В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Формулы (8.19) называют формулами преобразования координат теизора при преобразовании базиса. Отметим, что ковариантные и контравариантные координаты вектора преобразуются по формулам (8.19) (при р = ! и с! = 0 в первом случае и при р = 0 и с! = 1 во втором, см, п. 8 5 1 этой главы), Поэтому вектор представляет собой'тензор ранга 1 (1 раз ковариаитный, либо ! раз коитравариантный — в зависимости от выбора типа координат этого вектора). Отметим, что рассматривают также тензоры ранга О. Зто тензоры, имеющие лишь одну координату, причем эта координата не снабжена индексами и имеет одно и то же значение во всех системах координат Тензоры ранга 0 обычно'называются и и в а р и а и- тами. 3 а м е ч а н и е 2.
Индексы с„..., ср называются ковариантными, а й„..., ܄— контравариантными. Наименование объясняется тем, что по каждому из упомянутых индексов преобразование координат тензора производится в полной аналогии с преобразованиями ковариантиых и контравариантных координат вектора (см формулы (8.17) и (8.!8)). Для того чтобы определение тензора было корректным, нужно убедиться, что последовательные переходы от базиса е, к базису вс, а затем от базиса ее к базису в,. приводят к такому же преобразованию координат тензора, что и при непосредственном переходе отв, ке,-. Пусть (Ь,',), (Ь,'.) и (Ь;) — соответственно матрицы перехода от базиса вс и базису е,, от базиса е, к вс* и от базиса в, к вс-.
Так как при последовательных переходах матрицы преобразований перемножаются, то очевидны соотношения твнзовы !гл» ззв Подставляя в правую часть (8.22) выражения координат АУ,' из (8.21) и учитывая соотношения (8.20), получим / / / /= </ /!) </ //.) </'/ '), < »»// »» ! / »»»» 6аЬ»~ А» Ь.
Ь//Ь Ь/А Р 1 Таким образом, последовательные переходы от базиса е, к базису е/, а затем к базису е/- приводят к такому же преобразованию координат тензора, как и при непосредственном переходе от в/ к ем. Корректность определения тензора установлена », » 3 а м е ч а н и е 3, Любая система л»ы чисел А/ /» может 1 Р рассматриваться в данном базисе е/ как координаты некоторого тензора А типа (р, /)) Чтобы убедиться в этом, определим в произвольном базисе вп с помощью формул (8.19) систему чисел А,',,',, которые будем рассматривать как координаты искомого 1 тензора А в базисе в/ . Очевидно, при переходе от базиса е/ к базису еп эти координаты преобразуются по формулам (8!9) Как и выше, легко убедиться, что последовательные переходы от базиса е; к базису еп, а затем к базису е/- приводят к такому же преобразованию полученных координат, как и при непосредствен»е ном переходе от в; к е/-.
Следовательно система чисел А;, Р действительно представляет собой координаты некоторого тензора А типа (р, д) 2. Примеры тензоров. 1' Н у л ь - т е н з о р. Среди тензоров типа (р, /1) следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю, Очевидно, соотнопения (8.19) выполняются. Отметим, что если координаты тензора А равны нулю в каком-либо базисе, то, согласно (8 19), они равны нулю в любом базисе, и, следовательно, А — нуль-тензор.
2'. Символ Кронекера, Убедимся, чтотензор А типа (1, !), имеющий в базисе е/ координаты 6», будет иметь в базисе аи координаты 6/- Итак, пусть А — тензор, имеющий в данном базисе е/ коорди. наты 6/ Для того чтобы найти координаты этого тензора в базисе еп, надо воспользоваться формулами (8.19), т. е. координаты тензора А в базисе вп равны Ь„" Ь,',6", Используя свойства символа Кронекера, получим Ь» Ь; 6; "= Ь»/ Ь = 6~/..
э т1 ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА. ОСНОВНые ОпеРАПИи НАД ТЕНЗОРАми 237 Итак, в новом базисе е~ координаты тензора А действительно равны б~~ . Поэтому символ Кронекера можно рассматривать как тензор типа (1, 1). 3'. Пусть А (х, у) — билинейная форма, заданная в конечно- мерном евклидовом пространстве Е", а е,, е,, ..., е„— какой-либо базис в этом пространстве. Тогда векторы х и у могут быть представлены в виде х = х'е„у = у1ел Используя линейное свойство формы А (х, у) по каждому аргументу, мы можем записать А (х, у) = А (х'е;, уге7) = А (ец ет) х'у!. Обозначим А (ец е;) через ац. ац — А (ен е7). (8.23) Тогда форма А (х, у) может быть записана следующим образом: А (х, у) = ацх'у!.
(8.24) Убедимся, что коэффициенты ац матрицы формы А (х, у) при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (2, О), т. е. представляют собой тензор типа (2, О). Рассмотрим произвольный базис ен, ее, ..., е„. Запишем в этом базисе форму А (х, у) в виде (8.24) А (х, у) = а, 7 хгуг причем а, 7 = А (егч ег ). (8.25 ) Перейдем от базиса ец ем ..., е, к новому базису ен, е2, ..., е„ Обозначая матрицу перехода от базиса е~ к базису е~ через Ь,' получим е, =Ь; е~ е7 =Ь;е;.
( ( Подставляя эти выражения для е~ и ег в правую часть (8.25) и используя линейное свойство формы А (х, у) по каждому аргументу, найдем а~ 7 = А Я ец Ь', е7) = Ь(,Ь;'. А (е,, е,). Согласно формуле (8.23) последнее соотношение можно переписать в виде ан; = Ь| Ь ац. с,( Следовательно коэффициенты ац матрицы билинейной формы преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (2, О) и поэтому могут рассматриваться как координаты тенвора такого типа.
4'. Каждому линейному оператору, заданному в конечномерном евклидовом пространстве Е" и действующему в то же про. странство, можно поставить в соответствие некоторый тензор типа (1, 1), причем этот тензор будет вполне определять указанный оператор. ггл. в тянзоры 238 Пусть у =Ех — линейный оператор, заданный в Е" и е„ ев, „., е„— базис в Е", Так как х = х'ео а у = д»е» и линейный оператор, то д1ег = хай (е ). (8.26) Разложим вектор Е (е;) по базису е„е„..., е„: Е(е,) = а,'ег Подставляя полученное выражение для Е (е,) в (8.26) и используя единственность разложения по базису, получим д' = а',.х', 1 = 1, 2, ..., и, (8.27) Напомним, что соотношения (8.27) можно рассматривать как координатный способ задания линейного оператора.
При этом матрицу (а,') коэффициентов а) называют матрицей линейного оператора. Убедимся, что коэффициенты этой матрицы при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (1, 1) и поэтому представляют собой тензор типа. (1, 1). Рассмотрим произвольный базис еп, ем, ..., е, . Запишем в этом базисе линейный оператор Е в аиде (8.27) д' = а,х', !' =! ', 2', ..., п'. (8.28) Перейдемтеперьот базиса ем ее, ..., е. к базису еп,ев, ..., е„. Обозначая матрицу перехода (Ь', ) (или, что то же самое„(Ь,'.)), получим *) (см.
п. 3 5 1 этой главы) х' = Ь,'.,х', д' = Ь„'.д' . Подставим эти выражения для х' и ф в (8.27). Получим следующие соотношения: д» Ь», = а~Ь,',х', 1' = 1, 2 ... „ и. (8.29) Нам нужно получить из (8.29) выражение для д~ . Для этой цели умножим обе части (8.29) на Ь,' и просуммируем по !' от 1 до и. Учитывая, что Ь» Ь( = 6», получим д" 6»в =(Ь).Ь'; а))х'. Заметим, что д» 6»~, = д~ . Поэтому д~ = (Ь) Ь'; а',)х' Сравнивая это выражение для д' с выражением для д» по формуле (8,28), получим следующее тождество, справедливое для любых векторов х (для любых координат х'): а~в,х~ = (Ь) Ь) а)) хв . ') В формуле кля р' индекс суммирования мы обозначим через я', в е~ понятия твнзовл основные опаялции нлп тэнзоялми ззз Отсюда н из произвольности х' следует„что коэффициенты а~~ матрицы линейного оператора преобразуются по закону а,',= = Ь,'.Ь('а','.
Итак, коэффициенты а', преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (1.1) н поэтому представляют такой теизор. 3. Основные операции над теиэорами. Основными операциями иад теизорами называются операции сложения и вычитания тензоров, операция умножения тензоро на число, операция умножения тензоров, операция свертывания тензоров, операция перестановки индексов, операции симметрирования и альтернирования тензоров, Перейдем к определению этих операций. 1'. Сложение и вычитание тензоров. Операции сложения и вычитания определяются для тензоров одинакового типа. Ф, л л, л Пусть А и  — два тензора типа (р, д), А~,',в и В,,', ев— одноименные координаты этих тензоров в базисе е,. Суммой А+В (разностью А — В) этих тензоров называется тензор, имеющий в базисе е, координаты А'..
в+В'. в (А'.. в — В'.. в1н с,"с~ ц с ~ ц" с — ~;.ю„~ Чтобы данное определение операций сложения и вычитания тензоров было корректным, необходимо проверить, преобразуются ли координаты суммы (разности) тензоров по закону (8 19) преобразования координат тензора. Для этого представим себе, что наряду с формулами (8.19) преобразования координат теизора А записаны аналогичные формулы преобразования координат тензора В. Тогда путем сложения (вычитания) таких двух формул преобразования координат тензоров А и В мы убедимся, что координаты суммы (разности) преобразуются по закону преобразования координат тензора. 2'.
Умножение тензора на число. Пусть А— л, л тензор типа (р, о), имеющий в базисе в~ координаты А~, и а — произвольное ве.цественпое число. Произведением аА тензора А на число а называл,. л ется тензор, имеющий в базисе в, координь - ссА~',в. л, Ф То, что координаты иА~' ~е преобразу|отся по тензориому в закону, непосредственно усматривается нз формул (8.!9), 8', Ум ножен не тен воров.
Операцияумноженнятенэоров определяется для тензоров произвольного типа. Пусть А — тензор типа (р, о), имеющий в данном базисе в Ф, Ф„ координаты Ац,в, а  — тензор типа (г, в), имеющий в этом же пи~ ел базисе координаты ВЧ л„'. твнзоры ~гл. в 240 Для определения п р о н з в е д е н и я В = АВ т е н з о р о в А и В составляются всевозможные произведения координат тензора А на координаты тензора В. В каждом таком произведении индексы 1„ , 1, и л»м , т, у координат тензора В заменяются новыми индексами. Именно, полагают и и! — — йд,и ,и» = й«„. Произведением «г = АВ тензоров А и В называется тензор типа (р + г, д + з), имеющий в базисе е, координаты )') 1 «««1 Р««А 1 «В Рм ««У с «рср, ° юр,„= А~,.
~ ~ „и г (8.30) и В «" .«+'А '.. в ~ры ~р,г ц «р А' 'Вв".. «'* и «р !р+1" 4»«м одинаково, порядок следования индексов у этих выражений различен, и поэтому они отвечают координатам с различными «иомерамн». Это и означает, что АВ ~ ВА. 4'. Свертывание тензора. Операция свертыв а н и я применяется к тензору типа (р, д), у которого р чь 0 и д ~ 0 (т. е к теизору, у которого имеется по крайней мере один верхний и один нижний индекс). Пусть А — теизор указанного выше типа. Перейдем к описанию операции свертывания. Свертывание тензора А производится по каким-либо отмеченным верхнему и нижнему индексам. При этом в результате свертывания получается тензор типа (р — 1, д — !).
Пусть, например, у каждой координаты тензора А отмечен верхний индекс с номером гл и нижний индекс с номером лп А'. 1» р Чтобы убедиться, что координаты 0;,' ;";«", ;«"„, опре. деленные соотношением (8.30), преобразуются при переходе к другому базису по закону преобразования координат тензора, т, е. действительно представляют собой координаты тензора, достаточно записать формулы преобразования (8.19) для координат А,' 4« и В;"', ;«" тензоров А и В и перемножить правые и левые части этих формул. В результате, обращаясь к соотношению (8.30), легко получаются нужные формулы преобразования 3 а м е ч а н и е Ойерацйя умножения тензоров не обладает свойством перестановочиости: вообще говоря, АВ чь ВА Это объясняется тем, что порядок следования индексов у координат тензора определяет «номер» этой координаты Таким образом, хотя численное значение выражений $ В1 ПОНятИЕ тензОРА ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД тензОРАМИ 24! Произведем суммирование (свертывание) координат тензора с одинаковыми выделенными индексами .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
