В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 50
Текст из файла (страница 50)
2. Операция поднятия и опускания индексов с помощью ме- трического тензора. Метрический тензор 6 используется для о п е- рации поднятия и опускания индексов у координат данного тензора А, Эта операция заключается в следующем. йййй..й Пусть А — тензор типа (р, д) с координатами А;,й,',лй. Для примера покажем, каким образом проводится операция поднятия индекса й',. Свернем тензоры 6 и А по верхнему индексу ! у первого тензора и по нижнему индекусу (, у второго тензора, т. е, построим тензор с координатами йййА„';,й ';й и у координат полученного тензора индекс 1 обозначим через (,. Затем эти координаты обозна. ййй,йй , й чим символами А,,',', ~й ' . Таким образом, А','„'" '= ' А'*,;; '.
йй..л =к айй...йэ (8.48) 3 а м е ч а н и е !. Так как порядок расположения индексов у координат тензора определяет «нумерацию» его координат, то, вообще говоря, при поднятии индекса нужно отмечать место среди верхних индексов, на которое будет поднят данный нижний тензогы ггл. в индекс. Иногда в ряду нижних индексов нужно отметить место поднимаемого нижнего индекса Это делается с помощью точки, которая ставится на место поднятого индекса.
Поэтому координаты тензора в левой части (8.48) следовало бы записать следующим К примеру, если первый нижний индекс поднимается на второе место среди верхних индексов, то в результате мы получим тензор "РА ~д с координатами А~', ' 1~ 3 а м е ч а н и е 2. Операция опускания индекса с помощью метрического тензора 6 определяется аналогично Например, координаты тензора, полученного путем опускания у тензора А индекса й„ на последнее место в ряду нижних индексов, имеют следующий вид: ~дь ~""дР А ~„~рф = йь аА ~ ~р" Р Ф ю 3 а м е ч а н и е 3 . Операцию поднятия или опускания индекса можно применять несколько раз, причем каждый раз по отношению к различным индексам данного тензора, Рассмотрим примеры поднятия и опускания индексов у тензоров Пусть л — вектор, х, и х' — соответственно его ковариантные и контравариантные координаты (напомним, что вектор представляет собой тензор ранга 1). Поднимем у координат х, индекс 1 с помощью метрического тензора 6.
В результате получим тензор с координатами й' х . Так как х„ = (х, е„), то й'"х = д' (.с, е„) = (х, и'"в„). Согласно (8.11) ф"е = е, а (л, и') = х'. Поэтому и' х, = х'. Таким образом, контравариантные координаты х' вектора х можно получить как результат операции поднятия индекса у ковариантных координат х, этого вектора.
Ковариантные координаты х, могут быть получены как результат операции опускания индекса у контравариантных координат х' Выясним результат двукратного применения операции поднятия индекса у ковариантных координат ям метрического тензора 6 с помощью контравариантных координат йп этого же тензора. Иными словами, выясним, что представляет собой тензор с координатами ,ь,~ай (8,49) Используя симметрию тензора 6 по нижним индексам и соотношение (8.47), найдем азад„а = фала„б'„.
Подставляя найденное выражение для пап„а и (8,49) и используя свойства символа Кронекера б„', получим ~а гв, ы э з! мвтэичвскин тинзоэ. опсялцин в тинзоэных овознлчкниях 24т Совершенно аналогично можно убедиться в справедливости ра- венства Известно, что с помощью преобразования базиса матрицу билинейной формы дцк'у! можно привести к диагональному виду. При этом, в силу положительной определенности матрицы, после приведения матрицы (дц) к диагональному виду координаты метрического тензора будут равны нулю при 1~ 1' и единице при 1 = !'.
Обозначая эти координаты прежним символом п,н получим / 0 при 1Ф1, ~ 1 при 1=/. (8.50) Базис ви в котором координаты дц метрического тензора удовлетворяют условию (8.50), является ортоиормированным Действительно, так как (яо е;) = дц (см. (844)), то согласно (8. 50), 0 при (Ф1, (Еь Е,)- 1 при 1=1, ! а это и означает, что е~ — ортонормнрованный базис.
В гл. 4 мы выяснили, что в ортонормированном базисе скалярное произведение (х, у) векторов х и у с координатами к' и у! может быть вычислено по формуле (8,51) а квадрат длины (х, х) вектора х — по формуле (8.52) Обратимся к так называемым о р т о г о и а л ь и ы м линейныи преобразованиям, т. е. к таким линейным преобразованиям, К~аКЖЙ = ЙЪ" Последние две формулы еще раз подчеркивают, что дц и уц естественно рассматривать как ковариаитные и контравариантные координаты метрического теизора 6. 3.
Ортонормированные базисы в Е". Мы уже выяснили, что скалярное произведение (х, у) в Е" может быть задано с помощью метрического тензора 6, координаты дц которого представляют собой элементы симметричной положительно определенной матрицы (дц). Именно„согласно (8.43), (х у) =АР'у' тянзоеы [гл.
в при которых ортонормированный базис переходит в ортонормиро- ванный. Иными словами, если Š— ортогональное преобразование и в, — ортонормированный базис, то Ее, также образует орто- нормированный базис Исследуем действие преобразования Е на произвольный вектор х = х'еь Обозначим через Х результат действия Е на х Х=йх Используя свойство линейности Е, найдем Х = Ех'е, = хЧ,е, Так как Ее, — базис, то из последнего соотношения вытекает, что вектор Х имеет в базисе Ев; такие же координаты, как и вектор х в базисе еи т. е. при ортогональном преобразовании сохраняют свое значение координаты вектора.
Поскольку Ев~ — ортонормированный базис, то скалярное произведение (Х, У) векторов Х = Ех и г' = Еу может быть найдено по формуле (8.51), а квадрат длины (Х, Х) вектора Х = 1х — по формуле (8.52). Мы выяснили, что при ортогональ- ных преобразованиях сохраняют свое значение координаты векто- ров. Отсюда и из соотношений (8.51) и (8.52) получаем (Х, г) (х, у), (Х, Х)=(х,х). Таким образом, при ортогонпльных преобразованиях не меняются длины векторов и их скалярные произведения. Как известно, ортогональные преобразования Е могут быть заданы с помощью ортогональной матрицы.
Определитель бе! Е такой матрицы удовлетворяет условию бе1 Е = -!-1. Выберем один из ортонормированных базисов и договоримся называть этот базис правым. В этом случае будем говорить, что евклидово пространство Е" ориентировано, Все базисы в Е", получающиеся иэ данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным +1, назовем правыми, а все базисы, которые получаются из данного ортогональными преобразова- ниями с определителем, равным — 1, — левыми. Легко убедиться, что преобразование правого базиса в правый характеризуется равенством +1 определителя преобразования, а левого в левый— равенством — 1 этого определителя. Обозначим через О (и) — множество всех ортогональиых пре- образований в Е", а через О, (и) — множество ортогональных преобразований правых базисов.
Эти множества будут рассмотрены в следующей главе. 3 а м е ч а и и е. В дальнейшем мы будем называть произволь- ный базис в„е„..., е„п р а вы м (л ев ы м), если определитель матрицы перехода от выбранного ортонормированного базиса к базису в„е„..., е„положителен (отрицателен). 4. Дискриминантный тензор.
Рассмотрим так называемый вполне кососимметрическнй тензор евг.л 1 в'" з а] метгичаский танзож опаелции в танзогных оаознхчаниях 249 (8.55) т ипа (р, О), т, е. такой тензор, который кососимметричен по любым двум нижним индексам. Лля того чтобы этот тензор не был нулевым, необходимо, чтобы число р не превышало и, т. е. удовлетворяло условию р ~ и, ибо, если р ) и, то любая координата будет иметь по меньшей мере два одинаковых индекса, при перестановке которых эта координата одновременно должна и изменить знак, и остаться неизменной Это может быть лишь в том случае, когда указанная координата равна нулю Следовательно, при р > и любая коорди- ната тензора равна нулю, т. е тензор является нулевым.
Особый интерес представляет вполне кососимметрический тензор, ранг р которого равен размерности и пространства. Любая координата а,,с, л„такого тензора может быть найдена по формуле ай~, ~„ бы два совпадают, О, если среди индексов 1,, 1„..., („ хотя (8.53) ( — 1)па" 'ем „, если все индексы различны. В формуле (8.53) з(йп о равно 0 или +1 в зависимости от четности или нечетности перестановки о = ((„(„, („) (з(йп о называют также з н а к о м этой перестановки).
Рассмотрим какую-либо правую ортонормированную систему координат и положим в ней ем..„= 1. (8.54) С помощью соотношения (8.53) в данной системе координат опре- деляются все координаты ес,с,. „вполне кососимметрического теизора, а следовательно, и сам тензор, который в дальнейшем мы будем называть д и с к р и м и н а н т н ы м т е н з о р о м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
