В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Коор- динаты этого тензора в произвольном базисе вм е, е„ обозна- чим через с;,~, Обозначим символом В матрицу перехода от выбранного пра- вого ортонормироваиного базиса к некоторому базису еп, ез, ..., е„, а через Ь) — элементы этой матрицы. Согласно (8.53) для вычисления координат с,,, дискрн- мииантного тензора в базисе ег, вм, ..., в„достаточно знать значение координаты с~ з Используя формулу (8.!9) преобразования координат тензора и соотношение (8,54), получим, переходя от выбранного ортонор- мированного базиса к базису вп, вм, ..., е,, чк, с„ егз, „,=Ь,)Ь,',...Ь„".е~,ю, с„= = е12 „Е ( — 1) м Ь~1Ь 1.
° ° Ь~й = ~=(й 'в ", ~л) = де( (Ь; ) Йе1 В. тинзогы 1гл. в 250 Пусть с! ! — координаты метрического тензора в базисе е, ег... е„Так как матрица 6 = (й! ! ) есть матрица билиней- иоЙ формы сг! х'х!', представляющей собой скалярное произведение векторов х и у с координатами хс и у!', то при переходе от данного ортоиормированного базиса (в котором матрица Е рассматриваемой билинейной формы является единичной) к базису ео, ег..
. е„ справедлива формула 6 = В'ЕВ. Отсюда следует, что де1 6 = де1 В' де1 Е бе1 В = (де1 В)'. Обозначая де1 6 через д, получим из последнего соотношения де1 В = * у'с Обращаясь к соотношениям (8.55), мы получим, что сим .„ = ~ у'8 Таким образом, в произвольном базисе е„ е,, ..., е, выражение для координаты см., дискриминантного тензора имеет вид (8.56) см...в ~У й где е — определитель матрицы (д;!) метрического тензора в базисе е„е„, е„.
Отметим, что в формуле (8.56) знак плюс соответствует правому базису, а знак минус — левому. 5. Ориентированный объем. Введем в ориентированном евклидовом пространстве Е" так называемую а ф ф и н н у ю с ис т е м у к о о р д и н а т, определив ее как совокупность фиксированной точки 0 с координатами (О, О,, О) и базиса е„е„..., е„. Координаты любой точки М в Е" определяются в этом случае как координаты в базисе е„ е„ .„ е„ вектора ОМ.
Рассмотрим в Е" занумерованную систему из и векторов г л х,х, ...,х (8.57) и рассмотрим всевозможные векторы ОМ, определяемые соотно. шениями 1 г г ОМ = а,х+ агх+... + а„х, (8.58) при всевозможных аг, удовлетворяющих неравенствам 0 ~ а, ~ 1, 1=1, 2,...,п. Множество всех точек М пространства Е", определяемое соотношениями (8.58), образует так называемый и-м е р н ы й п а р а л л ел е п и п ед в Е", натянутый на векторы (8.57). г! г в~ О р и е н т и р о в а н н ы м о б ъ е м о м У1х, х, ..., х) этого параллелепипеда называется число !! г щ г г в У х, х, ..., х =с!,г,,! х'гх"...х (8.59) з 3] матгичаскип твнзог опаглции в танзогных оаозначаниях 251 При этом с, ! ! — координаты днскримннантного тензора в ба- 1 2 3 2 « зисе вм е„ ..., е„, а х", х'*, , х " — контраварнантные коордн» наты векторов х, х,, х в этом же базисе Термин «ориентированный объем» объясняется тем, что в случае, если векторы (8.5?) образуют правый базис, ориентированный объем положителен (Р > О), а а случае левого базиса — отрицателен (Г (О) Отметим, что при п = 3 ориентированный объем, вычисляемый для л = 3 по формуле (8.59), представляет собой обычный объем ! 2 3 параллелепипеда, натянутого на векторых,х,х, взятый со знаком ! 2 3 +, если тройка х, х, х правая, и со знаком —, если эта тройка левая.
6. Векторное произведенне. С помощью дискрнминантного тензора можно записать в трехмерном пространстве Е' в тензорном виде векторное произведение Такая запись широко используется при различных вычислениях в так называемых криволинейных координатах Пусть с;.„ — координаты дискрнминантного тензора в данном 3 базисе во е,, еа пространства Е Поднимем у этого тензора первый индекс ! с помощью метрического тензора у'", т.
е. рассмотрим тензор с!3 Тогда координаты г! вектора г = (ху ) (т. е. векторного произведения векторов х и у) в базнсе е„е«„е» имеют внд г! = с~!»х'у'. (8.60) Так как с,'»х'у" представляет собой тензор типа (О, 1), то г' можно рассматривать как контравариантные координаты вектора. Поэтому, чтобы убедиться, что г! действительно представляют собой координаты векторного произведения, достаточно обратиться к какой-либо определенной системе координат и непосредственно провести проверку Эта проверка элементарна для ортонормированного базиса и предоставляется читателю.
Соотношение (8.60) может служить основой для введения векторного произведения и — 1 вектора в Е" ! 2 л ! Пустьх, х,, х — какие-либо а — ! вектор в Е". Определим Г! 2 3-!! координаты г' векторного произведения г = (хх ..х) с помощью соотношений ! 2 а ! г' с, 3,! х1Х»...Х! 1. '13 31 В соотношениях (8.61) с1,«, 1„, — координаты днскрнмннантс ! 2 «-! ного тензора с поднятым первым индексом, а х, х», ..., х»-»в ! «-! контравариантные координаты векторов х, х, ...,х.
252 тензовы [гл. в 7. Двойное векторное произведение. Из векторной алгебры известна следующая формула для двойного векторно»о произведения [а [Ы ! ! векторов а, Ь и гв [а[Ы[! = Ь а»у) — »г(аЬ). (8.62) Используя соотношение (8 60) и формулу (8.43) для скалярного произведения векторов, перепишем (8 62) следующим образом: с»~а'с~ „Ь (" = Ь'й»~а~ (~ — с('у»,а'Ь (8.63 ) С помощью (8.63) мы получим формулу, связывающую теизоры с с»р и я,», которую в свою очередь используем для записи координат двойного векторного произведения.
Проведем следующие преобразования в формуле (8.63) В первом слагаемом Ь'и»гз г(' в правой части (8.63) заменим Ь' на Ь"б' ) и индекс суммирования ! заменим на и. Во втором слагаемом в правой части (8.63) положим г[' = »!"б„' и индекс суммирования 1 заменим на пт.
После этих преобразований формула (8.63) примет вид (с,',с' „)а Ь т[" = (й„б'„ — д»„б'„) и"Ь 6". (8.64) Так как соотношение (8.64) справедливо для любых векторов а, Ь и»2, то оно представляет собой тождество относительно коордн. наг а», Ь и г[и этих векторов, и поэтому для любых индексов (, Й, гп, и имеет место равенство т с с с с»Кт» = К»ибо — «»~лбе (8.66) Обозначим через г' координаты двойного векторного произведения [а[Ы[[, Тогда, согласно (8.63), г' = с»,с„',„а'Ь»[". Отсюда и из (8.66) получаем следующее выражение для координат г' двойного векторного произведения [а[Ы[[: г' = (ьт»„б' — й»» б„') а»Ь"т[". (8.66) Формула (8.66) удобна для различных приложений.
5 4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства !. Понятие псевдоевклидова пространства и метрического тензора псевдоевклидова пространства. Рассмотрим и-мерное линейное пространство Ь, в котором задана невырожденная, симметричная билинейная форма А (х, у), полярная энакопеременной квадратичной форме. Будем называть с к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м (х, у) векторов х и у значение А (х, у) билинейной формы. Наименование ') Соотношение Ь' =Ь'из~ следует вв свойств символе Кроиекерв. Э «3 МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА 253 «скалярное произведение» условно, поскольку в рассматриваемом случае не выполняется четвертая аксиома скалярного произведения.
Именно, в случае, когда билинейная форма А (х, у) полярна знакоперемеиной квадратичной форме, выражение А (х, х) в зависимости от выборах может иметь как положительное, так и отрицательное значение и обрзщаться в нуль для ненулевых векторов х. Все же мы будем пользоваться термином «скалярное произведение», так как это общепринято. Сформулируем определение псевдоевклидова пространства. Определение. Псевдоевклидовым пространс т в о м называется и-мерное линейное пространсоию (., в котором задано скалярное произведение посредством невырожденной симметричной билинейной формы А (х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме. Число и называется р а з м е р и о с т ь «о псевдоевклидова пространства.
Выделим в линейном пространстве Е базис е„е,„, е„и обозначим через (дп) матрицу билинейной формы А (х, у) в этом базисе (напомним, что дп = А (еп е«)) Если х' н у' — контравариантные координаты векторов х и у, то (8.67) А(х, у) = й«,х'уй В полной аналогии с рассуждениями п. 2 З 2 этой главы доказывается, что (ди ) представляют собой координаты теизора С типа (2,6).
Этот тензор мы будем в дальнейшем называть м е т р ическим тензором псевдоевклидова простр а не та а. Так как скалярное произведение (х, у) равно А (х, у), то, согласно (8.67), имеем (х, у) = йых«дд Известно, что матрицу (йм) билинейной формы А (х, у) можно привести к диагональному виду. При этом в силу невырожденности формы А (х, у) координаты ды метрического тензора после приведения к диагональному виду будут равны нулю при! -ь )' и единице или минус единице при «' = )'. Число р положительных и число «) отрицательных диагональных элементов не зависит от способа приведения к диагональному виду, причем, в силу невырожденности формы А (х, у), р + о = п.
Приведенные рассуждения поясняют обозначение Е«Р, «1 для и-мерного псевдоевклидова пространства. Естественно поставить вопрос об измерении длин векторов в псевдоевклидовом пространстве. В евклидовом пространстве с метрическим тензором йы квадрат длины вектора хе координатами х' считается равным йых'х«. Если определить квадрат длины з» (х) векторах с помощью соотношения (8,68) в»(х) = ймк«лй <гл. в твнзоры то„очевидно (поскольку форма А (х, х) знакопеременная), можно указать ненулевые векторы с положительным квадратом длины, с отрицательным квадратом длины и с нулевым квадратом длины. Поэтому, чтобы получить в качестве меры длины векторов лишь действительные числа, обычно за длину вектора принимают о (х) = (зяп эа (х)) ~"~ ве (хЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
