В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Рассуждая и дальше таким же образом, мы в результате найдем и взаимно ортогональных собственных векторов е„е„... ..., е„оператора А, удовлетворяющих условию )ег~ = 1, й = = 1, 2, ..., и. Очевидно, векторы (ег) образуют базис в У, Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Пусть ею е„..., е„— ортонормированный базис в п-мерном евклидовом пространстве У, состоящий из собственных векторов самосопряженного оператора А, т. е. Аег = Цею Тогда матрица оператора А в базисе (ег) является диагональной, причем диагональные элементы имеют вид аг = Хг, Отметим, что если (ед) — произвольный ортонормированиый базис в вещественном евклидовом пространстве У, то матрица самосопряженного оператора А будет симметричной, т.
е. А' = = А. Верно и обратное утверждение, т. е. если в некотором ортонормированном базисе (ег) матрица оператора является симметричной, то оператор А — самосопряженный. линейные опееАтоэы 157 Этим вещественный случай отличается от комплексного, поскольку в комплексном случае оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда матрица А этого оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой, т.
е. элементы а~ матрицы А удовлетворяют условию аь = а", (черта означает комплексное сопряжение). Указанное утверждение непосредственно следует из того, что если (ае) — матрица оператора А, то матрица сопряженного оператора в вещественном случае равна (а',), а в комплексном случае — (а",), что легко проверяется прямым вычислением. 2.
Ортогональные операторы. В комплексном евклидовом пространстве важную роль играют унитарные операторы, введенные в 2 7, Аналогом унитарных операторов в вещественном евклидовом пространстве являются ортогональные операторы. Определение 1» Линейный оператор Р, действующий в вещественном евклидовом пространстве 1~, называется о р т оган н ил ь н ым, если для любых х и у из У выполняется равенство (Рх, Ру) =(х, у). (5.119) Таким образом, ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение. Отсюда непосредственно следует, что если е„е„..., е„— ортонормированный базис евклидова пространства К то Ре„Ре„..., Ре„также является отронормированным базисом. В дальнейшем условие (5.119) будем называть условием ортогональности оператора Р.
Справедливо следующее утверждение. Теорема 8.36. Для того чтобы линейный оператор Р был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор Р т и было выполнено равенство Р'=Р' (5.120) где Р' — оператор, сопряженный к Р, а Р ' — оператор, обратный к Р. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть Р— ортогональный оператор, т.
е. выполняется условие (5.119). Применяя сопряженный оператор Р', это условие можно записать в виде (Р"Рх, у) = (х, у). Таким образом, для любых х и у выполняется равенство ((Р*Р— 7) х, у) = О. фиксируя в этом равенстве любой элемент х, считая у произвольным, получим, что линейный оператор Р*Р— 1 действует по правилу (Р*Р— 7) х = О. Следовательно, Р*Р = г; совершенно аналогично можно убедиться, что РР' = 7. Таким образом, операторы Р' и Р взаимно обратны, т.
е. условие (5.120) выполнено. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 158 1гл. г 2) До с тат о ч ноет ь..Пусть выполнено условие (5.120). Тогда, очевидно, РР» = лР= 1'. Обращаясь к определению сопряженного оператора и используя только что написанные соотношения, получим для любых х и у равенства (Рх, Ру) = (х, Р* Ру) = (х, 1у) = (х, у). Мы видим, что условие (5.119) выполнено, следовательно, оператор Р ортогональный.
Теорема доказана. Введем теперь понятие ортогональной матрицы Р. Олределенле 3. Матрица Р называется ортогональной, если Р'Р = РР' =1, (5.121) где Р' — транслонированная матрица, а г' — единичмал матрица. Если е„е„..„е„— ортонормированный базис в евклидовом пространстве Р', то оператор Р является ортогональным тогда и только тогда, когда его матрица в базисе «еь) ортогональна.
Непосредственно из равенства (5.121) следует, что если матрица Р = (р~) является ортогональной, то «1 при Ь=1, ~ 0 при йчь1. В комплексном евклидовом пространстве аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица. Именно, матрица У называется унитарной, если выполняется соотношение У У=УУ* = 1, (5.122) в котором У' — зрмитово сопряженная матрица, т. е. У' = У', где штрих означает транспонирование, а черта — комплексное сопряжение. Нетрудно показать, что в ортонормированном базисе матрица линейного оператора У является унитарной тогда и только тогда, когда оператор У является унитарным. В заключение рассмотрим для примера ортогоиальные преобразования в одномерном и двумерном пространствах.
В одномерном случае каждый вектор х имеет вид х = ае, где а — вещественное число, и е — вектор, порождающий данное пространство. Тогда Ре = Хе, н так как (Ре, Ре) = Х' (е, е) = = (е, е), то Л = +.1. Таким образом, в одномерном случае существуют два ортогональных преобразования: Р,х = х и Р х = — х. В двумерном случае каждое ортогональное преобразование определяется в произвольном ортонормированном базисе орто/а ь1 тональной матрицей порядка 2, т. е. матрицей Р=«в/. Из условия РР'= Р'Р=l следует а' + Ь' = 1, а» = й», Ь' = с», ас + йЬ = О, аЬ + сй = О. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 159 Полагая а = соз ф, Ь = — $1п ф, получаем, что каждая ортогональная матрица порядка 2 имеет вид Р ( сов ф — 51п ф1 ~~51п ф ~ со5 ф l причем во второй строке в обоих случаях следует брать либо знак +, либо знак —.
Отметим, что бе$ Рс = ~1. Ортогональная матрица Р, называется собственной, а ортогональная матрица Р— несобственной. Оператор Р+ с матрицей Р в ортонормированном базисе е„ ев осуществляет поворот в плоскости ев, е, иа угол ф Для того чтобы выяснить, как действует оператор Р с мати о~ рицей Р, введем матрицу Я = ~о 1~, совпадающую с Р при ф = О, и заметим, что Р„= ЯР+. Матрице Я отвечает отражение плоскости относительно оси е„ следовательно„ действие оператотора Р заключается в повороте на угол ф и последующем отражении. Заметим, что векторы Р+е„Р,ев образуют в силу ортогональности Р, ортонормированный базис и в этом базисе матрица оператора Р совпадает с Я, т. е.
является диагональной. В общем случае, когда ортогональный оператор Р действует в п-мерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный базис е„е„..., е„в котором матрица оператора Р имеет вид О -1 — 1 Сов фв 51п фв 55$ фв -совфв СО$ фа -51п фв МП фв — СОвфв В этой матрице все элементы, кроме выписанных, равны нулю, Таким образом, в некотором ортонормироваином базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.
ГЛАВА б ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В настоящей главе изучаются различные методы решения системы линейных уравнений с вещественными коэффициентами относительно неизвестных, также принимающих вещественные значения. Все используемые на практике методы решения систем линейных уравнений можно разделить на две большие группы: точные методы н итерационные методы. Под т о ч и ы м методом решения понимается метод, теоретически позволяющий получить точные значения неизвестных в результате проведения к о н е ч н о г о числа арифметических операций. Примером точного метода может служить изложенный в главе 3 метод, основанный на применении формул Крамера е). И т е р а ц и о н н ы е методы позволяют получить искомое решение лишь в виде предела последовательности векторов, построение которых производится с помощью единообразного процесса, называемого процессом итераций (последовательных приближений).
Итерационные методы весьма удобны для использования современной вычислительной техники. Изложению наиболее употребительных итерационных методов решения линейных систем посвящен 5 1 настоящей главы. Итерационные методы находят широкое применение и при решении другой важной вычислительной задачи линейной алгебры — так называемой полной проблемы собс т в е и н ы х з н а ч е н и й (так называют проблему отыскания всех собственных значений и отвечающих им собственных векторов заданной матрицы *')).
В итерационных методах соб- ') Практически метод, основанный на формулах Крамера, обычно не прн. меняется, ибо он требует проведения очень большого числа арифметических операций и записей. Более удобным является точный метод, основанный на последовательном исключении неизвестных и называемый и е год о м Г а у ос а (его изложение можно найти, например, в кинге Д.
К. Фаддеева н В. Н. Фаддеевой «Вычислительные методы линейной алгебрыь, Гостехнэдат, 1963, гл. 2), ") В отличие от этой проблемы, закачу отыскании некоторйх (например, наибольших по модулю) собственных анэчений заданной матрицы называют частичной проблемой собственных значений. з 41 итвгхциониыв методы вешания линейных систвм 1в1 ственные значения вычисляются как пределы некоторых числовых последовательностей без предварительного определения коэффициентов характеристического многочлена. В $ 2 настоящей главы разбирается один нз самых вам<ных и наиболее употребительных на ЭВМ итерационных методов решения полной проблемы собственных значений — так называемый м е т о д в р а щ е н и й (или метод Я к о б и).
Этот метод применим ко всякой симметричной (или к эрмитовой) матрице, легко реализуется на ЭВМ и всегда сходится. Он устойчив по отношению к ошибкам округления результатов промежуточных вычислений и обладает тем замечательным свойством, что наличие кратных и близких друг к другу собственных значений не только не замедляет его сходимости, а, напротив, ускоряет ее. Метод вращений, предложенный Якоби и известный еще с середины прошлого века, долгое время не находил практического применения из-за большого объема вычислений, необходимых для его реализации. И лишь появление быстродействующих электронных вычислительных машин сделало его самым эффективным методом решения полной проблемы собственных значений симметричных и эрмитовых матриц.
й 1. Итерационные методы решения линейных систем 1. Метод простой итерации (метод Якоби). Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений с вещественными коэффициентами (3.10) (см. и, 1 5 2 гл. 3), которую запишем в матричном виде АХ =Р, (6.1) понимая под А основную матрицу системы азз азз ° ° ° аб ам азз ° ° ° азп (6,2) апз апз . 44пп 14 4З а под Х и Р векторы-столбцы вида Х= , пер- вый из которых подлежит определению, а второй задан. Предполагая однозначную разрешимость системы (6.1), заменим матричное уравнение (6А) эквивалентным ему матричным уравнением Х = Х вЂ” тАХ + тР, в котором через ч обозначено вещественное число, обычно называемое с та ц и о н а р н ы м параметром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
