В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Следовательно, мы можем сделать важный вывод: при параллельном переносе группа старших членов сохраняет свой вид. Займемся теперь формулами (7.77) и (7.78). Так как л 7 л А!д', 1- В (Ь!'л*ч)л »=1 1=! В(х') = Е Ь»х», » 1 л А(х, х) = 2; а,»х,хм 1. »-1 л В(х) = ~, 'Ь»хм то формула (7.77) примет вид л л Г л В'(х') = ~ Ь;х„'= ~ ~~ а1»х7+ Ь, х», (780) * ! » ! а формула (7.78) запишется следующим образом: с' ~ а7»х1х»+ 2 Е Ь»х»+с. Ь »-1 » 1 (7.8!) Где линейная форма В' (х') и постоянное число с' определяются соотношениями 216 Билинейные и кВАДРАтичные ФОРмы (гл.
т Таким образом, уравнение (7,76) в координатах будет иметь следующий вид: л л ~~ а,, х,'х, '-»- 2 2,' Ь;х'„-«- с = О. (7.82) /, д ! д=! Нам понадобится несколько иное, чем (7.81), выражение для с'. Запишем (7.8!) в следующей форме: л Г л л с'= ~ ~ ~ а/дх,+Ьд»'хд + ~~ Ьдхд+с. (7.83) ! у=! и ! Учитывая, что коэффициенты Ь» выражаются, как это следует из (7,80), по формулам Ь„' = ~" а,дх, +Ь, (7.84) мы получим из (7.83) нужное нам выражение для с': и с' = ~ (Ь, + Ь,) хд + с.
и ! (7 85) а/„х,'хд = ~" а/дх/хд, /,д=! !.д л и ~ Ь' „' = ~~ Ь х/л д ! и=! (7.87) с'=с. 4, Преобразование общего уравнения гнперповерхности второго порядка прн переходе от ортонормнрованного базиса к ортонормированному. Пусть ортонормнрованный базис «ед» преобразуется в новый ортонормированный базис «ед» по формулам (7.70) и Р— ортогональная матрица этого преобразования (см, (7.71)), Тогда, согласно замечанию в п. 2 этого параграфа, координаты хд и хд точки в базисах «ед» н «ед» связаны соотношениями (7.75). Подставляя выражение для хд из (7.75) в левую часть уравнения (7.66) и учитывая, что вследствие однородности соотношений (7.75) группа старших членов и линейная часть уравнения (7.66) преобразуются автономно, получим следующее выражение для общего уравнения гиперповерхности второго порядка в координатах х» точек в преобразованном базисе «ед»: л и а,'дх,'х, + 2 ~ Ь;хи+с О, (7.86) /, д-! д-! Согласно отмеченной выше автономности преобразования группы старших членов, справедливы равенства ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 217 Обращаясь к первой из формул (7.87), мы видим, что для определения коэффициентов а,'р можно воспользоваться правилом преобразования коэффициентов квадратичной формы при переходе к новому базису.
Именно, если обозначим буквой А' матрицу квадратичной формы А (х,х) в базисе «ер», то, согласно теореме 7.2 и соотношению Р' = Р ', получим следующую связь между матрицами А и А' формы А (х, х) в базисах «ер» и «е„'»: А' =Р'АР (7.88) (напомним, что Р— матрица ортогонального преобразования). Будем рассматривать теперь матрицу А' как матрицу некоторого линейного оператора А в базисе «ее» "), а матрицу Р ' как матрицу перехода от базиса «ер» к базису «ер».
Тогда, согласно теореме 5.7 (см. и. 2 2 2 гл. 5) матрицу А можно рассматривать как матрицу этого линейного оператора А в базисе «ер». Иными словами, матрица квадратичной формы при преобразовании ортонормированного базиса в ортонормированной изменяется как матрица некоторого линейного оператора. Этот вывод мы используем в следующем пункте. 3 а м е ч а н и е. Отметим, что оператор А, матрица которого в ортонормнрованном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы А (х, х), самоеопряженный, Для доказательства проведем следующие рассуждения.
Пусть А (х, х) — квадратичная форма и А (х, у) — симме» тричная билинейная форма, полярная форме А (х, х). Согласно теореме 7.8 билинейная форма А (х, у) может быть представлена в виде А(х, у) =(Ах, у), где А — самосопряженный оператор. Поэтому квадратичная форма А (х, х) может быть представлена в виде А(х, х) =(Ах, х). Докажем, что в ортонормированном базисе «ее» матрицы оператора А и квадратичной формы совпадают, Этим будет доказано утверждение замечания.
Пусть аж — элементы матрицы формы А (х, х) и аж — элементы матрицы оператора А в базисе «е„». Согласно п. 2 2 1 этой главы авд *= А (еп ее), а элементы анм согласно и, 1 2 2 гл. 5, и формуле (5.13), могут быть найдены из равенств Ав, = Я а; вр. р 1 '1 Согласно теореме 5.5 (см. и. ! б 2 гя. 61 любая квадратная матрица яз л строк и и столбцов может рассматриваться кви матрица некоторого линейного операторе, действующего и п.мерили лрсстрвистяе. 21в билинейные и квАДРАтичные ФОРмы 1гл, т Умножим обе части последнего соотношения скалярно на и,. Тогда, учитывая ортонормированность базиса «е»», получим (Авн е,) = аж.
Так как А (ен е») = (Аен е»), то а~» = ам. Утверждение замечания доказано. 5. Инварианты общего уравнения гиперпоаерхности второго порядка. Назовем и н в а р и а н т о м общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гиперповерхности второго порядка относительно параллельных переносов и преобразований ортогональных базисов в ортогоиальные такую функцию ) (агн ам, ..., а„„, Ь„ ..., Ь„, с) коэффициентов этого уравнения, значение которой не меняется при указанных преобразованиях пространства. Докажем следующее утверждение~ Теорема 7,П.
Онвариантами общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гиаерповерхности второго порядка являются коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы А (х,х) и олределитель бе1 В матрицы В в соотношении (7.67). В частности, инвариантами яаляются бе1 А и след а„+ а», + °" ° ° + а„„матрицы А.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, инвариантность перечисленных в условии теоремы величин достаточно доказать отдельно для параллельного переноса и преобразования ортонормнроваиного базиса в ортонормированный. Рассмотрим сначала лараллельный перенос. В п. 3 этого параграфа мы установили, что при этом преобразовании группа старших членов сохраняет свой вид (см. формулу (7.79)).
Поэтому не меняется матрица А, а следовательно, и характеристический многочлен этой матрицы. Докажем иивариантность пе1 В. При параллельном переносе (7.68) (или (7.69)) матрица преобразуется в матрицу В', определитель которой, согласно (7,82), имеет вид аи,, а„ь1 бе(В'= (7.89) ь, ... ь„с где величины Ь» и с' определяются по формулам (7.84) и (7.86). Вычтем из элементов последней (и + 1)-й строки определителя (7.89) элементы первой строки, умноженные на х„затем элементы второй строки, умноженные на х„и т. д., наконец, элементы п-й строки, умноженные на х„.
Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя (7.84) и (7.85), получим ГИПЕРПОВЕРХМОстн ВТОРОГО ПОРЯДКА 2!э соотношение в!! . . . а!л Ь! !!л! ' ' ' алл Ьл (7.90) бе1 В' = / и Ьл ~ 2' ЬАХА+с А ! ь, где х„„= 1.
Рассмотрим преобразование переменных хп х„..., х„, х„+, в переменные х!, хт, ..., х„', х.',!, при котором первые л переменных преобразуются по формулам (7.75), а переменная х„+, преобразуется по формуле х ! = х„',!. Вычтем теперь из элементов последнего (и + !)-го столбца определителя (7.90) элементы первого столбца, умноженные на х„ затем элементы второго столбца, умноженные на х, н т.
д., наконец, элементы л-го столбца, умноженные на х„. Так как прн таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя соотношение агл = а!я вытекающее нз симметричности формы А (х, у), н формулу (7 84), мы получим в результате де1 В. Итак, равенство де1 В' = бе1 В доказано. Следовательно, бе1 В инвариантен относительно параллельных переносов. Рассмотрим теперь пргобразованив ортонормированного базиса в ортонормированный. Во-первых, убедимся, что коэффициенты-характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы являются инварнантами рассматриваемого преобразования. В предыдущем пункте мы установили, что прн переходе к новому ортонормированному базису матрица А изменяется как матрица некоторого линейного оператора. Но в таком случае, как следует из замечания 1 п.
3, 5 2, гл. 5, коэффициенты характеристического многочлена этой матрицы не меняются при переходе к другому базису. В ЧаСтНОСтИ, ОПрЕдЕЛИтЕЛЬ бЕ1 А И СЛЕД ам + а„ + ° ° + алл матрицы А, как коэффициенты характеристического многочлена, являются ннварнантамн. Нам останется доказать инварнантность определителя бе1 В прн преобразовании ортонормнрованного базиса в ортонорчнрованный. Приступим к этому доказательству Применим следующий прием, Введем обозначения ЬА = = аА,„„, й = 1, 2, ..., л, с = а„„,„„. Тогда уравнение (7.66) гнперйоверхности можно записать следующим образом: л+! а!„х!х„0, (7.91) /, А ! йзо вилииииныя и кв»дР»тичныи ФОРмы 1гл.
т Ясно, что это преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при преобразовании ортонормированного базиса е„ е„ ..., е„, е»и (и + 1)-мерного евклн. дова пространства, причем матрица Р этого преобразования имеет вид Р— р,.' '. '.. ' р„'„'0 . (7.92) Легко видеть, что матрица Р удовлетворяет условию Р' = Р-' и поэтому является ортогональной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
