В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Так как матрица Виь является положительно определенной и симметричной, то для нее существует ограниченная н симметричная обратная матрица, которую мы обозначим через В-и'. Заметим далее, что с помощью замены Х В-'и У' и умножения слева на матрицу В-и' задача на собственные значения СХ = кВХ переходит в зквивалентную задачу на собственные значения В-'/' С В-и')' кг', так что для доказательства леммы остается убедиться в том, что заведомо симметричная матрица В '~'. С В-»' является положительно определенной тогда и только тогда, когда является положительно определенной матрица С.
Это последнее сразу вытекает из того, что для любых двух ненулевых векторов Х и 1', связанных соотношением У = В-из.Х справедливо равенство (В н С В нХ, Х)=(С В ВХ, В г.Х) (СУ, )'). Лемма доказана. Теперь мы можем перейти к доказательству необходимости условий (6,14) теоремы 6.2 при дополнительном предположении о том, что матрица В является симметричной. 2) Н ео 6 ходи мост ь. Будем опираться на следующее утверждение из доказанной выше леммы: если матрица В является и'л. а итеР»пионные метОды 1ЗВ симметричной и положительно определенной, а матрица С явля- ется симметричной и не являео1ся положительно определенной, то задача на собственные значения СХ =ЛВХ имеет хотя бы одно ненолохсительное собственное значение Л,. Предположим, что не выполнено первое из условий (6.14), т. е.
не выполнено требование 2 — тА >О. Полагая в проведенных выше рассуждениях С = 2 — чА, мы получим, что задача на собственные значения (2 — чА) Х = = ЛВХ имеет хотя бы одно неположительное собственное значе- ние Л,. Обозначим через Хо> отвечающий Л, собственный вектор и выберем нулевое приближение Х, так, чтобы было выполнено условие Я = Хш, Тогда, переписав уравнение для погрешности (6.16) в виде ВЕ»+т = — ВЯ» + (2 — чА)Я», мы получим, последовательно полагая й равным О, 1, ..., 2,=(-1+Л,)Х,'и, г,-(-1+Л,)'Х'*1, ..., г»-(-1+Л,)" Хи', ... Поскольку — 1 + Л,~ -1, то очевидно, что 1Я») не стремится к нулю при й-» сь.
Аналогично рассматривается случай невыполнения второго условия (6.14), т. е. условия чА > О, В этом случае в проведенных выше рассуждениях следует положить С *= тА. Мы получим при этом, что задача тАХ = ЛВХ имеет хотя бы одно неположительное собственное значение Л, с собственным вектором ХО1.
Выбирая нулевое приближение Х, так, чтобы было справедливо равенство Е, = Хи1 и переписывая (6.16) в эквивалентном виде В2»„= = ВЕ» — чАЯ»> мы получим, что г,=(1-Л,)Х"', г,=(1 — Л,)'Х", ...,2„=(1-Л,)'Х"', ... Так как Л, м: О, то очевидно, что 1Я»( на стремится к нулю при й-«сю. Теорема 6.2 полностью доказана. Перейдем теперь к оценке скорости сходимости общего не- явного метода простой итерации. Следуя А. А. Самарскому е), вы- ясним вопрос о выборе такого значения параметра т, которое обес- печивает наиболее быструю сходимость.
Предположим, что матрица В является симметричной н поло- жительно определенной. С помощью такой матрицы естественно ввести так называемоееэ пергетическое»с к ал я р ное п р о и з в е д е н и е двух произвольных векторов Х и У, по- ложив его равным (ВХ, г) = (Х, Вг'). Такое скалярное произ- ведение будем обозначать символом (Х, 1')в.
') А. А. С а м а р с к н й. Введение в теорию разнсстных схем. — Мл Наука, 1971. А. А. Самар с к на, А. В. Гул ни. Устой»авеста разностных схем.— Мл Наука, 1973. З11 Итвэлцианнмв МатодЫ ьиювиии лииейИЫХ СистиМ 16Э Заметим, что энергетическая норма вектора Х и обычная его норма являются эквивалентными. В самом деле, справедливость неравенства у| '1Х( < '1Х(в, т.
е. неравенства т, (Х, Х) « < (ВХ, Х) вытекает из положительной определенности матрицы В, а справедливость неравенства 1ХЦ «: у»1Х), т. е. неравенства (ВХ, Х) «уг'1Х~~ вытекает из неравенства Коши — Буняковского и оценки (6.7) (достаточно положить у,' 1В (). Установленная эквивалентность обычной и эйергетической норм позволяет утверждать, что последовательность ) Х»1 сходится к нулю тогда и только тогда, когда сходится к нулю последовательность ( Х» )в. Для дальнейших рассуждений энергетическая норма является более удобной, чем обычная норма. Докажем следующую фундаментальную теорему.
Теорема 6.3 (теорема А. А. Самарского). Пусть матрицы А и В симметричны и положительно определены, 2» обозначает погреи»ность оби(его неявного метода простой итерации, Тогда, для того чтобы при р <." 1 было справедливо неравенство 1Я» 1в < р» '1 Л 1в, достаточно, чтобы было выполнено условие — В«А < — В. 1 — р 1+о т (6.21) 3 а м е ч а н и е.
А. А. Самарским доказано, что условие (6.21) не только достаточно, но и необходимо для справедливости неРавенства 1Я»(в ~ Р» Щв, но мы на этом останавливатьсЯ не будем. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 6.3. Для удобства разобьем доказательство на два шага. 1'. Сначала докажем, что если симметричные и положительно определенные матрицы А и В удовлетворяют условиям Самарского (6.14), то (ВХ»+и Яь») ~ (ВХ», Еь).
С помощью матрицы В'Р это скалярное произведение можно записать в виде (Х, г)э = (Вц'Вы'Х, у') = (ВиеХ, ВпЧ'). С помощью последнего равенства легко проверяется справедливость для введенного нами скалярного произведения четырех аксиом скалярного произведения (см. и. 1 5 1, гл. 4). Далее естественно ввести энергетическую норму вектора Х, положив ее равной у'(Х, Х)в — — у'(ВХ, Х). Эту энеРгетическУю ноРмУ мы обозначим символом )Х)в. Две различные нормы одной и той же совокупности векторов 1Х 1» и 11 Х (~, называют э к в и в а л е н т н ы м и, если существуют такие положительные постоянные у, и ум что справедливы не- равенства !Гл. б итзг»ционные методы !то Умножая равенство (6.15) скалярно на 2тг»„= т (г»+, + + г») + т (г», — г»), получим (в(㄄— г,), г»„+г,)+(в(㻄— г,), г„,— г,)+ +т(Аг»„, г»„+г»)+т(Аг», г„,— г»)=О. В последнем равенстве заменим Аг» на разность 1 ! — А (г»+, + г») — — А (г»»» — г»).
Тогда, учитывая вытекающее из симметрии матрицы А ра. венство (А (㻄— г»), г»„+ г») = (㻄— г», А (г»„+ г»)), мы получим тождество (В(г»„м — г»), г»,+г»)+ (( — — А) (㻄— г»), г»+»+г») + + ~ (тА (г»+»+ г») г»ы + г») = О. ! Учитывая, что (в силу условий Самарского (6.14)) операторы еА и  — ' А являются положительно определенными, мы получим из последнего тождества следующее неравенство: (в(г,„— г»), г»„+г») < О.
Это неравенство эквивалентно доказываемому неравенству (Вг»,м г»„) ( (Вг», г») (в силу вытекающего из симметрии оператора В тождества (Вг»„„г») = (г„„Вг»)). 2'. Пусть теперь при р <1 выполнены условия Самарского (6.21). Докажем справедливость неравенства !г»)а < р»Цг,1а, Положим г» = р»У». Тогда, очевидно, г»+» — г»=Р У»»» — Р У»=Р '(У»ы 1'») — (1 — Р)Р У». Подставляя эти значения г» н г», — г» в равенство (6.15) и производя сокращение на р', получим для величин У» следующее соотношение: (6,22) ! — р в котором В =РВ, А= А — — В.
В силу условий (6.21) операторы В н А удовлетворяют условиям тА > О, 2В ) тА. Из этих условий и из того„что уравнение (6.22) для У» совершенно идентично уравнению (6.15) для г», в силу первого шага для У» вытекает следующая оценка: З!) ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Щ аыО...О 0 аы . ° ° О ° ч ° ° ° ° 0 0 ° .. ава (6.23) ') Мы учитываем, что ЕА = р Уы Ее Уа. «ч) Постояииые Та и Та естественно иазвать и о и с т а и т а м и в и в в в ал ел та ости матрйц А и В.
Для коммутирующих матриц А и В постоянные уч и Т, соответственно равны иаимевьшему в иаибольшему собствеииым зваче. виям задачи АХ АВХ. (ВУ»чы УА+,) ~ (ВУЫ Уа). Из втой оценки в свою очередь, учитывая, что В =рВ, получим неравенство (ВУ„„, У„„) м: (ВУА, УА). Последовательное применение указанного неравенства для номеров й = О, 1, ... приводит нас к соотношению (ВУА, УА) м: «(ВУе, Уе), а Умножение последнего соотношениЯ на Рга пРиводит к окончательной оценке *) (ВХА, ХА) ~ ры (В7„7е). Тем самым неравенство )ХА)з < р'1г",ч~~ доказано. Доказательство теоремы 6.3 завершено. В заключение применим теорему Самарского 6.3 для выяснения вопроса о выборе такого значения параметра т, при котором скорость сходимости является максимальной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
