В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(5,11!) В полной аналогии с комплексным пространством вводится понятие собственного значения и собственного вектора оператора. Важно заметить, что собственные значения являются корнями характеристического уравнения оператора. Обратное утверждение в вещественном случае верно лишь тогда, когда соответствующий корень характеристического уравнения вещественный. Только в этом случае указанный корень будет собственным значением рассматриваемого линейного оператора. В связи с этим естественно выделить какой-либо класс линейных операторов в вещественном евклидовом пространстве, все корни характеристических уравнений которых вещественны.
В доказанной выше теореме 5.16 было установлено, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Кроме того, понятие самосопряженного оператора играло важную роль в выводах з 6 настоящей главы о квадратичных формах. Естественно поэтому перенести понятие самосопряженного оператора на случай вещественного пространства. Предварительно введем понятие оператора А*, сопряженного к оператору А. Именно, оператор А" называется сопряженным и А, если для любых х и у из $' выполняется равенство (Ах, у) = = (х, А"у).
Без затруднений на случай вещественного пространства переносится теорема 5,12 о существовании и единственности сопряженного оператора. Напомним, что доказательство теоремы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной формы. В вещественном случае вместо полуторалинейной формы следует воспользоваться билинейной формой В (х, у).
По атому поводу в п, 2 $4 гл. 5 сделано соответствующее замечание. Напомним в связи с этим определение билинейной формы в любом вещественном не обязательно евклидовом линейном пространстве В. Пусть  — функция, сопоставляющая каждой упорядоченной паре (х,у) векторов х Е г'. и у ~ г'. вещественное число В (х, у). Определение 2. Функция В (х, у) называется б и л и и е йи ой фа р мой, заданной на г., если для любых векторов х, у и «из Т.
и любого вещественного числа Х выполняются соотношения В (х+ «, у) = В (х, у) + В («', у), В (х, у + «)= В (х, у) + В (х, «), (5,112) В(йх, у)=В(х, Ху)=ХВ(х, у). ЛИНЕЙИЪ|Е ОПЕРАТОРЫ Важную роль в данном параграфе будет играть специальное представление билинейной формы В (х, у) в виде В(х, у)=(Ах, у), (5.113) где А — некоторый линейный оператор.
Соответствующая теорема (теорема 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной формы в комплексном пространстве опиралась на выводы леммы п. 1 й 4 настоящей главы о специальном представлении линейной формы г' (х). В конце указанного пункта отмечалось, что эта лемма верна и в вещественном пространстве. Заметим только, что в доказательстве леммы выбор элементов й» нужно производить не по формуле (5.41), а с помощью формулы и» = 1 (е„), где 1" (х) — данная линейная форма в вещественном пространстве. В 4 6 настоящей главы были введены эрмнтовы формы. Эрмитова форма — это полуторалинейная форма В (х,у) в комплексном пространстве, характеризующаяся соотношением В (х, у) = = В (у„х) (черта над В означает, что берется комплексно сопряженное значение для В).
В случае вещественного пространства аналогом эрмитовых форм служат симметричные билинейные формы. Такая форма характеризуется соотношением В(х, у)=В(у, х). (5.114) Билинейная форма В (х, у), заданная на линейном пространстве 1„называется кососимметричной, если для любых векторов х и у из Е выполняется соотношение В (х, у) = — В (у, х). Очевидно, что для каждой билинейной формы функции В,(х, у) = ~ (В(х, у)+В(у, х)), ! ! В,(х, у) = — [В (х, у) — В (у, х)1 являются соответственно симметричной и кососимметричной билинейными формами. Поскольку В (х, у) = В» (х, у) + В, (х,у), то мы получаем следующее утверждение: Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной формы, Нетрудно видеть, что такое представление является единственным.
Мы докажем следующую теорему о симметричных билинейных формах (эта теорема служит аналогом теоремы 5.25 об эрмитовык формах). Теорема 3.33. Для того чтобы билинейноя форма В (х, у), заданная ни всевозможных векторах х и у веи(ественного евклидова пространства У, была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А, фигурируюи(ий в представлении (5,1И), был симосоиряженным. Сгл. з линииныв опзэлтоэы 154 Доказательство. Если А -самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим В (х„у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) = В(у, х). Таким образом, выполняется соотношение (5.114), т. е. би- линейная форма В (х, у) = (Ах, у) симметричная.
Если же форма В (х, у) = (Ах, у) симметричная, то спра- ведливы соотношения (Ах, у) = В (х, у) = В (у, х) = = (Ау, х). Следовательно, оператор А самосопряженный. Теорема до- казана. Введем понятие матрицы линейного оператора А. Пусть е„ е„ ..., е„ вЂ” какой-либо базис в и-мерном вещественном линейл ном пространстве 5. Положим Аел= ~, 'а!хео ю=! Тогда, как и в комплексном случае, нетрудно показать, что л если х = Я х'е„ то для компонент вектора у = Ах справедл ! л лино представление у'= Я алх~.
л-! Матрица А = (ал) называется матрицей линейного опера. тора А в базисе «ед), дна!!огичио тому, как это было сделано в $2 настоящей главы, можно доказать, что величина бе1 А не зависит от выбора базиса н, тем самым, корректно вводится определитель !«е1 А опе. ратора А. Характеристическим уравнением, отвечающим оператору А, называется уравнение де1 (А — хг) = О, а многочлен, стоящий в левой части этого уравнения, называется характерисп!ическим многочленом оператора А. Докажем теперь теорему о корнях характеристического много.
члена самосопряженного оператора в вещественном евклидовом пространстве. Теорема 5.34. Все корни характеристического многочлена самосопрллсенного линейного операп!ора А в евклидовом простран- стве вещественны. Доказательство. Пусть А=а+!р — корень ха- рактеристического уравнения де1 (А — )!() О (5.! 15) самосопряженного оператора А. Фиксируем в Р какой-либо базис «е„«я обозначим через ам — элементы матрицы оператора А в этом базисе (отметим, что ал, — вещественные числа). линейныв опвраторы ~; а!Дд=Л$я 1=1, 2, ..., л, а 1 (5.! 16) где Л = сс + 4. Тан как определитель системы (5.116) равен с(е! (А — ЛХ) (иапомним, что определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса и, согласно (5.115), этот определитель равен нулю), то система (5.116) однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение $а = ха + сую Й = 1, 2, ..., л.
Подставляя это решение в правую и левую части системы (5.116), учитывая при этом, что Л = а+ ср и отделяя затем вещественную и мнимую части полученных соотношений, найдем, что наборы (х„х„..., х„) и (у„у,, ..., у„) вещественных чисел «) удовлетворяют следующей системе уравнений: ~~ а!ахи = ахт — ()у!, и=! (5.117) « ~~ а>ау„= ау! + ()хн ! = 1, 2, ..., п, «=! Рассмотрим в данном базисе е„е„..., е„векторы х и у с координатами (х„х„..., х„) и (у„у„..., у„) соответственно. Тогда соотношения (5.117) можно переписать в виде Ах = ах — ()у, Ау = ау + ()х.
Умножим первое из полученных соотношений скалярно на у, а второе — на х. Очевидно, получим равенства (Ах, у) =сс(х, у) — р(у, у), 1 (х, Ау) = сс (х, у) + р (х, х). ! (5.118) Так как оператор А самосопряженный, то (Ах, у) = (х, Ау). Поэтому путем вычитания ссютношений (5.118) получим равенство (3!(х, х)+(у, у)1=0. Но (х,х)+(у,у)~0 (если (х,х)+(у,у)=0, то х,=О и у„= О, й = 1, 2, ..., л; следовательно, решение $а — — ха+ 1уа было бы нулевым, тогда как по построению это решение ненулевое). Поэтому 5 = О, а так, как р — мнимая часть корня Л = = а + ср характеристического уравнения (5.115), то, очевидно, Л вЂ” вещественное число.
Теорема доказана. «! Напомним, что не иса атн числа равны нулю„ Будем искать ненулевое решение следующей системы линейных однородных уравнений относительно $м $„..., $„: линвиныв опегатогы [Гл. г Как и в комплексном случае, для самосопряжеиного оператора справедливо утверждение о существовании ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора (аналог теоремы 5.21). Докажем это утверждение. Теорема 5.35. У каждого самосопряженного линейного опв. ротора А, действующего в и-мгрном вгщгствгнном евклидовом пространстве У, существует ортонормированный базис из собственных векторов. Д о к а з а т е л ь с т в о, Пусть л, — вещественное собственное значение оператора А, а е, — единичный собственный вектор, отвечающий этому собственному значению Це,~ = 1).
Обозначим через У, (п — 1)-мерное подпространство пространства У, ортогональное к е,. Очевидно, У, — инвариантное подпространство пространства У (т. е, если хЕ У„то Ах Е У,). Действительно, пусть хЕ У,; тогда (х, ег) = О. Поскольку оператор А самосопряженный и Х, — собственное значение А, получим (Ах, е,) = (х, Аег) = Х, (х, е,) = О. Следовательно, Ах Е У,, и поэтому У, — инвариантное подпространство оператора А.
Поэтому, мы можем рассматривать оператор А в подпространстве У,. Ясно, что в У, оператор А будет самосопряжеиным По теореме 5.34 у оператора А, действующего в У,, имеется вещественное собственное значение Х„которому отвечает собственный вектор е, ~ У, оператора А, удовлетворяющий условию 1е,~ = 1. Обращаясь далее к (и — 2)-мерному подпространству ортогональному векторам е, и е, и повторяя только что описанные рассуждения, мы построим собственный вектор е, оператора А, ортогональный векторам е, и е, н удовлетворяющий условию [е,1= 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
