В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Действительно, пусть аН и ЬН вЂ” смежнйе классы. Тогда по Определению произведения смежных классов как подмножеств группы б с учетом (9.4), получим оНЬН = а (НЦ Н = а (ЬН) Н = (аЬ) (НН) = (аЬ) Н, т, е. произведение смежных классов аНЬН есть смежный класс (ОЬ) Н„ 5. Гомоморфизмы, Фактор-группы. Пусть 6 — группа с элементами а, Ь, с, ... и б — некоторое множество, в котором определен закон композиции его элементов й, б, с, .... Мы будем использовать мультипликативную форму записи композиции: д = аб, а элемент с будем называть произведением элементов а и Б. Определение 1. Отображение / группы 6 на множество б з): /:6-ьб (9.5) называется г ам о м о рф из м ам, если для любых элементов а т б н Ь Е б выполняется соотношение / (аЬ) = / (а) / (Ь), (9.5) где / (а), / (Ь) и / (аЬ) — образы элементов а, Ь и аЬ при отображении /.
При этом б называется гам о морф ни м образом б. В случае, если 6 является подмножеством б, то для гомоморфизма (9.5) употребляется наименование э н д о м о р ф и з м. 3 а м е ч а н н е. Если задано гомоморфное отображение (гомоморфизм) группы 6 на множество б, то все элементы группы разбиваются на непересекающиеся классы: в один класс объединяются все те элементы б, которые отображакпся в один и тот же элемент множества 6. " Под стсбраженнсм l группы С на множество б поннмаятся таков соотвсгствне между злементамн множзств С н С, прн котором каждому влсменту в б б станется в ссотвстствне лнщь один злемент а 5 С н каждый засыпят а 5 С является образом по крайнсй мере одного злемснта яз С. Снмволнясскн отображвнне С нз С записывается с помощью состяопмння (9.5) игл.
э ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Справедливо следующее утверждение: Твггрелеа У.б. Гомомор4ный образ еруппы является ерулиой. Доказательство. Пусть а, б, с, ... — элементыгомоморфного образа 6 группы 6 при гомоморфизме /. Это означает, что в группе 6 можно указать такие элементы а, Ь, в, ..., что а =/(а), б =/(Ь), с =/(с), „, Тогда з множестве 6 умножение элементов согласовано с правилом (9.6).
Проверим, что эта операция умножения удовлетворяет требованиям 1', 2' и 3' определения 2 группы (см, п. 2 этого параграфа). 1', Ассоциативность умножения. Составим два произведения а (бс) и (аб) с. Имеем, согласно правилу (9.6), а(бс) =/(а)(/(Ь)/(с)) =/(а)/(Ьс) 1(або), (аб) б =(/(а) /Я)/(с) / (аЬ)/(с) =/(аЬс). Сопоставляя эти соотношения, получим й (бс) (аб) с. Следовательно, ассоциативность умножения элементов выполняется.
2'. Существование единицы. Обозначим символам е элемент /(е), где е — единица группы О: й = /(е). Для любого элемента а множества О имеем, согласно правилу (9.6), ае = / (а) / (е) = / (ае) = / (а) = а. Следовательно, элемент е действительно играет роль единииы. 3'. Существование обратного элемента. Обозначим симао.
лом а ' элемент/ (а г), где а 1 — обратный элемент для элемента а в группе О. Имеем, согласно (9.6), йа ' = / (а) / (а г) = /(аа-1) = / (е) = е. Следовательно, элемент й ' играет роль обратного элемента для элемента а. Итак, для операции умножения элементов 6 выполнены требования 1', 2', 3' определения 2 группы. Поэтому 6 — группа. Теорема доказана. Пусть Н вЂ” нормальный делитель группы 6.
Определим следующее отображение / группы 6 на множество 6 смежных классов по нормальному делителю Н: если а принадлежит О, то этому элементу поставим в соответствие тот класс смежности, которому принадлежит указанный элемент. Согласно свойству 3' смежных классов (см. предыдущий пункт) каждому элементу группы 6 при таком отображении отвечает только один класс, т. е. налицо действительно отображение / группы 6 иа множество классов смежности по нормальному делителю Н. Докажем следующую теорему. 1 1> пОнятие ГРуппы, ОснОВные саонстзА ГРупп 269 Теорема У.б. Указанное выим отображение 1 группы б на смежные классы по нормальному делителю Н, при определении умножения классов смежности как подмножеств группы б, представляет собой гомол!орфизм.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В конке предыдущего пункта мы доказали утверждение о том, что если аН и ЬН вЂ” смежные классы, то произведение аНЬН этих классов как подмножеств 0 есть смежный класс (аЬ) Н. Следовательно, с помощью рассматриваемого отображения 7 произведению элементов аЬ ставится в соответствие смежный клзсс (аЬ) Н, равный произведению смежных классов аН и ЬН.
Поэтому ( — гомоморфизм. Теорема доказана. Следствие. Множество смежных классов группы 6 по нормальному делителю Н с операцией умножения этих классов как подмножеств С> образует группу. Эта группа называется ф а к т о р - г р у и п о й группы О по нормальному делителю Н и обозначается символом б/Н. Справедливость следствия вытекает из теоремы 9.4.
3 а м е ч а н и е. Очевидно, отображение 7' группы О на множество смежных классов по нормальному делителю Н представляет собой гомоморфизм этой группы на фактор-группу б»Н. Рассмотрим следующий п р н м е р. Пусть Нл — и-мерное линейное координатное пространство, которое, как отмечалось в примере 3 п. 2 этого параграфа, является абелевой (т.
е. коммутативной) группой относительно сложения элементов (напомним, что точками х этого пространства являются упорядоченные совокупности из и вещественных чисел (х„..., хи), причем сложение элементов (х„..., х„) и (у„..., у„) производится по правилу (х, + у„..., хи + у„)). По определению прямого произведения, Нл представляет собой прямое произведение одномерных пространств: Н»ТП> Х»т!2> Х ° ° ° Х»т!л>* и 1 1 1 Так как, например, В~1„» предстанляет собой абелеву подгруппу, то, очевидно, >Г1„> — нормальный делитель группы Я". Смежным классом элемента а из Нл служит прямая, проходящая через точку а параллельно прямой Н1,>, а фактор-группа г("(>С1,> изоморфна (и — 1)-мерному подпространству Ни-!! л-1 1 1 1 )А» =)7!1> Х Н!У> Х... ХН!л !> ° (9.7) Отметим, что обозначение фактор-группы Н"/Н1~,> определенным образом объясняется с помощью соотношения Н"И!и> = Н!1> Х...
Х)!»!л>И>л> ~ Н!1> Х... ХН!и-П» (9 8) эламанты таорни грипп егл. з 2УО которое следует из (9.7). Отметим, что в формуле (9.В) последний знак равенства нужно рассматривать как изоморфизм между соответствующими группами. Яы доказали, что по нормальному делителю Н определяется гомоморфизм группы б на фактор-группу 6/Н. Справедливо обратное утверждение: если задан гомоморфнзм группы б на множество О, то по этому гомоморфизму определяется такой нор« мальный делитель Н, что группа 6 е) и фактор-группа О/Н изоморфны.
Докажем две теоремы, относящиеся к этому утверждению, Теорема У.о. Пусть ( — гомоморфиэм группы б на 6, и пусть Н вЂ” множество тех элементов группы 6, которое при гомоморфиэме Г отображаются в элемент Г (е), где е — единица группы 6. Тогда Н вЂ” нормальный делитель группы б. До к а з а тел ь с т в о. Достаточно доказать, что Н вЂ” подгруппа группы б и каждый левый смежный класс по втой подгруппе является одновременно и правым смежным классом. Убедимся, во-первых, что Н вЂ” подгруппа группы б. Для этого следует доказать, что если а Е Н и Ь Е Н, то аЬ Е Н, а также что если а Е Н, то и а-з ~ Н.
Пусть а Е Н и Ь Е Н. Так как ( — гомоморфизм, то Г (аЬ) = =г(а)г(Ь) =у(е)у(е). Но у (е) играет роль единицы в группе б (см. теорему 9.4). Поэтому Г (е) Г (е) = Г (е), т. е. у (аЬ) = ( (е). Следовательно, аЬ Е Е Н. Далее пусть а Е Н, т. е. г (а) = г' (е). Тогда, если а з — обратный элемент для а, тона ' = е, т. е. аа ' Е Н. Так как( — гомоморфнзм, то г (е) = г' (аа ') г (а) 1 (а-з) = ) (е) ) (а ') = ) (а-'). Поэтому г (а ') = ( (е) и, следовательно, а з Е Н. Докажем теперь, что каждый левый смежный класс является одновременно и правым смежным классом.
Пусть а — произвольный элемент группы О. Докажем, что множество А элементов группы 6, отображающнхся при гомоморфизме 7 в элемент $ (а), есть одновременно левый и правый смежные классы аН н На. Этим и будет завершено доказательство теоремы. Пусть а' ~ А. Рассмотрим уравнение ") ах = а'.
(9.9) Так как ( — гомоморфизм н Г (а') 1 (а), то нз это~о уравнения получаем 1(ах) = Г'(а) 1(х) = Г (а') =1(а), т. е, г" (х) = /(е). Поэтому х Е Н. Но тогда, согласно (9.9), а' = ах, т, е. а' Е аН, ') с.огласив теореме 9.4 гпмпморфный образ группы представляет собой группу. а ) В силу следствия 2 нз теоремы 9.3 вто уравнеиае разрешимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
