В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Таким образом, выполнено соотношение (5.79), т, е. форма В (х, у) = (Ах, у) является эрмитовой. Если же форма В (х, у) = (Ах, у) эрмитова, то, опять обращаясь к свойствам скалярного произведения, получим равенства (Ах, у) = В (х, у) = В (у, х) = (Ау,,«) = (х, Ау). Таким образом, (Ах, у) (х, Ау), т. е. оператор А является самосопряженным, Теорема доказана. Теорема 5.2б. Для того чтобы полуторалинейная форма В (х, у) была зрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы функция В (х, х) была вещественной. До к а з а тельство.
Форма В (х. у) будет эрмитовой в том и только в том случае, когда линейный оператор А в представлении (5.80) втой формы является самосопряженным (см. теорему 5.25). Согласно же теореме 5.18, для того чтобы оператор А был самосопряжеиным, необходимо и достаточно, чтобы для любого х скалярное произведение (Ах,х) было вещественным.
Теорема доказана. Введем теперь понятие к в а д р а т и ч н о й ф о р м ы. Пусть В (х, у) — эрмитова форма. Квадрат и чн о й формой, соответствующей форме В (х, у), называется функция В (х, х), Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Теорема б.27. Пусть В (х. у) — зрмитова форма, определенная на всевозможных векторах,«и у и-мерного евклидова пространства У. Тогда в втом пространстве суи(ествует такой ортонормированный базис (е„! и можно указать такие вещесп»венные числа Хю что для любого х, принадлежащего У, квадратичная форма В (х, х) мозсет быть предапавлена в виде следующей суммы квадратов координат $„вектора х в базисе (Ех)! (5.81) До к а з а тел ь от в о.
Так как форма В (.«, у) эрмитова, то, согласно теореме 5.25, существует самосопряженный оператор А такой, что (5.82) В(х, у)=(Ах, у). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 142 (5.85) "! Это соотно!пение слелует иа того, что»» и е» вЂ” соответственно собственные значения и собственные векторы оператора Д. Обратимся теперь к теореме 5.21. По этой теореме для опера- тора А можно указать ортонормнрованный базис (е») из собствен- ных векторов этого оператора, Если Х» — собственные значения А, а $» — координаты вектора х в базисе (е»1! так что л х= Е $»е», (5.83) то, используя формулу (5.12) и соотношение Ае» = Х»е» е), получим следующее выражение для Ах: л Ах са! Х»$»е».
(5.84) »-! Из (5.83), (5.84) и ортонормированности базиса (е») получим следующее выражение для (Ах, х): л (Ах, х) = Я Х» ~ $» 1Я. » ! Из этого выражения и из соотношения (5.82) получим (5.81). Теорема доказана. Докажем теперь важную теорему об одновременном приведе- нии двух квадратичных форм к сумме квадратов.
Теоремгг 6.2В. Пусть А (х, у) и В (х, у) — эрмитоеы формы, определенные на всевозможных векторах х и у и-мерного линейного пространства и. Допустим, далее что длл всех ненуле- вых элементов х из У имеет место неравенство В (х, х) >О. Тогда в пространстве У можно указать базис (е») низкой, что квадратичные формы А(х, х) и В(х, х) могут быть представ- лены в следующем виде: А(х, х) ° 2а А»|$»!', » ! л В(х, х)= Я ($»)з, (5,86) гдг "А» — вещественные числа, а Ц» — координаты вектора х в базисе (е»). Д о к а з а т ел ь с т в о.
Так как свойства скалярного про- изведения и свойства эрмнтовой формы В (х, у) при дополнитель- ном требовании о том, что В (х, х) >О при хМ О, форму- лируются одинаково, мы можем ввести в линейном про- странстве У скалярное произведение (х, у) векторов, полагая (х, у)=В(х, у). (5,87) е т) УНИТАРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 143 Таким образом, У представляет собой евклидова пространство со скалярным произведением (5.87). По теореме 5.27 можно указать в У такой ортонормированный базис (ва) и такие вещественные числа Ха, что в этом базисе квадратичная форма А (х, х) будет представлена в виде (5.85).
С другой стороны, в любом ортонормированном базисе скалярное произведение (х, х), равное, согласно (5.87), В (х, х), равно сумме квадратов модулей координат вектора х. Таким образом, представление В (х„х) в виде (5.85) также обосновано. Теорема доказана. й 7. Унитарные и нормальные операторы В этом параграфе рассматриваются свойства важного класса операторов, действующих в евклидовом пространстве У. Определение 1. Линейный оператор б'из Е (У, У) называется у н и т а р н ы м, если для любых элементов х и у из У справедливо соотношение (5.88) В дальнейшем соотношение (5.88) будем называть у с л о в и е м унитарности оператора. 3 а м е ч а н и е 1. Из условия (5.88) унитарности оператора следует, что для любого унитарного оператора сг' справедливо равенство 1(гх! = !х((.
Отметим следующее у т в е р ж д е н и е . Если Х вЂ” собственное значение унитарного оператора У, то Х(=1. ействительно, если ). — собственное значение 77, то существует такой элемент е, что 1е1 = 1 и сге = Хе. Отсюда и из замечания 1 следуют соотношения 1Х! = )Хе! = )Уе~ =1е1 = 1. Утверждение доказано. Докажем следующую теорему. Теорема б.29. Для того чтобы линейный оператор К действуюи(ий в евнлидовом пространстве У, был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено соотношение (5.89) Д о к а з а т е л ь с т а о.
1) Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть оператор 17 унитарный, т. е. выполнено условие (5.88). Обращаясь к определению сопряженного оператора 77*, можно переписать это условие в следующей форме е) (и (7х, у)=(х. у), (5.90) ') Напомним, что оператор (Г' называется сопряженным к оператору (Г, если лля любых я н у выполняется соотношение (е, (Гу) = (()'г, у) Полагая и = Ух, получим (5.90).
[Гл 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 144 или, иначе, для любых х и у выполняется равенство ((и и — 1)х, у)=О. Фиксируя в этом равенстве любой элемент х и считая у произвольным, получим, что линейный оператор и*и — 1 действует по правилу (и'и — 1) х = О Следовательно, и*и = 1. Совершенно аналогично можно убедиться, что ии" = 1. Таким образом, и и и' — взаимно обратные операторы, т. е. соотношение (5.89) выполнено, Необходимость условия теоремы доказана. 2) Д о с т а то ч н о с т ь. Пусть выполнено условие (5.89).
Тогда, очевидно, ии* = и*и = 1. Обращаясь к определению сопряженного оператора и используя только что написанные соотношения, получим при любых х и у равенства (их, иу) =(х, и*иу) =(х, 1у) =(х, у). Таким образом, условие (5.88) унитарности оператора выполнено.
Следовательно, оператор и унитарный. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. 2. В процессе доказательства теоремы уста. новлено, что условие (5.88) унитарности оператора и и условие и и=ии =1 (5.91) эквивалентны. Таким образом, в основу определения унитарного оператора можно положить условие (5.91). Это условиетакже можно называть условием у н и т а рности оператора и. Введем понятие и о р м альп ого оператора. Определение 2.
Линейный оператор А называется н о рм а л ь и ы м, если справедливо соотношение А*А =АА'". (5.92) Обращаясь к условию (5.91) унитарности оператора и к условию (5.92), мы видим, что любой унитарный оператор является нормальным оператором. Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма.
Пусть А — нормальный оператор. Тогда оператор А и оператор А* имеют общий собственный элемент е такой, что "1е~) = 1, и справедливы соотношения Ае = Хе и Аье = "Ае. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” собственное значение оператора А, и пусть 1ГА —— кег (А — )1). Иными словами, множество всех элементов х таких, что Ах — Хх = О. Убедимся теперь, что если х принадлежит 1ГА, то и А "х принадлежит Р,.
Действительно, если Ах Хх (т. е. х Е )сх), то, поскольку А — нормальный оператор, А (А*х) = А' (Ах) = А*(Ах) = ) (А'х). в г1 УНИТАРНЫЕ Н НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ы5 Иными словами, вектор А*х является собственным веитором оператора А и отвечает собственному значению Л, т. е принадлежит РА. Рассматривая далее оператор А* каи оператор, действующий из Я„в 11Ы и используя вывод следствия из теоремы 5 8 о том, что каждый линейный оператор имеет собственное значение, мы можем утверждать, что в Я„существует элемент е такой, что '1е1 = 1 и справедливы соотношения А*е = ре и Ае = Ле.
Используя зти соотношения и условие 1е1 = 1, найдем (АЕ, Е) = (ЛЕ, Е) = Л(Е 1г = Л, (Е, А*Е) = (Е, рЕ) = (т 3! Е Г = (т. Таи кан (Ае, е) = (е, А*е), то, очевидно, Л = (л, Лемма доказана. Докажем теперь следующую теорему. Теорема 5.30. Пусть А — нормальный оператор Тогда существует ортонормированный базис (е„), состоящий из собственных элементов операторов А и А*.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно только что доказанной лемме операторы А и А" имеют принадлежащий Р' общий собственный элемент е„причем (~е,1 = 1. Собственные значения для операторов А и А*, соответствующие е„равны соответственно Л, и Л,. Пусть У, — ортогональное дополнение элемента е„ до пространства (г. Иными словами, у', — совокупность всех х, удовлетворяющих условию (х, е,) = О. Докажем, что если х принадлежит Р'О то Ах и А*х принадлежат Ут. Действительно, если (х, е,) = О, то (Ах, е,) = (х, А*е,) = (х, Л,е,) = Л, (х, е,) = О, т.
е. Ах Е у',. Аналогично, если (х, ет) = О, то (А*х, е,) = (х, Ае,) = (х, Л,ед = Л, (х, е,) = О, т. е. А*х Е К,. Таким образом, 1', — инвариантное надпространство операторов А и А*. Поэтому по только что доказанной лемме в подпространстве У„существует общий собственный элемент е, операторов А и А* такой, что 1е,( = 1, Ае, = Л,е„А"е, = Л,ег. Далее мы обозначим через )т, ортогональное дополнение элемента е, до Р'О Рассуждая тан же, иан и выше, мы докажем, что в У, есть общий собственный элемент е, операторов А и А* такой, что (~е,~1 = 1.
Продолжая аналогичные рассуждения, мы, очевидно, построим в пространстве (г ортонормированный базис (еь), состоящий из собственных элементов операторов А и А*. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть А — нормальный оператор Существует базис (ЕА), в котором А имеет диагональную матрицу. [гл. а ЛИНЕЙНЪ!Е ОПЕРАТОРЫ 146 Действительно, по только что доказанной теореме существует базис (еь) из собственных векторов оператора А. Согласно теореме 5 9 в этом базисе матрица оператора А диагональна. Следствие л. Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.
Следующая теорема является обратной для теоремы 5.30. Теорема 5.81. Если у действующего в и-мерном евклидовом пространстве )г оператора А имеется и попарно ортогональных собственных влементов е„е„..., е„, то оператор А нормальный. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (еь) — попарно ортогональные собственные вектоРы опеРатоРа А. Тогда АЕА = Льва, и, согласно (5 69), имеет место следующее представление оператора А'). Ах= ЕЛА(х, е,)е,. а ! Докажем, что сопряженный оператор А* действует по правилу л А*у = ~, Ла(у, е„) еа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
