В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (4-е издание) (1113059), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Среди непрерывных подгрупп группы 6Ь (п) выделяются так называемые к о м п а к т н ы е п од г р у п п ы, т. е. подгруппы, у которых из любого бесконечного множества ее элементов можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу этой подгруппы. 4. Группа ортогональных преобразований. В группе бЬ (п) выделяется специальная подгруппа так называемых о р т о г он а л ь н ы х п р е о б р а з о в а н и й. Эти преобразования, рассматриваемые как отдельное множество, образуют группу, называемую ортогональной группой. Введем понятие ортогональных преобразований.
Напомннм, что мы рассматриваем невырождеиные линейные преобразования. Понятие такого преобразования равнозначно понятию невырожденного оператора, т. е. оператора А, для которого бе1 А ,-ь О. Напомним теперь введенное в 5 9 гл. 5 понятие ортогонального оператора, действующего в вещественном евклидовом пространстве У. Именно, линейный оператор Р мы назвали ортогональным, если для любых х и у из у' справедливо соотношение (Рх, Ру)=(х, у). (9.13) Результат действия ортогонального оператора Р будем называть ортогональным преобразованием Р. В теореме 5.36 было доказано, что оператор Р является ортогональным тогда и только тогда, когда существует обратный оператор Р ' н выполняется равенство Р' Ре. (9.14) ГРуппы пэвоэьлэоэьнин В этом равенстве Р' — оператор, сопряженный к Р.
Таким образом, если преобразование Р является ортогональным, то у этого преобразования есть обратное Р '. Отсюда следует, что каждое ортогональное преобразование является невы- рожденным, Действительно, поскольку РР ' Е, где 1 — то. ждествениое преобразование, то де! Р йе1 Р ь=де1г =1, т. е. йе( Р чь О. Следовательно, ортогональное преобразование Р невырождениое.
Отметим следующее важное свойство ортогональных преобразований. Теорема У.У. Множеспао всех ортогональных преобразований евклидова пространства У с обычной операиией умножения линейных преобразований, образует группу (называемую о р т о г он а л ь н о й группой и обозначаемую символом О (и)). До к а з а тел ь ство. Достаточно доказать, что произведение ортогональных преобразований представляет собой ортогональное преобразование. Существование обратного преобразования (обратного элемента) для данного ортогонального преобразования доказано в теореме 5.36 (см. также только что сделанное замечание). Итак, пусть Р, и Р— ортогональные преобразования.
Рассмотрим произведение КР,. Согласно теореме 5.36 нам достаточно доказать соотношение (Р Рт) (Р Рйь- Т. (9.15) В п. 1 $ 5 гл. 5 (см. свойство 5' сопряженных операторов) мы установили, что (Р~Рь)' Р!Р~'. Используя это соотношение и ортогоиальность преобразований Р, и Р„ получим (Р Рь)(Р,Р)' ° (Р~РД(РтР():Р,(Р Рй)Р(= Р!Р~' Р Р; =/. Таким образом, соотношение (9.15) доказано, Теорема доказана.
3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, ортогональная группа является подгруппой группы 6Е (и). 3 а м е ч а н и е 2. Значение определителя йе1 Р ортогонального преобразования Р удовлетворяет соотношению (йе1 Р>' 1. (9.16) Таким образом, де1Р= й-.!. (9,17) Для доказательства (9.!6) заметим, что для матрицы Р преобразования Р справедливо соотношение РР' 1, (9.18) где Р' — транспонированная матрица, полученная из Р перестановкой строк н столбцов, а 1 — единичная матрица. атэ элементы теоРНН ГРупп Так как де! Р = де1 Р' (при перестановке строк и столбцов определитель не меняется) н де1! ° 1, то из соотношения (9.18) следует, что (де! Р)' =* 1, т.
е. де! Р = Н~1. Поскольку, по определению, де! Р вводится как определитель матрицы Р в любом базисе, то соотношения (9.!6) и (9.17) доказаны. Соотношение (9.17) для определителя ортогонального преобразования служит основой для разделения всех таких преобразований на два класса. В первый класс мы отнесем все ортогональные преобразова* ния, для которых бе! Р =+1, Эти преобразования в дальнейшем будем называть собственными, Во второй класс отнесем все ортогональные преобразования, для которых де! Р— !.
Такие преобразования будем называть н е с о б с т в е н н ы м и. Множество всех собственных ортогональиых преобразований образует группу, называемую с о б с т в е н н о й о р т о г он а л ь н о й г р у п п о й. Эта группа обозначается символом 50 (л). Можно доказать, что каждая группа 50 (я) компактна. 5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы. В этом пункте мы не будем стремиться к полноте изложения. На отдельных примерах мы постараемся выяснить характеристики некоторых подгрупп ортогональной группы. Отметим, что конечные и дискретные подгруппы группы 0 (3) имеют важное значение в кристаллографии.
1'. Рассмотрим двумерную ортогональную группу 0 (2). В этой группе можно выделить дискретную подгруппу поворотов на угол й<р, й = О, ~1, ~2, ... Обозначим буквой а элемент этой подгруппы, отвечающий значению й =+1. Тогда, очевидно, элемент аю отвечающий повороту на угол йр при й > О равен а~ = а а ... а. Это соотношев рвз нне можно сокращенно записать в следующей форме: аз=а', й=!,2, ...
Если обозначить символом а ' элемент, обратный элементу а (а в — элемент, отвечающий повороту иа угол — «р) и единицу рассматриваемой подгруппы обозначить ав, то, очевидно, любой элемент а» при отрицательном, положительном н нулевом значении й можно записать в виде (9,19) Группы, элементы ая которых могут быть представлены в виде (9.19), называются ц и к л и ч е с к и м и. Очевидно, циклические группы являются дискретными. Отметим два типа циклических подгрупп поворотов: ГРуппы пгаовиазовлний 1) Если <р ~ 2пр/д, где р н д — целые числа (т. е. угол несоизмерим с и), то все элементы а, различны.
2) Если ~р = 2прlд, где р и д — взаимно простые числа, то справедливо соотношение ах+, аю то есть ав *=а'. Группы, для которых вййолняется последнее соотношение, называются циклическими группами порядка д. 2'. Обратимся теперь к так называемым подгруппам з е ркальной симметрии. Каждая подгруппа зеркальной симметрии состоит из двух элементов: единица (тождественное преобразование) и отражение либо относительно какой-либо плоскости, либо относительно начала координат. Убедиться в том, что тождественное преобразование и отражение образуют группу, весьма просто †достаточ заметить, что два последовательных отражения дают тождественное преобразование (см.
пример 7 п. 2 $ 1 этой главы). Рассмотрим, например, подгруппу «1, Р» группы 0 (3), состоящую из единицы 7 и отражения Р трехмерного пространства относительно начала координат. В ортонормироваином базисе о о~ матрица Р этого преобразования имеет вид Р~ о — 1 о). ΠΠ— 1) Так как определитель де1Р = — 1, то подгруппа «1, Р» является несобственной. В примере 7 п.
2 $1 этой главы отмечалось, что подгруппа «7, Р» изоморфна группе 2, вычетов по модулю 2. Докажем следующее утверждению Рассматриваемая подгруппа ф, Р» представляет собой нормальный делитель группы 0 (3). Нам требуется доказать, что для любого элемента а из О (3) справедливы соотношения аР уа, аР= Ра (9.20) (эти соотношения показывают, что левый и правый смежные классы подгруппы «7, Р» совпадают, что является признаком нормального делителя). Первое из соотношений (9.20) очевидно. Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующими очевидными свойствами отражения Р: РР / РаР= а, а ~ 0(3).
Умножая соотношение РаР слева на Р и пользуясь равенством РР =г, получим второе соотношение (9.20). Докажем теперь следующее утверждение эламанты таозии гзгпп [гл. з Подгруппа 50 (3) собственных ортогональных преобразований группы 0 (3) изоморфна фактор-группе группы 0 (3) по нормальному делителю )/, Р). До к з з а тел ь с т во. Смежный класс элемента а Е 30 (3) по подгруппе )/, Р) имеет внд )а, Ра), причем Ра — несобственное преобразование (произведение собственного преобразования а н несобственного преобразования Р дает несобственное преобразование). Если а' — несобственное преобразование, то смежный класс )а', Ра') приводится к виду )а, Ра), где а Ра' — собственное преобразование и Ра = Р (Ра') (РР) а' ° а', Таким образом, фактор-группа 0 (3)l)Р, Р) состоит из смежных классов вида )а, Ра), где а — собственное преобразование.
Очевидно, соответствие а )а, Ро) есть изоморфизм между груп* памн ЯО (3) и О (3)/)Е, Р). Утверждение доказано. 6. Группа Лоренца. В п. 1 5 4 гл. 8 мы ввели понятие псевдо- евклидова пространства Е!е,,>, т. е. линейного пространства, в котором задано скалярное произведение (х, у), равное невы- рожденной симметричной билинейной форме А (х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме А (х, х): (х, у) = А (х, у). (9.21) В и. 2 $4 гл. 8 было отмечено, что в так называемой галилеевой системе координат квадрат интервала з!(х) (х,х) (9.22) (так обычно называется квадрат длины вектора х с координатами (х„х„..., х„)) имеет вид Р л Р(х)=Е !- Е х! (9.23) ! ! г я+1 Введемпонятне преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства Е!т,!.
Определение. Линейное преобразование Рпсевдоевклидова пространства Е!е, е! называеп!ся и р е о б р а в о в а и и е м Л ар е н !) а, если для любых х и у из Е!,,! справедливо соотношение (Рх, Ру) = (х, у), (9.24) где (х, у) — скалярное произведение, определенное соотношением (9.21). Равенство (9.24) называется у с л о в и е м л о р е н и овости преобразования, Отметим, что при преобразовании Лоренца сохраняется квадрат интервала зз(х), определенный соотношением (9.22) (или 9.23)).
ГРУППЫ ПРКОПРАЗОНАНИП Так же как в п. 4 этого параграфа, можно доказать, что определитель де( Р преобразования Лоренца отличен от нуля, и поэтому для каждого преобразования Лоренпа Р существует обратное преобразование Р'. Кроме того, по самому смыслу определения преобразования Лоренца, произведение таких преобразований дает в результате преобразование Лоренца. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидова пространства Е в, > с обычной операцией умножения линейных преобразований (линейных операторов) образует группу, называемую общей г р у л и ой Л ор ел ц а псевдоевклидова пространства Е'~р, 1 и обозначаемую символом Е (и; р, 4). Мы выделим специальный класс псевдоевклидовых пространств Еп, и (сюда включается интересное с физической точки зрения пространство Езп з>) Группа Лоренца для пространств Е",~,„п обозначается через Е (л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
