что дпп (кег В) а йип (1сег АВ). Из последнего неравенства в свою очередь следует неравенство йгп и' — йш (1сег АВ) с йгп Р— йш ()сегВ), а нз него, согласно теореме 5.1, получаем йш (пп АВ) ~ йпп (!ш В)„т. е. гапй АВ ~ гана В.
Теорема доказана. Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов. Теорема д.4, Пусть А и  — линейные операторы из 7. (К, )г) и и — размерность К. Тогда ганя АВ ~ ганя А + гапц  — л. Доказательство, Согласно теореме 5.1 йпп (пп АВ) + йш ()гег АВ) = л. Так как гапд АВ = йп| (!гп АВ)„то нз (5.5) получаем гапд АВ = и — аппп (1сег АВ). Поскольку, согласно теореме 5.1, (5.5) (5.6) йпп (1сег А)+ йш ()гег В) =2л — (гапд А+санд В), (5.7) то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство йш (1сег АВ) ~ йш (!сег А) + йш (1сег В).
(5.8) Действительно, нз этого неравенства н нз соотношения (5.6) следует неравенство гапй АВ ~ и — (йш (1сег А) + йш ()сег В)), нз которого, согласно (5.7), сразу же вытенает справедливость утверждения теоремы. Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8).
е)Символ ш здесь и в дальнейшем обозначает включение, т. е. запись А яа В обозначает, что А является подмножеством В. ь'1 Тзк как АВ и ВА различные, вообще гонора, операторы, то включение !щ АВ ш нп В может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения гапк АВ ~ гапб В требуются специальаые рассуждения, а ы понятна линаяного опводторд. основныв свойства !1з Теорема Е.З.
Имеют место следующие соотношения: ганя АВ с ганя А, ганя АВ а гана В, 1гл з ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 114 Пусть 81 ш ()гег В) = д. (5.9) Согласно теореме 5.3 б!ш (кег АВ) ~ д. Поэтому справедливо соотношение !1!ш()гегАВ)=р+д, где р~ О, (5 10) ф 2. Матричная запись линейных операторов 1. Матрицы линейных операторов в заданном базисе линейного пространства У. Фиксируем в линейном пространстве У базис и„ и„ ..., и„.
Пусть х — произвольный элемент У и х= ~; к'ед д=! (5 11) разложение х по данному базису. Пусть А — линейный оператор из Е (У, У), Тогда из (5!1) получаем н Ах= ~ х'Ав,. (5.12) д ! Полагая Аед — — ~„'оде» 1=! (5.13) Так как кег В с= 'кег АВ, то в подпространстве кег АВ можно выбрать базис х„х„..., хр, так, что элементы х„+„..., хр+р Образуют базис в )гег В. При таком выборе х„х„..., хр, элементы Вх„Вх„..., Вхр линейно независимы (если линейная комбинация Р ~ ХАВхд=О, то В ~~~ )!дхд) =О, т е. ~ Хдхд ~ )гегВ, а это д=! д=! д=! может быть, в силу выбора х„х„..., хр, лишь при ) д= О, й = 1, 2, ..., р). Поэтому элементы Вх„Вк„..., Вхр принадлежат кег А, т. е, р с б!ш (кег А).
Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.!О) вытекает требуемое неравенство (5 8), Теорема доказана. Следствие из теорем 5.3 и б.4. Если ганя А = и (и— размерность У), то гапд А В = гапй ВА = гапй В Указанное следствие вытекает из неравенств гапйАВ ~ гапйВ (теорема 5 3), гапй АВ ~ гапй В (теорема 5 4 при гапй А = а). Из этих неравенств получим, что гапй АВ = гапй В. Аналогично доказывается соотношение гани ВА = гапй В.
в А1 МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 115 перепишем (532) в следующей форме: и л и ( л А -Е 'Е !Е,=и(ЕАГ)РР. А=! !=! ! ! А=! Таким образом, если у = Ах и элемент у имеет координаты у'= ~ аА!х~, 1=1, 2, ..., п. А=! Рассмотрим квадратную матрицу А с элементами аА! (5 14) А = (аА!). Эта матрица называется мат р и ц ей линейного оператора в заданном базисе е„е„..., е . Наряду с ранее указанным способом записи линейного оператора используется при заданном базисе е„е„..., е„матричная форма записи: у = Ах, причем, если м = (хг, х', ..., х"), то у = = (уг, у', ...„у"), где у!, 1 = 1, 2, ..., п, определяются с помощью соотношений (5.14), а элементы аА! матрицы А вычисляются по формулам (5.13).
3 а м е ч а н и е 1. Если оператор А нулевой, то все элементы матрицы А этого оператора равны нулю в любом базисе, т, е. А — нулевая матрица. 3 а м е ч а н и е 2. Если оператор А единичный, т. е. А =1, то матрица этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами в этом случае А = Е, где Š— единичная матрица. В дальнейшем единичную матрицу мы будем обозначать также символом 1. Мы выяснили, что каждому линейному оператору А нз Е (У, У) при заданном базисе линейного пространства У отвечает матрица А этого Оператора.
Естественно возникает обратный вопрос— каждой ли данной матрице А прн заданном базисе в У можно поставить в соответствие линейный оператор А,матрицей которого будет данная матрица. Важно также выяснить вопрос о единственности матрицы линейного оператора в заданном базисе. Справедливо следующее утверждение. Теорема б.б. Пусть в линейном пространстве У задан базис е!, е!, ..., е„, и пусть А = (аА!) — квадратная матрица, содержащая и строк и и столбцов. Существует единственный линейный оператор А, матрицей которого в заданном базисе является матрица А. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
