В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 40
Текст из файла (страница 40)
+ Х»»)». (7.18) Ясно, что в ~ н. Так как ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы в любом базисе„то из (7,18) и условия Х, Ф О прн 1 = 1, 2, „й вытекает, что ранг формы равен й. Таким образом, число отличных от нуля канонических ковффициентов равно рангу квадратичной формы. 2. Метод Якоби. При некоторых дополнительных предположе.
пнях о квадратичной форме А (х, х) можно указать явные формулы перехода от данного базиса е = (е„е„..., е„) к каноническому базису ( = (гп г,„...,,7„) и формулы для канонических коэффициентов Ц. Предварительно мы введем понятие т р е у г о л ь н о г о п р е о б р а з о в а н и я базисных векторов. Преобразование базисных векторов е„е„..., е„называется т р е у г о л ь н ы м, если оно имеет следующий внд; ! ,г,=е„ Л = Ф»»е» + иа»е» + е», (7.! 9) Л„= и„,е, + а„,е, + ° ° ° + е„. 3 а м е ч а н и е.
Так как определитель матрицы треугольного преобразования (7.19) отличен от нуля (равен 1), то векторы,Г"„ ,Г"„...,,7 „образуют базис. Введем в рассмотрение угловые миноры матрицы А (в) (ам) коэффициентов формы А (х, х) в базисе в, обозначив их символами Ь„б„..., Ь„»: ап . ° ° аь а-» (ам а»»1' ''' аа-», » ° ° ° ав-»,а — » 196 Билинвйныа и кВАдРАтичныв ФОРмы [ГЛ, 1 Справедливо следующее утверждение. ТеоРема 7.4. ПУсть миноРы йи й„...у йя, матРиЦы (ац) квадратичной формы А (х, х) отличны от куля. Тогда существует единственное треугольное преобразование базисных векторов е„е„..., е„, с иомощью которого форму А (х, х) можно привести к каноническому виду.
До к аз а тельство. Напомним, что коэффициенты Ьц формы А (х, х) в базисе 7ц )."„..., 7"„вычисляются по формулам Ьц = А (У,,' Уу). Если форма А (х, х) в базисе,~ц ую ..., 7"„имеет канонический вид, то Ьц 0 при 1+ 1. Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить с помощью треугольного преобразования (7.19) такой базис 7"„7ю ..., 7'„, в котором будут выполняться соотношения А(уу„7))=0 прн 1.)*/, нли, что то же, прн 1с.1 (7.21) (при этом, конечно, надо убедиться, что искомое преобразование единственно). Если обратиться к формулам (7.19) для 7„ то, используя линейное свойство квадратичной формы А (х,х) по каждому аргументу, легко заметить, что соотношения (7.21) будут выполнены, еслн будут выполнены соотношения *) А(ео,~,)=0, А(ею .11)=0, ..., А(е, и .71) О, (7.22) 1 2, 3, ..., и.
Запишем формулы (7.22) в развернутом виде, Для этого подставим в левые части этих формул выражение Л=аие,+а„е,+ "° +а...еда+ еу (7,23) для,~у из соотношений (7.19). Используя далее свойство линейности А (х, х) по каждому аргументу и обозначение А (е„еу) ац, получим в результате следующую линейную систему уравненнй для неизвестных коэффициентов аул." аиап+ алаш+ ° ° ° + ау„,аь у, + ац О, (7.24) алау ... + ананд, с + ° ° ° + аь Ааау ь ), + ау,, у — О. Определитель этой системы равен йу, По условию ау, чь О. Следовательно, система (7.24) имеет единственное решение.
Таким ') Нструдао убегаться, что яз соьтяошеяяа (7.21) следуют состяошсаяя 17. 22). э з|пгиваданиа квлдэатичнои еоэмы к стммв квадгатов 1вт образом, можно построить единственное треугольное преобразование базисных векторов, с помощью которого форма А (х, х) приводится к каноническому виду, Теорема доказана. Приведем формулы, по которым можно вычислить коэффициенты ау, искомого треугольного преобразования, и формулы для канонических коэффициентов Ху. Обозначим символом Ьу,, минор матрицы (ап), расположенный на пересечении строк этой матрицы с номерами 1, 2, ...
...,/ — 1 и столбцов с номерами 1, 2, ..., 1 — 1, 1 + 1, ..., 1. Тогда, обращаясь к системе (7.24) и используя формулы Крамера, полУчим следУющее выРажение длЯ ап1 а ал =( — 1) у+у у — 1,у у — ! (7.25) Займемся вычислением канонических коэффициентов Ху. Так как Ху = буу — — А ( Гу, уу), то из выражения (7.23) для 7у и формул (7.22) получаем Ху = А (Ду,,у"у) = А (апе, + а„е, + " ° + а„у,еу, + еу, Ду) = А(еу, Ду)=А(еу, ау,е,+а„е,+ ° ° ° +ал у,еу,+еу)= = аууауу + ау1ам + ° ° ° + ау, у,а, „, + аль Подставляя выражекне (7.25) для ап в правую часть последнего соотношения, найдем Ху = (( — 1)У+уаууЬу „, + ( — 1)У+та,уЬу ма+ ° ° ° "° +( — 1)ту-1 ау „уЬу „, у т+аууЬу 1)Ьу 11 Ху= — У, 1=2, 3, ..., и.
ау Ф (7.26) Так как )1, А (Г;, ~;) = А (е„е,) = а„= Ь„то отсюда и из (7.26) получаем следующие формулы для канонических коэффициентов: Ад= Ь, Х, —,...й аэ ап и ау' "' ауут' (7.27) Числитель последнего соотношения представляет собой сумму произведений элементов строки с номером / в определителе Ьу иа алгебраические дополнения этих элементов в указанном определителе.
Следовательно, этот числитель равен Ь;. По- этому БилинеЙные и квАЛРАтичные ФОРмы !Гл. т 198 й 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм 1. Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали (см. замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования„ с помощью которого форма А (х,х) приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы А (х„х) к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов.
Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания. Пусть форма А (х,х) в базисе е = (е» е„ ..., Е„) определяется матрицей А (е) = (ао): А(х, х)= ~ а!,БД„ „1-! (7.28) где е» е„..., е„— координаты вектора х в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду А (х, х) = Х!р! + Хг)гт + * + Хера (7.29) 1 ! 1 Чг = у — Р! Чэ = у — Р» ° Че = у — !ге У! Ух Ух 1 1 Че+т — Ре+» '~ Чь = .
— )гь У хе ''' р х* Чью = Рь+» ° ° ° ю Ча Ре (7 30) В результате этого преобразования форма А (х, х) примет вид А(х, х) = т1э!+ Ча+ "° + Ч, '— Че+! — ° ° ° — т)~а, (7.31) называемый нормальным видом квадратичной формы. ') Легко вплеть, что определитель этого преоарааоааппа отлвчеп от пула. причем Х» Х» ..., Ха — отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые д из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты — отрицательные: ),~о, ),~о, ..., х,~о, )„,~о, ..., )„<о. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат р,е); З»1 ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.
КЛАССИФИКАЦИЯ 199 Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат $„$„..., 5„вектора х в базисе е = (е,, е„..., е„) ти =и,»9, + а,»9»+ ° ° ° +а,„$„, (7.32) 1=1, 2, ..., и, ое1 (аы)+О (это преобразование представляет собой произведение преобразований 9 в р и р в т1 по формулам (7.30)) квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.3!). Докажем следующее утверждение: Теорема 7.3 (закон инерции квадратгги нных йборм~. Число слагаемых с полоэкительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. До к а з а тел ь но.
Пусть форма А (х, х) с помощью невы- рожденного преобразования координат (7,32) приведена к нормальному виду (7.31) я с помощью другого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду А (х х) = ь1 + ь»+ ' ' ' + й — ь»Р+1 — — ь» (7.33) Очевидно„для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства р = д. Пусть р > о. Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что по отношению к базисам, в которых форма А (х, х) имеет вид (7.ЗП и (7.33) координаты ц„Ч„..., т1, и этого вектора равны нулю: га О, т1»= О, ° °, ц,=О, ~Р,»=0, ° °, ~„=0. (7.34) Так как координаты гп получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат $Н ..., $„, а координаты ~,— с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат $Ц ..., $„, то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно координат $„..., 9„искомого вектора х в базисе е =(е„е„..., и„) (например, в развернутом виде соотношение гп = 0 имеет, согласно (7.32), вид а,»9, + а„а, + ...
+ а,„$„= 0). Так как р > 9, то число однородных уравнений (7.34) меньше и, и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат 9„..., $„искомого вектора х. Следовательно, если р >д, то существует ненулевой вектор х, для которого выполняются соотношения (7.34). Подсчитаем значение формы А (х, х) для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям (7,31) и (7.33), получим А(х, х)=-Ч»„".-ц»а=(,+Й+".+~Р'. 200 БИЛИНЕЙНЫВ И КВАДРАТИЧНЫВ ФОРМЫ (Гл, т Последнее равенство может иметь место лишь в случае т(гм = ...
= т)„= О и ь, = ьт = ... = ьр —— О. Таким образом, в некотором базисе все координаты ьо ь„..., ь„ненулевого вектора х равны нулю (см. последние равенства и соотношения (7,34)), т. е. вектор х равен нулю. Следовательно, предположение р > в ведет к противоречию. По аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение р (в. Итак, р = с. Теорема доказана. 2. Классификация квадратичных форм. В п. 1 2 2 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм. В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому илн иному из перечисленных выше типов.
При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т. е. ее ранг), положительным индексом инерции — число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции — число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного н отрицательного индексов инерции равна индексу инерции. Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы А (х, х) соответственно равны й, р и в (й = р + с). В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе / = ()т, 7".„..., Г"„) эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду: А (х, х) = ф + т(т + ° ° + т)р — т(р+! — ° ° — т(м (7.35) 2 2 2 т т где т(„т(„..., т)„— координаты вектора х в базисе (.
1'. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы, Справедливо следующее утверждение: Для того чтобы квадратичная форма А (х, х), заданная в и-мерном линейном пространстве Е, была знакоспределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции р, либо отрицательный индекс инерции д был равен раз. мерности п пространства В. При этом, если р = и, то форма положительно определенная, если же с = и, то форма отрицательно определенная. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
