В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(8.69) В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию, заимствованную нэ специальной теории относительности: мы будем называть ненулевой вектор х времен ни од о б н ы м, если для этого вектора о(х) >О,п растра нствен ноподобным, еслно(х) <О, н изотроп ным, еслно(х) =О. Справедливо следующее утверждение: Множество концов всех времениподобных (пространственно- подобных, иэотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой М псевдоевклидова пространства, образует конус.
Для определенности докажем утверждение, рассматривая временнподобные векторы. Очевидно, достаточно доказать, что если х — временнподобный вектор, то при любом вещественном Х ~ 0 вектор Хх также временнподобен. Так как координаты вектора дх равны дх', то, согласно (8.68), за ()!х) = Уэв (х), т. е. зйп зе ()!х) = вдп з' (х). Отсюда н нз (8.69) следует, что вектор дх будет временнподобным. Для случая временнподобных векторов утверждение доказано. Рассуждая аналогично, убедимся в справедливости утверждения для случая пространственноподобных н нзотропных векторов. Конус временнподобных векторов обозначается часто символом Т (от англ. (!ше — время), а конус пространственноподобных векторов — символом 5 (от англ.
врасе — пространство). 2. Галилеевы координаты. Преобразовання Лоренца* ). В теорнн псевдоевклндовых пространств важную роль играют те системы координат, в которых квадрат интервала (так обычно называют квадрат длины вектора ва (х)) имеет вид (8.70) По терминологии, заимствованной нз физики, такие системы координат называются г а л и л ее вы м и.
Преобразования координат, которые сохраняют для Р (х) выражение (8.70), называются и р е о бр азова н и ям и Лоренца. В следующем пункте мы рассмотрим вопрос о преобразованиях Лоренца пространства Е,'!.в1, называемого и р о с т р а н с т в о м ') Гендрик Антон Лоренц (!853 — 1928) — нидерландский иатеиатнн ! е! мвтричвския твнзор псввдоввклидова пространства эбб М и н к о в с к о г о'). Это пространство представляет особый интерес для физики, ибо является пространством событий специальной теории относительности. Отметим, что обычно в пространстве Минковского нумерация координат вектора начинается с нуля. Таким образом, согласно (8.70), квадрат з' (х) интервала в пространстве Еп,а! записывается следующим образом: з' (х) = (х')' — (х')' — (х')' — (х')'. (8.7 !) о о о о — ! о о (хм) ~о о — ! о/ о о о — 1 (8.72) ') Герман Минковский ()Вба — )909) — немецкий математик н фиавк.
Для удобства в физике координата х' отождествляется с выражением с(, где с — скорость света, а ( — временная переменная; х', х', х' называются пространственными переменными. В пространстве Минковского конус Т времениподобных векторов распадается на две различные связные открытые компоненты Т' (конус будущего) и Т (конус прошлого); конус Я простран ственно подобных векторов образует связное множество. Поясним структуру связных компонент Т' и Т . Для этого обратимся к физической интерпретации вектора х с координатами х', ! = О, 1, 2, 3, в пространстве Ей а!. этот вектор характеризуется величиной Ь! = хПг и вектором Ьг = (х', х', х').
Таким образом, рассматривая х как перемещение в Е~!~ аь можно считать, что это перемещение характеризуется временным Ь! и простран. ственным Ьг перемещениями. Времениподобные векторы х определяются условием з (х) > О. В этом случае, очевидно, (Ьт~(' (Ь(~ < с. Если при этом Ь( > О, то для перемещения х получим неравенство О < !Ьг!I(Ь(( < с Такое перемещение х принадлежит по определению Т' и может рассматриваться как перемещение материальной частицы «в будущее» Если Ь! < О, то перемещение х принадлежит 7 и может рассматриваться как перемещение частицы «в прошлое» (в физике так интерпретируется движение античастиц).
Очевидно, Т+ и 7 представляют собой две связные открытые компоненты конуса Т. Проведенные рассуждения поясняют их наименования — конус будущего и конус прошлого. 3. Преобразования Лоренца пространства Е!к а!. Рассмотрим 4 в псевдоевклидовом пространстве Еп, и галилееву систему координат с базисом вь В такой системе координат квадрат интервала за (х) имеет внд (8.7!), а матрица (пм) метрического тензора имеет вид тензогы [гл, в Перейдем к новой галилеевой системе координат с базисом ер и выясним условия, которым должны удовлетворять коэффициенты 6) матрицы В преобразования базисных векторов.
Так как в~ =6~в, (8.73) н так как матрица (ии, ) метрического тензора а базисе в~ также имеет вид (8.72), то используя формулы 8,7 = Ь',,Ь).йр преобразования координат метрического тензора, получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов Ь', матрицы В преобразования базисных векторов (см (8.73); при этом индексы 1 н Т пробегают значения О, 1, 2, 3 (см (8.71)): 3 (60)2 ~ 6»Ьа а з 63,63 — Е Ь".Ьв =О, (8.74) и=1 3 ( — 1прну 6',,Ьз ~ Ь;,Ьа, у', р' = 1, 2, 3. »-1 ~ О при у'~~', Соотношения (8.74) можно записать в матричной форме Для этой цели рассмотрим наряду с матрицей В матрицу В*, которая получается из В путем изменения знака у элементов последних трех столбцов и последующего транспоиирования.
Очевидно, соотношения (8.74) можно записать в следующей форме: » = (, (8.75) где матрица У определяется соотношением (8.72) (для сравнения напомним, что матрица С ортогональных преобразований евклидова пространства удовлетворяет соотношению С'С = 7, где 7 — единичная матрица). Так как де1 В» = — бе1 В, а бе17 = — 1, то из соотношения (8.75) следует, что де1 В» В = бе1 В» бе( В = (бе1 В)' = — 1, т. е. с(е1  — ~ 1.
(8.76) Обозначим через Е совокупность всех общих преобразований Лоренца пространство Минковского Из этих общих преобразований выделим те преобразованив, которые переводят каждый вектор из Т' в вектор, также принадлежащий Т'. Совокупность таких преобразований обычно называется п р е о б р а з о в ан и я м и Л о р е н ц а и р о с т р а н с т в а Е(ь и и обозиача. ется символом Е,. Общие преобразования Лоренца, для которых де1 В = +1, образуют класс Е, так называемых с о б с т в е н н ы х п р еобразований Лоренца. 6 43 МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Рз? Класс (. н е с о б с т в е н н ы х и р е о б р а з о в а н и й Л о р е н ц а характеризуется соотношением де1 В = — 1. Примером такого преобразования может служить отражение относительно трех пространственных осей: х' = — х', х' = — хт, х' = — х'. Пусть  — матрица произвольного несобственного преобразования Лоренца, а Р— матрица только что рассмотренного отражения Очевидно, произведение произвольного несобственного преобразования и рассмотренного отражения будет собственным преобразованием с матрицей В' = РВ Так как Р' = Р Р = (, где 7 — единичная матрица, то В = Р'В = Р (РВ) = РВ'.
Таким образом, всякое несобственное преобразование Лоренца является произведением некоторого собственного преобразования с матрицей В' и отражения с матрицеп Р. Пересечение множеств ( ~ и 1., обозначают символом (. т, Некоторые групповые свойства множеств („(.т, 1., и 1. г будут рассмотрены в следующей главе. В заключение найдем те преобразования ( 7, которые не меняют координат х' и Ав. Ясно, что это будут преобразования с ( двумерного псевдоевклидова надпространства с координатами х' и х', в котором квадрат интервала вычисляется по формуле (х')'— — (х')' Запишем для рассматриваемого случая формулы (8,74) Получим (Ьее.)т (Ь,',)' = 1, ЬМЬ, — Ь',Ь,' =О, (8.7?) Полагая Ьое/ЬЗ = р, найдем из (8.77) следующие выражения для коэффициентов Ь, 'матрицы преобразования В базисных вектоРов е, еп ем вэ в базисные вектоРы вас е,, ем, ез .' ь',,=~ р ) — рт В этих формулах знак выбирается из условия принадлежности преобразования Лоренца классу ( ( Не вникая в детали вычислений, запишем окончательные формулы преобразования координат: ке — йх1 хе' = 1 — йе ' твнзоэы <гл.
ь Положим в соотношениях (8.78) хь = с(, хт = х, х' = у, х' = г, хь' = сГ', х' = х', х' = у', х' = г'. Тогда формулы (8.78) перепишутся следующим образом: ! — — к х' =, у' =у, г' =г. (8.79) У! — р' у4 — В' Выясним теперь физический смысл константы р. Допустим, что точка Р неподвижна в системе координат (!', х', у', г') Это означает, что время у меняется, а пространственные координаты х', у', г' этой точки постоянны Исследуем вопрос о поведении точки Р относительно системы (1, х, у, г). Дифференцируя послед- ние трн уравнения (8.79) и учитывая, что йх' = ау' = дг' = О, получим 0 =, 0 = Ну, 0 = йг . Поэтому — „=()с, — бей+ ох ах ау вг — =О, — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
