В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поэтому из неравенства (5.32) следует гапд(А — "к1) = и. (5.33) (5.34) и поэтому матрица А оператора А имеет вид (см. соотношения (5.13) и понятие матрицы линейного оператора) А О хе о (5.35) т. е. является диагональной. Пусть матрица А линейного оператора А в данном базисе «вь) диагональна, т. е. имеет вид (5.35). Тогда соотношения (5.13) примут вид (5.34), а это означает, что ее — собственные векторы оператора А. Теорема доказана.
Докажем еще одно свойство собственных векторов. ') Напомним, ето матрица нееынеетси диагональной, если нее ее инемеиты, расположенные не не главной диагонали, равны нулю. Таким образом, если Х вЂ” собственное значение, то ранг матрицы А — И оператора А — ХГ меньше и, т. е. де1 (А — М) = 0 и, следовательно, Х вЂ” корень характеристического уравнения. Пусть теперь Х вЂ” корень характеристического уравнении (5.29).
Тогда справедливо неравенство (5.32), а следовательно, и неравенство (5.31), из которого вытекает существование для числа Х такого ненулевого вектора м, что (А — Хг') м = О. Последнее соотношение эквивалентно соотношению (5.30). Поэтому Х— собственное значение, Теорема доказана. Следствие, Каждый линейный оператор имеет собственное значение. Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень (в силу основной теоремы алгебры). Справедлива следующая теорема: Теорема Ю.У. Для того чтобы матрица А линейного оператора А в данном базисе (еь) была диагональной *), необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы еь были собственными векторами этого оператора. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть базисные векторы ее являются собственными векторами оператора А.
Тогда Ае, = Хье„ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЪ| !ГЛ. $ Теорема б.10. Пусть собственные значения Л|, Л„..., Лр оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные еекто. ры е„е„..., ер линейно независимы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим индукцию. Так как е,— ненулевой вектор, то для одного вектора (р = !) утверждение справедливо (один ненулевой вектор является линейно независимым).
Пусть утверждение теоремы доказано для т векторов е,, е„...„е, Присоединим к этим векторам вектор е „н допустим, что имеет место равенство т+! ~~ адед= О. (5.36) Тогда, используя свойства линейного оператора, получим т+1 ~' адАед= О. д=! (5.37) Так как ед — собственные векторы, то Ае„= Лдед, и поэтому равенство (5.37) можно переписать следующим образом: т+! адЛдед —— О. д=! (5.38) т+! Согласно (5.36) ~'„Л „адед = О.
Вычитая зто равенство иэ д=! равенства (5.38), найдем 2; (Лд — Л „) а,е„= О. (5.39) По условию все Лд различны, т. е. Лд — Л „чь О. Поэтому нз (5.39) и предположения о линейной независимости векторов е„е,, ..., е следует, что а, = а, = ... = сс = О. Отсюда и нз (5.36), а также из условия, что е „вЂ” собственный вектор (е „~ 0), вытекает, что а „= О. Таким образом„из равенства (5.36) мы получаем, что а, = сс, = ... = а , = О.
Это означает, что векторы е,, е, , е „ линейно независимы. Индукция проведена, и доказательство теоремы завершено. Следствие. Если характеристический многочлен оператора А имеет и различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид, Действительно, в рассматриваемом случае, согласно только что доказанной теореме собственные векторы линейно независимы и поэтому могут быть выбраны в качестве базисных. Но тогда по теореме 5.9 в этом базисе матрица оператора А будет диагональной.
линвиныв и полнторйлиивиныа оормы 123 а 41 $4. Лянейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве 1. Специальное представление лянейной формы в еаклндовом пространстве. Пусть У вЂ” евклидова пространство, а С вЂ” комплексная плоскость (одномерное комплексное линейное пространство).
В и. 1 $1 этой главы мы ввели понятие л и н е й н о й ф о р м ы — линейного оператора, действующего из У в С. В этом пункте мы получим специальное представление произвольной линейной формы 1 из Е (У, С). Лемма. Пусто ~ — линейная форма из Ь (У, С). Тогда существует единственный элемент Ь из У такой, что (5.40) 1(х) = (х, Ь). До к аз а т ель с та о. Для доказательства существования элемента Ь выберем в У ортонормированный базис е„е„..., о„. Рассмотрим элемент Ь, координаты Ь» которого в выбранном базисе определяются соотношениями *) Ь' =1(е,). (5.41) Таким образом„Ь = ~ Ь»е». й ! Пусть х= ~ лйей — произвольный элемент пространства У. й ! Используя свойства линейной формы Г и равенство (5.41), получим Ф л 1(х) = Е х'1(е,) = К хай». й-! й 1 (5.42) ') Черта нал 7 (ей) означает, что берется комплексно сопряженной значснне »того змражсння.
Так как в ортонормированном базисе (ой) скалярное произвеа л и дение (х, Ь) векторов х= ~~ лйе» и Ь = ~ Ьйой равно ~~ ~л»Ь», й-! й-! * ! то из (5.42) получаем Г (х) = (», Ь). Существование вектора Ь доказано. Докажем единственность этого вектора. Пусть Ь, и Ь, — два вектора таких, что с помощью этик векторов форма у (х) может быть представлена в виде (5.40). Очевидно, для любого х справедливо соотношение (х, Ь!) (х, Ь,), из которого следует равенство линейные опаеатоэы 124 В(х+у, я) =В(х, и)+В(у, х), В (х, у + я) = В (х, у) + В (х, х), В(Хх, у) ХВ(х, у), В(х, Ху)=кВ(х, у). (5.43) Иными словами, полуторалинейиая форма В (х, у) представляет собой числовую функцию двух векторных аргументов х, у, определенную на всевозможных векторах х и у линейного пространства 1., линейную по первому аргументу,х и антилинейную по второму аргументу у 3 а м е ч а и и е 1. Если линейное пространство 1.
является вещественным, то полуторалииейные формы переходят в так называемые билинейные формы, т. е. формы, линейные по каждому из аргументов (четвертое из соотношений (5.43) в силу вещественности Х будет характеризовать линейность и по второму аргументу). Билинейные формы изучаются в главе Т, Обратимся к полуторалинейной форме, заданной в евклидовом пространстве У. Справедлива следующая теорема о специальном представлении такой формы, Теорема 6.11.
Пусть В (х, у) — полуторалинейная форма в еклиоовом пространстве У. Тогда суи(ествует единственный линейный оператор А из 1. (У, У) такой, что (5.44) В(х, у) =(х, Ау). До к аз а тельство. Пусть у — любой фиксированный элемент пространства У. Тогда В (х, у) представляет собой линейную форму аргумента х. Поэтому по лемме предыдущего пункта можно указать такой однозначно определенный элемент й пространства У, что (5.45) В(х, у) =(х, й). (х, й, — й,) = О.
Полагая в этом равенстве х = Ь, — Ь, и используя определение нормы элемента в евклидовом пространстве, найдем (й, — Ь,~ = О. Итак, Ь, = Ь,. Лемма доказана. 3 а м еч а н и е. Очевидно, лемма справедлива и в случае, если У вЂ” вещественное евклидова пространство, а 1 ~ Ь (У, В), где Р— вещественная прямая. 2. Полуторалинейные формы в евклндовом пространстве. Специальное представление таких форм. Введем понятие п о л у т ар а л и н е й н о й ф о р и ы в линейном пространстве Определение.
Числовая функция В (х, у). аргументами которой являются всевозможные векторы х и у линейного пространства 1., называется яолуторалинейной формой, если для любых векторов х, у и я из 1. и любого комплексного числа Х выполняются соотношения линвйныа н полутОРллннанные ФОРмы 12в Итак, каждому у из У по правилу (5.45) ставится в соответствие единственный элемент Ь из У. Таким образом, определен оператор А такой, что Ь = Ау. Линейность этого оператора элементарно следует из свойств (5.43) полуторалинейной формы н из свойств скалярного произведения. Докажем единственность оператора А.
Пусть А, и А, †д оператора таких, что с помощью этих операторов форма В (х, у) может быть представлена в виде (5.44). Очевидно, для любых х и у справедливо соотношение (х, А,у) = = (х, А,у), из которого следует равенство (х, А!у — А!у) = О. Полагая в этом равенстве х = А,у — А,у и используя определение нормы элемента, найдем 1А»у — А»у'1=О. Таким образом, для любого у из У имеет место равенство А,у = А,у, т.
е. А, = А,. Теорема доказана. Следствие. Луста В (х„у) — полуторалинейнал форма в евклидовом пространстве У. Тогда суи1ествует единственньи1 линейный оператор А из Ь (У, У) такой, что В(х, у) =(Ах, у). (5.46) Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений. Во-первых, форма В, (у, х) = В (х, у) является полутора- линейной (это следует из того, что В (х, у) — полуторалинейная форма и из определения такой формы). Далее, по теореме 5,1! получаем для В, (у, х) представление в виде В,(у, х)=(у, Ах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
