В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Докажем сходимость метода вращений. Обозначим символом Я сумму квадратов всех внедиагональных элементов матрицы А„ а символом а(ч> наибольший по модулю внедиагональный эле'ч~ч мент этой матрицы. Тогда в силу (6.37) справедливо равенство 5',+1 = Зз — 2 [а(ю~ ~з.
(6.38) Далее, поскольку общее число внедиагональных элементов матрицы А, равно л (и — 1), а аг('() — наибольший по модулю из этих элементов, то справедливо неравенство яз ~ч~ч) Л(л — !) ' Из (6.38) и (6.39) вытекает неравенство "+""1' — .(.— ) 1. (6.39) (6.40) Последовательно используя неравенство (6.40), записанное для номеров О, 1, „., ч, и обозначая через З~е = За (А) сумму квад- ратов всех внедиагональных элементов основной матрицы А, мы получим, что от+~ < ое(А) (1 — „ „ () ~ ° (6.41) Из неравенства (6 41) сразу же следует, что !пп 5'„,~ = О, что ч а и доказывает сходимость метода вращений. В качестве приближенных значений собственных чисел матрицы А берутся диагональные элементы матрицы А„, а в качестве приближенных собственных векторов матрицы А берутся столбцы матрицы Ти .
Т,, ... Т,,~. Более точные результаты получены В. В. Воеводиным "). Для случая, когда произвольная (не обязательно симметричная) матрица А не имеет жорда- ') Номера ( н / на кюкдом шаге ныбирвютск такими, чтобы наибольшим по модулю являлся виеднагональны» элемент матрицы А„с этими номерами. ") В. В. В о е в о д и н, Численные методы алгебры, Теория н алгорнфмы. — М.г Наука, 19бб.
(гл, е итврдционныв методы 184 а) для собственных значений оценку Л! = ли+ ~ +0(ез) ~ч а!рар! ~.'.) пц — орр р=-! (из указанной суммы исключаются значения р, принадлежащие множеству Я! тех чисел / = 1, 2, ..., и, для которых Л! = Л,); б) если Т вЂ” матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А и Т = Е+ Н, где Š— единичная матрица, то для элементов Иц матрицы Н справедливы оценки О, если Л! = Лл + 0(е'), если Л!+ Лр ац — оц Если А — к о м п л е к с н а я з р м и т о в а матрица, то вместо матрицы (6.31) следует взять унитарную матрицу 1 соз 4!.
1 — мп !регч (ю-я строка), (6.42) Тц® Р) = 1 мп~ре 'Е... соз!р. ()-я строка). При атом вместо равенства (6.34) мы придем к равенству ~~ ~~ ) аы)'= ~„'~ !аа,) — 2~ац) + а=!! ! а=! 1-! + 2 ) ац) ~ сов' ф еа" — в1и !р е ' " ' + (ан — а!) сов !р в1и <ре~ )з, в котором через зх обозначен аргумент комплексного числа ац.
новых клеток и все ее внедиагональные элементы являются величинами порядка е и малы по сравнению с числом р = ппп )Л! — Л)1, В. В. Воеводин получил а! чзх) следующие оценки: метод ВРАшений Для максимального уменьшения суммы квадратов модулей внеднагональных элементов следует у матрицы (6А2) выбрать такие номера 4 и ), чтобы элемент аы был наибольшим по модулю внедиагональным элементом матрицы А, а выбор углов у и ф подчинить условию )а~)(соз ~р.е~ — з1п ~р е ' ~ '+(ап — ан)соз~р.з1п~р.е~~) =О. Последнее условие приводит к соотношениям агдам, Тй2~р —, )<р) ~ —. 2) аы) л ан — ап' 4 Доказательство сходимости метода вращений проводится точно так же, как н для случая вещественной матрицы.
ГЛАВА 7 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В этой главе изучаются б и л и н е й и ы е ф о р м ы, определенные в вещественном линейном пространстве, т. е. числовые функции двух векторных аргументов, линейные по каждому из этих аргументов. Подробно исследуются так называемые к в а др а т и ч н ы е ф о р м ы, представляющие собой билинейные формы, определенные для совпадающих значений нх аргументов. Рассматриваются также некоторые приложения теории билинейных и квадратичных форм. й 1. Билинейные формы 1.
Понятие билинейной формы. Понятие билинейной формы в произвольном линейном пространстве было введено нами ранее в главе 5. Однако для удобства изложения в этом пункте мы напомним некоторые определения и простейшие утверждения. Определение 1. Числовая функция А (х, у), аргументами которой являются всевозможные векторых и у вещественного линейного пространства С, называется б и л и н е й н о й фа рм о й, если для любых векторов х, у и и из 1, и любого вещественного числа 7 выполняются соотношения А(х+ л, у) = А(х, у)+ А(л, у), А(х, у+ и) =А(х, у)+А(х, л), А(хх, у) = ХА(х, у), А(х, Ху) =)сА(х, у). (7.1) ') Пра атон часто говорят, что бяяаяеавая форма А (х, у) вазона на линейном ярасюраневае е..
Иными словами, билинейная форма представляет собой числовую функцию А (х, у) двух векторнатх аргументов х и у, определенную на всевозможных векторах х и у вещественного линей- наго пространства Т. и линейную по каждому из этих аргументов э). Простейшим примером билинейной формы может служить произведение двух линейных форм 7 (х) и д (у), определенных на векторах х и у линейного пространства Е. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 1В7 Определение 2.
Билинейная форма А (х, у) называется с и мметрично й (кососимметрично й), если для любых векторов х и у линейного пространства Е выполняются соотно!иения А(х, у) =А(у, х) (А(х, у) = — А(у, х)). (7.2) л В(х, у)= лв Ь!(ь!Ч(, с, т-! (7.3) где Ь„=В(еь е), (7.4) а $! и т)( — координаты в базисе е векторов х и у соответственно.
л л Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х= ~ 5!е! и у= ~~ т1(е(— т=! /=1 разложения векторов х и у по базису е. Так как форма В (х, у) линейна по каждому из аргументов х и у (см. (7.1)), то ( л л л В(х, у)=В~~ $!е!, Е Ч(е,~ = ~„'В(е„е()$!т)(. с, т=! Таким образом, для формы В (х, у) справедливо представление (7.3) с выражениями (7.4) для коэффициентов Ьы, Чтобы доказать однозначность этого представления, предположим, что для В (х, у) справедливо представление (7.3) с н ек ото р ы м и коэффициентами Ьо. Беря в (7.3) х = е!, у =ем мы сразу же получим выражения (7.4) для коэффициентов Ьт(. Теорема доказана. Определение. Матрица ь ь °,.ь (Ь,) ь* ь ьт Ьле °, . ьлл (7.5) Справедливо следующее утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и косо- симметричной билинейных форм (см.
п, 1 5 9 гл(5). 2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве. Пусть в и-мерном линейном пространстве Е задана билинейная форма В (х, у). Выясним вопрос о представлении формы В (х, у) в случае, когда в Е задан определенный базис е = (е,, е„..., ел). Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.1. Билинейная форма В (х, у) при заданном в и-мерном линейном пространстве базисе е=(е,, е„..., е„) может быть однозначно представлена в следующем виде; 108 БилинеЙные и квАдРАтичные ФОРмы !гл. т элементы Ьм которой олределены с ломои(ью соотношений (7.4), называется м а т р и ц е й б и л и н е й и о й ф о р м ы В (х, у) в данном базисе е. 3 а м е ч а н и е Е Обратимся к вопросу о построении всех билинейных форм в данном конечиомерном вещественном прост- ранстве 7..
Ответ на этот вопрос следующий: любая квадратная матрица (Ь;!) является в данном базисе е = (е,, е,, ел) матри- цей некоторой билинейной формы. Убедимся в справедливости этого утверждения. Определим в линейном пространстве 7. с данным базисом е = (е„е„..„е„) с помощью матрицы (Ьгз) числовую функл цию В (х, у) двух векторных аргументов х= ~ е!е! и у= 1 ! л л = Еч,е! вида В(х, у) = ~„'Ь!Д!тЬ. у=! 1, г=! Легко видеть, что эта функция удовлетворяет всем условиям определения билинейной формы. Но тогда, согласно теореме 73, элементы Ьи заданной матрицы равны В (е!, ез), а написанная выше формула есть представление этой формы в виде (7.3).
Согласно сделанному замечанию естественно называть пред- ставление (7.3) билинейной формы В (х, у) о 6 щ и м в и д о м билинейной формы в лмериом линейном пространстве. 3 а м е ч а н и е 2. Если В (х, у) — симметричная (кососим- метричная) билинейная форма, то матрица (7.5) этой формы в ба- зисе е является симметричной (кососимметричной). Справедливо и обратное — если матрица (7.5) билинейной формы В (х, у) симметрична (кососимметрична), то и билинейная форма является симметричной (кососимметричной). Убедимся в справедливости этого замечания.
Пусть В (х, у) — симметричная (кососимметричная) билиней- ная форма. Полагая в соотношениях (7.2) х = е!, у =е;, полу- чим, согласно (7.4), Ь„=Ьн, (Ь„= — Ья), (7.6) т. е. матрица (7.5) является симметричной (кососимметричной). Пусть теперь матрица (7.5) билинейной формы В (х, у) сим- метрична (кососимметрична), т. е. ее элементы удовлетворяют соотношениям (?.6). Тогда из соотношения (7.3) и соотношения л В(у, х)= ~ ЬзД!т)! следует, что В(х, у)=В(у, х), (В(х, у)лл о! ! = — В(у, х)), т. е. форма В (х, у) является симметричной (ко.
сосимметричной). 3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы. Рассмотрим в линей- ном пространстве Ь два базиса е = (в„ е„ ..., е„) и 199 Билинейные ФОРмы = (р1, Л, ...,,7'„). Пусть А (е) = (ац) и А Щ (Ьц) — матрицы данной билинейной формы в указанных базисах. Выясним вопрос о связи этих матриц, т. е.
выясним вопрос о преобразовании матрицы ац билинейной формы при переходе от базиса е к новому базису 7. Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.2. Матрицы А (е) и А (() билинейной формы А (м, у) в базисах е = (е„е„..., е„) и 7 =(71, 7„..., 7" ) связаны соотношением А ()) = С'А (е) С, (7.7) Д,= ~ с„е. Р ! (7.8) Так как Ьуь = А (Ху, Л), то, согласно (7.8), получим / а уу Ь,„- А (7ц 7л) = А ~ ~ с„е„~; суьеу У 1 у 1 2.1 А(еу, е,)сцсу„= Е ацсцсяь (7.9) У, 1-1 У, у 1 Напомним, что элементы си транспонированной матрицы С' связаны с элементами си матрицы С соотношениями сц = с;,. Подставляя эти соотношения в правую часть (7,9), получим для Ьж следующее выражение: уу Ьууу ~ ацсуусул = Е суу ~ ~'„ау!гул ~ .
(7АО) У, у -1 у=! Сумма ~~ ацсу„(по определениуо произведения матриц) пред! ! ставляет собой элемент матрицы А (е) С. Ог юда следует, что выражение в правой части (7.10) является =. е' чтом матрицы С' А (е) С. Но в левой части (7АВ) стоит элемент матрицы А (7). Поэтому А (7) = С'А (е) С. Теорема доказана. Следствие. Ранг матрицы А Я равен рангу матрицы А (е). Это сразу вытекает из соотношения (7.7), йз того, что матрица С и, стало быть, матрица С' являются невырожденными, н из теоремы о том, что ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырожденную матрицу. где С = (сне) — матрица перехода от базиса е к базису 7', а С'— транспонйрованная матрица С. До к аз а тел ь от в о. Элементы 7л нового базиса 7 выражаются через элементы е„старого базиса е с помощью матрицы С = (сре) по формулам вилинеяные и квлдглтичные еогмы !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
